Difusión anisotrópica: Mejora del análisis de imágenes mediante difusión anisotrópica

Por Fouad Sabry

¿Qué es la difusión anisotrópica?

En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora, la difusión anisotrópica, también llamada difusión Perona?Malik, es una técnica que tiene como objetivo reducir el ruido de la imagen sin eliminar partes significativas. del contenido de la imagen, normalmente bordes, líneas u otros detalles que son importantes para la interpretación de la imagen. La difusión anisotrópica se asemeja al proceso que crea un espacio de escala, donde una imagen genera una familia parametrizada de imágenes cada vez más borrosas basándose en un proceso de difusión. Cada una de las imágenes resultantes de esta familia se proporciona como una convolución entre la imagen y un filtro gaussiano isotrópico 2D, donde el ancho del filtro aumenta con el parámetro. Este proceso de difusión es una transformación lineal e invariante en el espacio de la imagen original. La difusión anisotrópica es una generalización de este proceso de difusión: produce una familia de imágenes parametrizadas, pero cada imagen resultante es una combinación entre la imagen original y un filtro que depende del contenido local de la imagen original. Como consecuencia, la difusión anisotrópica es una transformación no lineal y variante en el espacio de la imagen original.

Cómo se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Difusión anisotrópica

Capítulo 2: Leyes de difusión de Fick

Capítulo 3: Ecuación de difusión

Capítulo 4: Ecuación de calor

Capítulo 5: Ecuaciones de Navier-Stokes

Capítulo 6: Variación total

Capítulo 7: Divergencia

Capítulo 8: Operador de Laplace

Capítulo 9: Curl (matemáticas)

Capítulo 10: Teorema de divergencia

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre anisotrópico difusión.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la difusión anisotrópica en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Difusión Anisotrópica.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 28 abr 2024

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Capítulo 1: Difusión anisotrópica

La difusión anisotrópica, también conocida como difusión Perona-Malik, es un método utilizado en el procesamiento de imágenes y la visión por computadora para reducir el ruido en una imagen sin sacrificar las características interpretables de la imagen, como bordes, líneas y otros detalles más finos. En la difusión anisotrópica, una imagen desarrolla una familia parametrizada de imágenes cada vez más borrosas a través de un proceso de difusión, análogo al proceso que construye un espacio de escala. Cada imagen de salida de esta familia está representada por la convolución de la original con un filtro gaussiano isotrópico bidimensional cuyo ancho escala a medida que aumenta el parámetro. La imagen se transforma de forma lineal e invariable en el espacio mediante el proceso de difusión. En la difusión anisotrópica, la imagen original se combina con un filtro que a su vez depende del contenido local de la imagen original para obtener una familia de imágenes parametrizadas. Por lo tanto, la difusión anisotrópica es un cambio de la imagen original que es a la vez no lineal y variable en el espacio.

Desde su creación con la presentación de Perona y Malik en 1987, las imágenes generadas han sido capaces de mantener estructuras lineales sin dejar de suavizarse a lo largo de estos mismos patrones. En ambos escenarios, el coeficiente de difusión es una función de la posición espacial de la imagen y, por lo tanto, toma un valor de matriz (o tensor) en lugar de permanecer como un escalar constante (ver tensor de estructura).

Aunque el filtro adaptado localmente y su combinación con la imagen se pueden conceptualizar como una combinación de la imagen original y los filtros de variante de espacio, esto no es necesario para la familia de imágenes resultante. Cada nueva imagen de la familia se calcula aplicando esta ecuación a la imagen anterior, lo que hace posible la difusión anisotrópica utilizando una aproximación de la ecuación de difusión generalizada. Para lograr el nivel deseado de suavizado, la difusión anisotrópica es un proceso iterativo en el que se emplea un conjunto muy simple de cálculos para calcular cada imagen consecutiva de la familia.

Formalmente, denotemos \Omega \subset {\mathbb {R}}^{2} un subconjunto del plano y I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow {\mathbb {R}} seamos una familia de imágenes en escala de grises.

{\displaystyle I(\cdot ,0)} es la imagen de entrada.

Entonces, podemos caracterizar la difusión anisotrópica como

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}

donde \Delta denota el laplaciano, \nabla denota el gradiente, {\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )} es el operador de divergencia y c(x,y,t) es el coeficiente de difusión.

