Transformacion afin: Desbloqueo de perspectivas visuales: exploración de la transformación afín en visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la transformación afín

En geometría euclidiana, una transformación afín o afinidad es una transformación geométrica que conserva líneas y paralelismo, pero no necesariamente distancias y ángulos euclidianos. p>

Cómo te beneficiarás

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Transformación afín

Capítulo 2: Mapa lineal

Capítulo 3: Traducción (Geometría)

Capítulo 4: Grupo afín

Capítulo 5: Espacio afín

Capítulo 6: Matriz de transformación

Capítulo 7: Sistema de coordenadas baricéntrico

Capítulo 8: Espacio de coordenadas real

Capítulo 9: Valores propios y vectores propios

Capítulo 10: Descomposición propia de una matriz

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre la transformación afín.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la transformación afín en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento básico. o información para cualquier tipo de Transformación Afín.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 28 abr 2024

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Capítulo 1: Transformación afín

Una transformación afín (del latín affinis, conectado con) es una transformación geométrica en geometría euclidiana que mantiene las líneas rectas y el paralelismo, pero cambia las longitudes y direcciones de los ángulos y distancias involucrados.

Una definición más general de una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son casos especiales de espacios afines), es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo mientras mantiene la relación de las longitudes de los segmentos de recta paralelos. Por lo tanto, después de una transformación afín, los conjuntos de subespacios afines paralelos conservan su paralelismo. Las distancias y los ángulos entre líneas no siempre se conservan mediante una transformación afín, pero sí se conservan las relaciones de distancia a lo largo de una línea recta.

Suponiendo que X es el conjunto de puntos de algún espacio afín, podemos escribir cada transformación afín en X como la combinación de una transformación lineal en X y una traslación de X. No es necesario que el punto de partida del espacio afín permanezca igual durante una transformación afín, a diferencia de una lineal. En consecuencia, toda transformación afín es lineal, pero no toda transformación lineal es afín.

Las transformaciones afines incluyen la traslación, la ampliación, la reducción, la homología, la similitud, la reflexión, la rotación, el mapeo de cortante y cualquier combinación o secuencia de estos.

Las transformaciones afines son aquellas transformaciones proyectivas de un espacio proyectivo que conservan la invariancia del hiperplano en el infinito, definiendo el espacio afín como el complemento del hiperplano en el infinito.

Un mapa afín es una forma más general de una transformación afín.

Imaginemos un cuerpo k y un espacio afín X, Sea V el espacio vectorial al que pertenece.

Una biyección f de X sobre sí misma se denomina transformación afín; esto significa que una función lineal g de V a V está bien definida por la ecuación {\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);} aquí, como de costumbre, El vector libre del punto 2 al punto 1 se denota por la diferencia de estos dos puntos, y bien definido significa que {\displaystyle y-x=y'-x'} implica que

{\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}

Si X tiene al menos dos dimensiones, entonces existe una biyección de X sobre sí misma, denotada por f, tal que:

Si S es un subespacio afín de X en dimensión d, entonces f (S) también es un subespacio afín de X en dimensión d.

De ello se deduce que f (S) y f (T) son paralelos si y solo si S y T son subespacios afines paralelos de X.

Las transformaciones afines satisfacen estas dos condiciones, que expresan precisamente lo que se quiere decir con la frase f conserva el paralelismo.

La segunda condición se deriva lógicamente de la primera, por lo que no pueden considerarse separadas.

Un espacio afín, por definición, V actúa sobre X, de modo que, para cada conjunto de dos (x, v) en X × V hay asociado un punto y en X.

Podemos denotar esta acción por v→(x) = y.

Aquí usamos la convención de que v→ = v son dos notaciones intercambiables para un elemento de V.

Fijando un punto c en X se puede definir una función mc : X → V por mc(x) = cx→.

Suponiendo que c, es una asignación uno a uno con esta función, y por lo tanto, tiene una función inversa mc−¹ : V → X dada por mc−1(v) = v→(c).

Definiendo estas operaciones, podemos transformar X en un espacio vectorial (con respecto a c):

{\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}

y

{\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}

A pesar de que este espacio vectorial con origen c debe distinguirse formalmente del espacio afín X, en la práctica suele denotarse con el mismo símbolo y sólo después de que se ha especificado un origen se menciona que se trata de un espacio vectorial. Este reconocimiento permite la transformación de la representación vectorial a la representación puntual y viceversa.

Para cualquier transformación lineal λ de V, L(c) es una función que se puede definir, λ) : X → X por

{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}

Si es así, L(c), λ) es una transformación afín de X que deja fijo el punto c .

Es un mapa lineal de X a otra variable, representado por un espacio vectorial con c como centro.

Sea σ cualquier transformación afín de X.

Escoge un punto c en X y considera la traslación de X por el vector {\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}} , denotado por Tw.

Las transformaciones afines incluyen traslaciones, y las transformaciones afines incluyen su composición.

A la luz de esta c específica, existe una transformación lineal única λ de V tal que

{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}

En otras palabras, si consideramos que X es un espacio vectorial, entonces cualquier transformación afín arbitraria de X puede escribirse como la composición de una transformación lineal de X y una traslación de X.

Las transformaciones afines se definen normalmente en términos de esta representación (con la elección del origen implícita).

Teniendo en cuenta lo anterior, los mapas afines se construyen combinando una función de traslación con un mapa lineal.

La multiplicación de matrices se utiliza para representar mapas lineales en álgebra vectorial estándar, para representar traslaciones a través de la suma de vectores.

