Perspectiva curvilínea: Explorando la percepción de profundidad en la visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la perspectiva curvilínea

La perspectiva curvilínea, también perspectiva de cinco puntos, es una proyección gráfica que se utiliza para dibujar objetos 3D en superficies 2D. Fue codificado formalmente en 1968 por los artistas e historiadores del arte André? Barre y Albert Flocon en el libro La Perspective curviligne, que fue traducido al inglés en 1987 como Curvilinear Perspective: From Visual Space to the Constructed Image y publicado por la University of California Press.

How you se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Perspectiva curvilínea

Capítulo 2: Sistema de coordenadas esféricas

Capítulo 3: Tetraedro

Capítulo 4: N-esfera

Capítulo 5: Proyección estereográfica

Capítulo 6: Elipsoide

Capítulo 7: Geometría conforme

Capítulo 8: Proyección 3D

Capítulo 9: Integral de superficie

Capítulo 10: Elemento de volumen

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre la perspectiva curvilínea.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la perspectiva curvilínea en muchos campos.

Quién es este libro es para

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de perspectiva curvilínea.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 5 may 2024

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Capítulo 1: Perspectiva curvilínea

La perspectiva curvilínea, también un punto de vista de cinco puntos, es una proyección gráfica que se utiliza para representar cosas tridimensionales en superficies bidimensionales.

Fue codificado formalmente en 1968 por los artistas e historiadores del arte André Barre y Albert Flocon en el libro La Perspective curviligne, Por analogía con una lente de ojo de pez, la perspectiva curvilínea se conoce informalmente como punto de vista de ojo de pez. En animación por computadora y gráficos en movimiento, también se conoce como un planeta en miniatura.

El Retrato de Arnolfini (1434) del primitivo flamenco Jan van Eyck contiene un ejemplo temprano de perspectiva curvilínea aproximada de cinco puntos. Autorretrato en un espejo convexo (hacia 1524) del pintor manierista Parmigianino y Vista de Delft (1652) del pintor holandés del Siglo de Oro Carel Fabritius son ejemplos posteriores.

En 1959, Flocon obtuvo una copia de Grafiek en tekeningen de M. C. Escher, cuyo uso de la perspectiva curva y curva inspiró en gran medida la teoría que Flocon y Barre estaban creando. Comenzaron una extensa relación, durante la cual Escher se refirió a Flocon como un alma gemela.

El enfoque combina líneas de perspectiva curvas y una serie de líneas rectas convergentes para imitar más adecuadamente la imagen en la retina del ojo, que es en sí misma esférica, que la perspectiva lineal clásica, que solo usa líneas rectas pero está extremadamente distorsionada en los bordes.

Se emplean cuatro, cinco o más puntos de fuga:

En la perspectiva de cinco puntos (ojo de pez), cuatro puntos de fuga se establecen alrededor de la circunferencia de un círculo y se etiquetan como Norte, Oeste, Sur y Este.

La perspectiva de cuatro puntos, o infinitos, es la que (posiblemente) más se asemeja a la perspectiva del ojo humano, a la vez que es eficaz para representar espacios imposibles. Así como la perspectiva de cinco puntos es el equivalente curvilíneo de la perspectiva de un punto, la perspectiva de cuatro puntos es el equivalente de la perspectiva de dos puntos.

Al igual que la perspectiva de dos puntos, este enfoque puede utilizar una línea vertical como línea de horizonte para proporcionar una vista de gusano y una vista de pájaro simultáneamente. Emplea cuatro o más puntos igualmente espaciados a lo largo de una línea de horizonte, todas las líneas verticales se construyen perpendiculares a la línea de horizonte y las ortogonales se crean utilizando una brújula establecida en una línea que pasa a través de cada uno de los cuatro puntos de fuga en un ángulo de 90 grados.

Las distancias a y c entre el espectador y la pared son mayores que b, por lo tanto, aplicando el principio de que un objeto se encoge a medida que aumenta su distancia del observador, la pared se encoge y aparece deformada en sus bordes.

Si un punto tiene las coordenadas cartesianas en tres dimensiones (x,y,z):

{\displaystyle P_{\mathrm {3D} }=(x,y,z)}

Denotando la distancia desde el punto hasta el origen por d = √x2

+ y2 + z2

, En consecuencia, la transición del punto a un sistema de referencia curvilíneo con radio R es

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)}

(si d = 0 y el punto está en el origen, su proyección es indefinida)

Esto se obtiene proyectando primero el punto 3D sobre una esfera de radio R que está centrada en el origen, de modo que se obtiene una imagen del punto con coordenadas.

{\displaystyle P_{\mathrm {sphere} }=(x,y,z)*\left({\frac {R}{d}}\right)}

A continuación, se utiliza una proyección paralela al eje z para proyectar el punto de la esfera sobre el papel en z = R, logrando así el resultado.

{\displaystyle P_{\mathrm {image} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}},R\right)}

Dado que es irrelevante que el papel esté descansando en el plano z = R, ignoramos la coordenada z del punto de la imagen, lo que produce

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)=R*\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

Dado que el cambio R solo equivale a un escalado, Normalmente, se caracteriza como unidad, simplificando aún más la fórmula para:

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {x}{d}},{\frac {y}{d}}\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

Una línea que no pasa por el origen se proyecta sobre la esfera como un gran círculo, que a su vez se proyecta sobre el plano como una elipse. Es una propiedad de una elipse que su eje largo es un diámetro del círculo delimitador.