Para {\displaystyle t>0} , la imagen de salida está disponible como {\displaystyle I(\cdot ,t)} , con imágenes más grandes t que producen imágenes más borrosas.

c(x,y,t) Controla la velocidad de difusión y, por lo general, se elige en función del degradado de la imagen para preservar los bordes de la imagen.

La difusión anisotrópica fue propuesta por primera vez en 1990 por Pietro Perona y Jitendra Malik, quienes también sugirieron dos funciones para el coeficiente de difusión:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}

y

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

La constante K determina qué tan sensible es el sistema a los bordes; Por lo general, se selecciona empíricamente o en función del nivel de ruido de la imagen.

Denotemos M la variedad de imágenes suaves, entonces las ecuaciones de difusión presentadas anteriormente se pueden interpretar como las ecuaciones de descenso de gradiente para la minimización de la energía funcional E:M\rightarrow {\mathbb {R}} definida por

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{{\Omega }}g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

donde g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}} es una función de valor real que está íntimamente relacionada con el coeficiente de difusión.

A continuación, para cualquier función de prueba infinitamente diferenciable con soporte compacto h ,

{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}

donde la última línea es una consecuencia de la integración multidimensional de varias partes.

Denotando \nabla E_{I} el gradiente de E con respecto al L^{2}(\Omega ,{\mathbb {R}}) producto interno evaluado en I, esto da

{\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

Esto conduce a las siguientes ecuaciones para el gradiente descendente de la función E:

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

De este modo, dejando que c=g' las ecuaciones de difusión anisotrópicas se obtengan.

El coeficiente de difusión, c(x,y,t) , como lo proponen Perona y Malik, puede dar lugar a inestabilidades cuando {\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}} .

Se demuestra que esta condición es equivalente a un valor negativo para el coeficiente de difusión físico (que es distinto del coeficiente de difusión matemático definido por Perona y Malik) y, por lo tanto, da como resultado una difusión hacia atrás que acentúa los contrastes de intensidad de la imagen en lugar de suavizarlos.

Evitando el problema, People ha demostrado que las regularizaciones espaciales conducen a una solución convergente y constante de estado estacionario, por lo que se requiere la regularización.

La regularización de la ecuación P-M (que se explicará) tiene otro nombre:

Usando este método, para obtener una ecuación de Perona-Malik modificada, la incógnita se convoluciona con una gaussiana dentro de la no linealidad.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}

donde

{\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}

.

Esta regularización permite que la ecuación esté bien planteada, pero también introduce el efecto de desenfoque que normalmente se asocia con la regularización. Dado que el parámetro de regularización debe seleccionarse de antemano, es esencial conocer el nivel de ruido de antemano.

El ruido en las fotografías digitales se puede suavizar mediante difusión anisotrópica sin afectar a la nitidez de los bordes de la imagen. Las ecuaciones de difusión anisotrópica se pueden simplificar a la ecuación del calor, que es idéntica a la desenfoque gaussiana, cuando el coeficiente de difusión permanece constante. Esto funciona de maravilla para suprimir el ruido de fondo, pero suaviza los bordes sin discriminación. Si el coeficiente de difusión se utiliza como una función para evitar los bordes afilados, como en el método de Perona-Malik, entonces las ecuaciones resultantes promueven la difusión (y, en consecuencia, el suavizado) en las partes menos intensas de la imagen mientras la inhiben a través de los bordes afilados. Como resultado, los límites de la imagen están protegidos mientras se reduce el ruido.

De manera análoga a la cancelación de ruido, los algoritmos de detección de bordes pueden beneficiarse de la aplicación de la difusión anisotrópica. Después de un cierto número de iteraciones de difusión con un coeficiente de difusión que busca bordes, la imagen habrá evolucionado para convertirse en constante a trozos, con los bordes indicando los límites entre los componentes constantes.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Las leyes de difusión de Fick

Adolf Fick propuso originalmente sus leyes de difusión en 1855, describiendo la difusión sobre la base de evidencia principalmente experimental. La primera ley de Fick se puede usar para obtener su segunda ley, que es igual a la ecuación de difusión, y ambas se pueden usar para resolver el coeficiente de difusión.

La difusión normal o fickiana se refiere a un proceso de difusión que sigue las leyes de Fick; La difusión anómala o no fickiana se refiere a un proceso que se desvía de estas reglas.

