Filtro de partículas: Explorando los filtros de partículas en visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es el filtro de partículas

Los filtros de partículas, o métodos secuenciales de Monte Carlo, son un conjunto de algoritmos de Monte Carlo que se utilizan para encontrar soluciones aproximadas a problemas de filtrado para espacios de estados no lineales. sistemas, como el procesamiento de señales y la inferencia estadística bayesiana. El problema de filtrado consiste en estimar los estados internos en sistemas dinámicos cuando se realizan observaciones parciales y existen perturbaciones aleatorias tanto en los sensores como en el sistema dinámico. El objetivo es calcular las distribuciones posteriores de los estados de un proceso de Markov, dadas las observaciones parciales y ruidosas. El término "filtros de partículas" fue acuñado por primera vez en 1996 por Pierre Del Moral sobre los métodos de interacción de partículas de campo medio utilizados en mecánica de fluidos desde principios de los años 1960. El término "Monte Carlo secuencial" fue acuñado por Jun S. Liu y Rong Chen en 1998.

Cómo se beneficiará

(I) Insights, y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Filtro de partículas

Capítulo 2: Muestreo de importancia

Capítulo 3: Proceso de puntos

Capítulo 4: Ecuación de Fokker?Planck

Capítulo 5: Lema de Wiener

Capítulo 6: Ecuación de Klein?Kramers

Capítulo 7: Métodos de partículas de campo medio

Capítulo 8: Kernel de Dirichlet

Capítulo 9: Distribución de Pareto generalizada

Capítulo 10: Superproceso

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre filtro de partículas.

(III) Ejemplos del mundo real sobre el uso de filtros de partículas en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Filtro de Partículas.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 13 may 2024

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Capítulo 2: Importancia del muestreo

Para evaluar las características de una distribución de interés utilizando solo muestras extraídas de otra distribución, se emplea la técnica de muestreo de importancia de Monte Carlo. El muestreo de importancia es similar al muestreo general en física computacional, y su inicio en estadística se atribuye típicamente a un estudio realizado por Teun Kloek y Herman K. van Dijk en 1978. El muestreo de esta distribución alternativa, la realización de inferencias basadas en dichas muestras, o ambas, pueden denominarse con esta palabra, dependiendo del contexto.

Sea {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } una variable aleatoria en algún espacio de probabilidad (\Omega ,{\mathcal {F}},P) .

Queremos calcular la distribución de probabilidad de X dado P, marcado con el EX; Símbolo P].

Si tenemos muestras aleatorias estadísticamente independientes x_{1},\ldots ,x_{n} , producidas de acuerdo con P, Por lo tanto, un cálculo práctico de EX; P] es

{\displaystyle {\widehat {\mathbf {E} }}_{n}[X;P]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\quad \mathrm {where} \;x_{i}\sim P(X)}

y la exactitud de esta aproximación es proporcional a la dispersión de X:

{\displaystyle \operatorname {var} [{\widehat {\mathbf {E} }}_{n};P]={\frac {\operatorname {var} [X;P]}{n}}.}

La idea principal detrás del muestreo de importancia es reducir la incertidumbre en la estimación de EX; P] extrayendo muestras de una distribución separada para los estados, o cuando es difícil tomar muestras de P.

Esto se logra eligiendo primero una variable aleatoria L\geq 0 tal que EL;P] = 1 y que P-casi en todas partes L(\omega )\neq 0 .

Con la variable L definimos una probabilidad {\displaystyle P^{(L)}} que satisface

{\mathbf {E}}[X;P]={\mathbf {E}}\left[{\frac {X}{L}};P^{{(L)}}\right].

Por lo tanto, la variable X/L se muestreará bajo P(L) para estimar EX; P] como en el caso anterior y esta estimación mejora cuando

\operatorname {var}\left[{\frac {X}{L}};P^{{(L)}}\right]<\operatorname {var}[X;P]

.

Cuando X es de signo constante sobre Ω, la mejor variable L sería claramente L^{*}={\frac {X}{{\mathbf {E}}[X;P]}}\geq 0 , de modo que X/L* es la constante buscada EX; P] y una sola muestra bajo P(L*) es suficiente para dar su