Modelo geométrica bidimensional: Comprensión y aplicaciones en visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es el modelo geométrico bidimensional

Un modelo geométrico 2D es un modelo geométrico de un objeto como una figura bidimensional, generalmente en el plano euclidiano o cartesiano.

Cómo te beneficiarás

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Modelo geométrico 2D

Capítulo 2: Dimensión

Capítulo 3: Geometría euclidiana

Capítulo 4: Topología

Capítulo 5: Gráficos vectoriales

Capítulo 6: Gráficos por computadora 2D

Capítulo 7: Primitiva geométrica

Capítulo 8: Geometría discreta

Capítulo 9: Geometría sólida constructiva

Capítulo 10: Modelado geométrico

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre el modelo geométrico bidimensional.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de un modelo geométrico bidimensional en en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento básico o información para cualquier tipo de modelo geométrico bidimensional.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 5 may 2024

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Capítulo 1: Modelo geométrico 2D

Un modelo geométrico 2D es una representación de un objeto en dos dimensiones, normalmente en el plano euclidiano o cartesiano.

Aunque todos los elementos materiales son tridimensionales, un modelo geométrico 2D suele ser suficiente para objetos planos, como recortes de papel y piezas de máquinas de chapa. Otros ejemplos incluyen círculos destinados a representar tormentas eléctricas, que, cuando se ven desde arriba, parecen planos.

Formas geométricas simples

Representación de límites

Operaciones booleanas aplicadas a polígonos

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Dimensión

La dimensión de un espacio (u objeto) matemático se define informalmente en física y matemáticas como el menor número de coordenadas necesarias para especificar cualquier punto dentro de él. En consecuencia, una recta tiene una dimensión (1D), ya que solo se requiere una coordenada para identificar un punto en ella, como el punto en 5 en una recta numérica. Una superficie, como el límite de un cilindro o una esfera, tiene una dimensión de dos (2D) porque se necesitan dos coordenadas para especificar un punto en ella, por ejemplo, se necesitan una latitud y una longitud para encontrar un punto en la superficie de una esfera. Un espacio euclidiano bidimensional es un espacio bidimensional basado en planos. El interior de un cubo, cilindro o esfera es tridimensional (3D) porque la localización de un punto dentro de estas áreas requiere tres coordenadas.

El espacio y el tiempo son entidades distintas en la física clásica y se refieren al espacio y al tiempo absolutos. Esta imagen del mundo es un espacio de cuatro dimensiones, pero no el requerido para explicar el electromagnetismo. Las cuatro dimensiones (4D) del espacio-tiempo consisten en eventos que no son absolutos geográfica ni temporalmente, sino que se conocen en relación con el movimiento de un observador. Las variedades pseudo-riemannianas de la relatividad general describen el espacio-tiempo con materia y gravedad. El espacio de Minkowski primero se aproxima al universo sin gravedad. La teoría de supercuerdas tiene 10 dimensiones (hiperespacio 6D + 4D), la supergravedad y la teoría M tienen 11 dimensiones (hiperespacio 7D + 4D), y el espacio de estados de la mecánica cuántica es un espacio de funciones de dimensión infinita.

La idea de la dimensión no se limita a los elementos físicos. Son frecuentes las apariciones de espacios de alta dimensión en las matemáticas y las ciencias. Pueden ser espacios euclidianos o espacios de parámetros o espacios de configuración más generales, como en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana; Se trata de espacios abstractos distintos del espacio físico en el que residimos.

La dimensión de un objeto en matemáticas es, aproximadamente hablando, el número de grados de libertad de un punto en movimiento sobre el objeto. En otras palabras, la dimensión es el número de parámetros independientes o coordenadas necesarias para definir la posición de un punto confinado en el objeto. Por ejemplo, la dimensión de un punto es cero; La dimensión de una línea es uno, ya que un punto solo puede moverse a lo largo de una línea en una dirección (o en su opuesta); la dimensión de un plano es dos, etc.

La dimensión de un objeto es una propiedad intrínseca en el sentido de que es independiente de la dimensión del espacio en el que la cosa está o puede estar incrustada. Las curvas, como los círculos, tienen una dimensión porque la posición de un punto en una curva está determinada por su distancia signada a lo largo de la curva desde un punto fijo en la curva. Esto es independiente del hecho de que, a menos que sea una línea, una curva no puede estar incrustada en un espacio euclidiano de dimensión inferior a dos.

La dimensión del n-espacio euclidiano En es n.

Cuando se intenta generalizar a varios tipos de espacios, es importante incluir, uno se enfrenta a la pregunta ¿qué hace que En n-dimensional? Una respuesta es que para cubrir una bola fija en En por pequeñas bolas de radio ε, se necesitan del orden de ε−n bolas tan pequeñas.

Esta idea da como resultado la definición de la dimensión de Minkowski y una variación más compleja, la distancia de Hausdorff, Sin embargo, hay respuestas adicionales a esa pregunta.

Por ejemplo, el límite de una bola en En se parece localmente  a En-1 y esto lleva a la noción de la dimensión inductiva.

Si bien estas nociones coinciden en En, cuando se examinan espacios más amplios, resultan ser diferentes.

Un teseracto es un ejemplo de un objeto con cuatro dimensiones. Los matemáticos suelen expresar esto como El teseracto tiene dimensión 4 o La dimensión del teseracto es 4 o 4D, aunque fuera de las matemáticas el término dimensión se usa típicamente como Un teseracto tiene cuatro dimensiones.

Aunque la noción de dimensiones superiores se remonta a René Descartes, el desarrollo significativo de la geometría de dimensiones superiores no comenzó hasta el siglo XIX, por los esfuerzos de Arthur Cayley, Henry Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli y Bernhard Riemann.

Habilitationsschrift de Riemann de 1854, Theorie der vielfachen Kontinuität de Schläfli de 1852 y el descubrimiento de los cuaterniones de John T. Hamilton.

El descubrimiento de Graves en 1843 de los octoniones marcó el comienzo de la geometría de dimensiones superiores.

Esta parte continúa con una discusión de algunas de las definiciones matemáticas más importantes de dimensión.

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquier base para el espacio, o el número de coordenadas necesarias para expresar cualquier vector. Este concepto de dimensión (la cardinalidad de una base) se conoce con frecuencia como la dimensión de Hamel o dimensión algebraica para diferenciarlo de otros conceptos de dimensión.

Para la situación non-free, esto se generaliza al concepto de la longitud de un módulo.

Es posible calcular la dimensión especificada de forma única de cada variedad topológica conectada. Localmente, una variedad topológica conexa es homeomorfa al n-espacio euclídeo, donde n es la dimensión de la variedad.

En cualquier punto, la dimensión de las variedades diferenciables enlazadas es también la dimensión del espacio vectorial tangente.

Dentro del campo de la topología geométrica, la teoría de la variedad se define por la simplicidad relativa de las dimensiones 1 y 2, Los ejemplos de alta dimensión con n > 4 se simplifican al proporcionar espacio de trabajo adicional; Además, las instancias n = 3 y 4 son, en cierto modo, las más difíciles.

Este estado de cosas fue muy marcado en los diversos casos de la conjetura de Poincaré, en los que se utilizan cuatro enfoques distintos de prueba.

La dimensión