Las ahora famosas reglas de difusión masiva fueron descritas por primera vez por el científico Adolf Fick en 1855. Inspirando el trabajo de Fick fueron las investigaciones previas de Thomas Graham, que, aunque interesantes, no proporcionaron las leyes esenciales por las que Fick se haría famoso. La ley de Fick es comparable a otras leyes descubiertas al mismo tiempo por otras luminarias, como la ley de Darcy (flujo hidráulico), la ley de Ohm (transporte de carga) y la ley de Fourier (análisis de frecuencia) (transporte de calor).

Basándose en el trabajo de Graham, Fick llevó a cabo experimentos en los que midió las concentraciones y los flujos de sal a medida que se difundía a través de tubos de agua de un depósito a otro. En general, no se pensaba que la difusión en sólidos fuera concebible en ese momento, por lo tanto, el estudio de Fick se centró exclusivamente en la difusión en fluidos. no fickiano es un término utilizado para describirlo.

De acuerdo con la primera ley de Fick, el flujo de difusión es proporcional al gradiente de concentración. En su forma más simple, es la idea de que un soluto migraría de una región de alta concentración a una de baja concentración a través de un gradiente de concentración, siendo la cantidad de flujo proporcional al gradiente de concentración (derivada espacial). Diferentes variantes de la ley pueden expresarse en una sola dimensión (espacial), siendo la base molar la más prevalente:

{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}

Dónde

J es el flujo de difusión, cuya dimensión es la cantidad de sustancia por unidad de área por unidad de tiempo. J mide la cantidad de sustancia que fluirá a través de una unidad de área durante un intervalo de tiempo unitario.

D es el coeficiente de difusión o difusividad. Su dimensión es área por unidad de tiempo.

φ (para mezclas ideales) es la concentración, que se mide en términos de masa por unidad de volumen.

x es la posición, cuya dimensión es la longitud.

D es proporcional a la velocidad al cuadrado de las partículas difusoras, es decir, depende de la temperatura, de acuerdo con la relación Stokes-Einstein, la viscosidad del fluido y el tamaño de partícula.

En soluciones acuosas diluidas, los coeficientes de difusión de la mayoría de los iones son similares y tienen valores que a temperatura ambiente están en el rango de (0,6-2)×10-9 m2/s.

En el caso de las moléculas biológicas, los coeficientes de difusión oscilan normalmente entre 10−10 y 10−11 m2/s.

En dos o más dimensiones debemos utilizar ∇, gradiente u operador del, que engloba la primera derivada en su conjunto, obteniendo

{\displaystyle \mathbf {J} =-D\nabla \varphi }

El vector de flujo de difusión se denota con la letra J.

La fuerza motriz para la difusión unidimensional es la cantidad −∂φ/

∂x

, este es el gradiente de concentración para mezclas homogéneas.

Otra forma de la primera ley es escribirla con la variable primaria como fracción de masa (yi, presentada, a modo de ilustración, en kg/kg, Después, la ecuación cambia a:

{\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}}

Dónde

La i-ésima especie está indicada por el índice i, Ji es el vector de flujo de difusión de la i-ésima especie (por ejemplo, en mol/m2-s), Mi es la masa molar de la i-ésima especie, y

ρ es la densidad de la mezcla (por ejemplo, en kg/m3).

Tenga en cuenta que el \rho está fuera del operador de gradiente.

Por esta razón:

{\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }}}

donde ρsi es la densidad parcial de la i-ésima especie.

Además, el gradiente de potencial químico de una especie es la fuerza impulsora para la difusión de esa especie en sistemas químicos distintos de soluciones o mezclas perfectas. Entonces se puede formular la primera ley de la teoría de Fick (en una sola dimensión).

J_i = - \frac{D c_i}{RT} \frac{\partial \mu_i}{\partial x}

Dónde

La i-ésima especie se indica mediante el índice i.

c es la concentración (mol/m3).

R es la constante universal de gas (J/K/mol).

T es la temperatura absoluta (K).

μ es el potencial químico (J/mol).

El diferencial de fugacidad es el factor determinante detrás de la ley de Fick:

{\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}}}

Fugacity f_{i} tiene unidades de Pa.

f_{i} Es una presión parcial del componente I en una fase líquida {\displaystyle f_{i}^{G}} o de  vapor