Llegada del emperador Carlos IV a la basílica de Saint Denis, por Jean Fouquet

Parmigianino, retrato de sí mismo en un espejo convexo

Detalle del siglo XIV del espejo convexo en el Retrato de Arnolfini de Jan van Eyck.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Sistema de coordenadas esféricas

Para especificar la ubicación de un punto en el espacio tridimensional utilizando un sistema de coordenadas esféricas, se utilizan tres números: la distancia radial desde el origen, el ángulo polar medido desde el cenit y el ángulo acimutal de la proyección ortogonal en el plano que pasa por el origen y es ortogonal al cenit. Es como el sistema de coordenadas polares, pero en tres dimensiones.

El término distancia radial se refiere a la distancia a lo largo del eje radial de un círculo. La latitud, el ángulo cenital, el ángulo normal y el ángulo de inclinación son nombres para el ángulo polar.

Cuando el radio se mantiene constante, las dos coordenadas angulares forman un sistema de coordenadas esféricas.

Diferentes recursos y campos pueden emplear diferentes símbolos y organizar las coordenadas en una secuencia diferente.

Este artículo utilizará la convención ISO que se encuentra con frecuencia en física: (r,\theta ,\varphi ) da la distancia radial, el ángulo polar y el acimut de la brújula.

Por el contrario, varios textos matemáticos, {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} o (r,\theta ,\varphi ) da la distancia radial, el ángulo acimutal, el ángulo polar, cambiando los significados de θ y φ.

También hay más modismos en uso, por ejemplo, la distancia r está desde el eje z, por lo tanto, es esencial verificar la interpretación de los símbolos.

Las posiciones se expresan utilizando el lenguaje de los sistemas de coordenadas geográficas, la latitud es la métrica utilizada para localizar objetos, longitud, estatura (altitud).

Existen varios sistemas de coordenadas celestes, cada uno con su propio plano fundamental y conjunto de términos para las diversas medidas angulares y lineales.

Los sistemas de coordenadas esféricas utilizados en matemáticas normalmente usan radianes en lugar de grados y miden el ángulo acimutal en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x hasta el  eje y en lugar de hacerlo en el sentido de las agujas del reloj desde el norte (0°) hasta el este (+90°) como el sistema de coordenadas horizontales.

En lugar de usar el ángulo polar, se podría usar el ángulo de elevación, que es el ángulo desde el plano horizontal hasta el eje Z positivo, 0 grados de elevación sobre el horizonte; Un ángulo de elevación negativo se denomina ángulo de depresión.

El sistema de coordenadas esféricas es una generalización del sistema de coordenadas polares para su uso en tres dimensiones. Se puede generalizar a dimensiones más altas, momento en el que se conoce como sistema de coordenadas hiperesféricas.

Un sistema de coordenadas esféricas se define eligiendo un punto de origen y dos direcciones de referencia (el cenit y el acimut) que son perpendiculares entre sí. Un plano de referencia, incluyendo el origen y perpendicular al cenit, se establece mediante estas selecciones. Entonces, podemos definir las coordenadas esféricas de un punto P de la siguiente manera:

La distancia radial, a menudo conocida como radio, es la distancia euclidiana entre dos puntos, digamos O y P.

Refiriéndonos al plano de referencia, el acimut (o ángulo acimutal) es el ángulo con signo formado por la proyección ortogonal del segmento de línea OP.

El ángulo polar, o inclinación, es el ángulo formado entre la dirección cenital y la línea OP.

La dirección del acimut se establece eligiendo una dirección que haga un giro positivo con respecto al cenit. La definición de un sistema de coordenadas incluye esta decisión aparentemente arbitraria.

Para calcular el ángulo de elevación, divida el ángulo formado entre el segmento de línea OP y el plano de referencia por 2, cuando el cenit se encuentra en el eje positivo.

Equivalentemente, es 90 grados (π/

2

radianes) menos el ángulo de inclinación.

Si la inclinación es cero o 180 grados (π radianes), el acimut se puede elegir a voluntad.

Suponiendo un radio cero, el acimut y la inclinación se pueden elegir a voluntad.

El vector de posición de un punto dado P es el vector de O, el origen, a P.

Hay varias formas diferentes en las que se pueden representar las tres coordenadas y en la secuencia adecuada para componerlas.

El uso de (r,\theta ,\varphi ) para denotar la distancia radial, la inclinación (o elevación) y el acimut, respectivamente, la física utiliza habitualmente como método, la ISO 80000-2:2019 es la norma que rige esto, la ISO 31-11 o anterior (1992).

Este artículo, dado lo anterior, se adherirá a la norma ISO, {\displaystyle (r,\theta ,\varphi ),} indica la distancia radial, el ángulo polar y el acimut de la brújula.

Sin embargo, algunos autores (incluidos matemáticos) utilizan ρ para la distancia radial, φ para la inclinación (o elevación) y θ para el acimut, señalando que la distancia r