Formalmente, en el límite de las dimensiones finitas, si el mapa lineal se representa como una multiplicación por una matriz invertible A y la traslación como la adición de un vector \mathbf {b} , un mapa afín f que actúa sobre un vector \mathbf {x} se puede representar como

{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

Con la ayuda de una matriz mejorada y un vector mejorado, no se requieren multiplicaciones de matrices múltiples para representar la traslación y el mapa lineal.

El método requiere agregar un 1 final a todos los vectores, y que la fila inferior de todas las matrices se complete con ceros, agregue la columna más a la derecha (vector de traslación), más un solo número en la esquina inferior derecha.

Si A es una matriz,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

significa lo mismo que

{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

Matriz de transformación afín es otro nombre para la matriz aumentada que se muestra arriba.

En la mayoría de las situaciones, cuando el último vector fila no está restringido a ser {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]} , la matriz se convierte en una matriz de transformaciones proyectivas (ya que también se puede utilizar para realizar transformaciones proyectivas).

Esta representación exhibe el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles, como el producto semidirecto de K^{n} y {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)} .

La ley de la composición de funciones define a este grupo, denominado grupo afín.

Al multiplicar matrices y vectores, el origen siempre se transfiere al origen y, por lo tanto, nunca sustituye a una traslación, donde el punto de partida debe moverse a otra ubicación.

Agregando el dígito adicional 1 al final de cada vector, esta dimensión adicional se puede considerar como un subconjunto del espacio que se está mapeando.

En ese punto, cuando la coordenada adicional es 1, el espacio original está contenido en esa región más pequeña.

Así, el origen del espacio original se puede encontrar en {\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)} .

Al aplicar una transformación lineal al espacio de mayor dimensión, podemos realizar una traslación dentro del espacio original (más precisamente, una deformación en cortante).

Las coordenadas homogéneas incluyen, por ejemplo, las que se utilizan para describir el espacio de dimensiones superiores.

Asumiendo un punto de partida euclidiano, el verdadero espacio proyectivo existe en las dimensiones superiores.

Al multiplicar las matrices correspondientes, se puede combinar cualquier número de transformaciones afines en una sola cuando se trabaja con coordenadas homogéneas. Numerosas aplicaciones en robótica, visión por computadora y gráficos por computadora dependen de esta propiedad.

Si los vectores {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n+1}} son una base del espacio vectorial proyectivo del dominio y si {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dotsc ,\mathbf {y} _{n+1}} son los vectores correspondientes en el espacio vectorial del codominio, entonces la matriz aumentada M que logra esta transformación afín

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

es

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}

Independientemente de que los espacios vectoriales de dominio, codominio e imagen tengan o no el mismo número de dimensiones, esta formulación sigue siendo válida.

Por ejemplo, la transformación afín de un plano vectorial se determina de forma única a partir del conocimiento de dónde se asignan los tres vértices ( {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}} ) de un triángulo no degenerado a ( {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}} ), independientemente de si el triángulo no es degenerado en el codominio y del número de dimensiones del codominio.

Conserva la estructura afín durante:

Cuando tres o más puntos se encuentran a lo largo de la misma línea, se dice que son colineales, y esta propiedad sobrevive a la transformación.

Cuando dos o más líneas sufren una transformación, se conserva su paralelismo.

Un conjunto que es convexo antes de una transformación sigue siendo convexo después de la transformación. Además, los puntos extremos del conjunto transformado se corresponden con los puntos extremos del conjunto original.

Razones de longitudes de segmentos de rectas paralelas: para distintos segmentos paralelos definidos por puntos p_{1} y p_{2} , p_{3} y p_4 , la razón de {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}} y {\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}} es la misma que la de {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}} {\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}} y .

baricentros para conjuntos de puntos con diferentes pesos.

Teniendo en cuenta que las transformaciones afines se pueden invertir, la matriz cuadrada que A aparece en su representación matricial es invertible.

Por lo tanto, la representación matricial de la transformación inversa es

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}

El grupo afín es el conjunto de transformaciones afines invertibles, (de un espacio afín a otro), que tiene como subgrupo el grupo lineal general de grado n y es a su vez un subgrupo del grupo lineal general de grado n+1 .

Las transformaciones de similitud forman el subgrupo donde A es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal.

Por ejemplo, si la transformación afín actúa en el plano y si el determinante de A es 1 o −1, entonces la transformación es una asignación equiárea.

El grupo formado por tales transformaciones se conoce como grupo equiafín.

Una isometría del plano en términos de distancia euclidiana es una transformación que es a la vez equiafín y una similitud.

Cada uno de estos grupos tiene un subgrupo de transformaciones afines positivas o que conservan la orientación: aquellas en las que el determinante de A es positivo.

Por último, pero no menos importante, esta es la clase de transformaciones rígidas en tres dimensiones (rotaciones propias y traslaciones puras).

En presencia de un punto fijo, la transformación afín se simplifica a una lineal. Esto podría mejorar nuestra capacidad para categorizar y comprender el cambio. Por ejemplo, puede ser más fácil visualizar el comportamiento general de una transformación si se describe como una rotación por un cierto ángulo con respecto a un determinado eje, en lugar de como una combinación de una traslación y una rotación. Sin embargo, esto depende de la situación y el contexto.

Un mapa afín {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} entre dos espacios afines es un mapa en los puntos que actúa linealmente sobre los vectores (es decir, los vectores de conexión del espacio).

En símbolos, f determina una transformación lineal \varphi tal que, para cualquier par de puntos: P,Q\in {\mathcal {A}}

{\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})

o

f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)

.

Aquí hay algunas formas alternativas de ver esta definición:

Si se elige un origen O\in {\mathcal {A}} ,