Correlación cruzada: Desbloqueo de patrones en visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la correlación cruzada

En el procesamiento de señales, la correlación cruzada es una medida de similitud de dos series en función del desplazamiento de una con respecto a la otra. Esto también se conoce como producto escalar deslizante o producto interno deslizante. Se utiliza comúnmente para buscar una señal larga para una característica conocida más corta. Tiene aplicaciones en reconocimiento de patrones, análisis de partículas individuales, tomografía electrónica, promedios, criptoanálisis y neurofisiología. La correlación cruzada es de naturaleza similar a la convolución de dos funciones. En una autocorrelación, que es la correlación cruzada de una señal consigo misma, siempre habrá un pico con un retraso de cero y su tamaño será la energía de la señal.

Cómo lo harás beneficio

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Correlación cruzada

Capítulo 2: Autocorrelación

Capítulo 3: Matriz de covarianza

Capítulo 4: Estimación de matrices de covarianza

Capítulo 5: Covarianza cruzada

Capítulo 6: Autocovarianza

Capítulo 7: Métodos bayesianos variacionales

Capítulo 8: Distribución gamma normal

Capítulo 9: Algoritmo de maximización de expectativas

Capítulo 10: Griffiths desigualdad

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre la correlación cruzada.

(III) Ejemplos del mundo real sobre el uso de la correlación cruzada en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de correlación cruzada. p>

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 10 may 2024

Vista previa del libro

Capítulo 1: Correlación cruzada

La correlación cruzada se utiliza en el procesamiento de señales para cuantificar el grado en que dos series son comparables en función de su desplazamiento relativo. Un producto de punto deslizante (o producto interno deslizante) es otro nombre para este concepto. Por lo general, se emplea para filtrar una señal larga en busca de una característica discreta y predeterminada. Se puede utilizar en una variedad de campos, incluida la neurofisiología, el criptoanálisis, el promedio y el reconocimiento de patrones. La convolución entre dos funciones es análoga a la correlación cruzada. La energía de una señal está representada por un pico con un retraso de cero en una autocorrelación, que es la correlación cruzada consigo misma.

Estadística y probabilidad, el término correlaciones cruzadas se refiere a las correlaciones entre las entradas de dos vectores aleatorios \mathbf {X} y \mathbf {Y} , mientras que las correlaciones de un vector aleatorio \mathbf {X} son las correlaciones entre las entradas de \mathbf {X} sí mismo, las que forman la matriz de correlaciones de \mathbf {X} .

Si cada una de \mathbf {X} y \mathbf {Y} es una variable aleatoria escalar que se realiza repetidamente en una serie temporal, entonces las correlaciones de las diversas instancias temporales de \mathbf {X} se conocen como autocorrelaciones de \mathbf {X} , y las correlaciones cruzadas de \mathbf {X} con \mathbf {Y} a través del tiempo son correlaciones cruzadas temporales.

Estadística y probabilidad, las correlaciones siempre están estandarizadas para que puedan tomar valores entre 1 y +1 como parte de su definición.

Si X y Y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g , respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la diferencia Y-X está formalmente dada por la correlación cruzada (en el sentido de procesamiento de señales); f\star g sin embargo, en los campos de probabilidad y estadística, no utilizamos este lenguaje.

Por el contrario, la convolución f*g (equivalente a la correlación cruzada de f(t) y {\displaystyle g(-t)} ) da la función de densidad de probabilidad de la suma X+Y .

Para funciones continuas f y g , definición de correlación cruzada:

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}

que es lo mismo que

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}

donde {\displaystyle {\overline {f(t)}}} denota el conjugado complejo de f(t) , y \tau se denomina desplazamiento o retraso.

Para altamente correlacionados f y g que tienen una correlación cruzada máxima en un \tau , una característica en f at t también ocurre más tarde en g en t+\tau , por lo tanto, g podría describirse como un retraso f de \tau .

Si f y g son ambas funciones periódicas continuas de período T , la integración de -\infty a \infty se sustituye por la integración en cualquier intervalo {\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]} de longitud T :

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}

que es lo mismo que

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}

La correlación cruzada se define de manera similar para funciones discretas:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}

que es lo mismo que:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}

Para funciones discretas finitas {\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}} , la definición de la correlación cruzada (circular) es:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}

que es lo mismo que:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}

Para funciones discretas finitas {\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}} , {\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}} , definición de correlación cruzada del kernel:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}

donde

{\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}

es un vector de funciones del kernel {\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} } y {\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}} es una transformación afín.

En concreto, {\displaystyle T_{i}(\cdot )} puede ser transformación de traslación circular, transformada de rotación, inversión de escalas, etc.

La correlación cruzada se expande del espacio lineal al espacio kernel por medio de la correlación cruzada kernel.

Equivarianza entre correlación cruzada y traducción; Cualquier transformación afín no tiene ningún efecto en la correlación cruzada del kernel, incluida la traslación, la rotación y la escala, etc.

A modo de ilustración, consideremos dos funciones de valor real f que g difieren solo por un desplazamiento desconocido a lo largo del eje x.

Se puede usar la correlación cruzada para encontrar cuánto g se debe desplazar a lo largo del eje x para que sea idéntico a f .

La fórmula esencialmente desliza la g función a lo largo del eje x, integrando sus bienes en cada posición requiere.

Cuando sus propósitos son congruentes, el valor de (f\star g) se maximiza.

Porque cuando los puntos altos (las áreas positivas) ocurren en una fila, tienen un impacto significativo en la integral.

Del mismo modo, cuando los puntos bajos (valles) coinciden, dado que el producto de dos números negativos es positivo, también contribuyen positivamente a la integral.

Con funciones de valor complejo f y g , tomando el conjugado de f asegura que los picos alineados (o valles alineados) con componentes imaginarios contribuirán positivamente a la integral.

En econometría, la correlación cruzada retardada a veces se denomina autocorrelación cruzada.: pág.

⁷⁴

La correlación cruzada de funciones f(t) y g(t) es equivalente a la convolución (denotada por * ) de {\displaystyle {\overline {f(-t)}}} y g(t) .

Es decir:

{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).}{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).}

Si f es una función hermitiana, entonces {\displaystyle f\star g=f*g.}

Si ambos f y g son hermitianos, entonces f\star g=g\star f .

{\displaystyle \left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}

.

De manera similar al teorema de convolución, el teorema de correlación cruzada establece que

{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},}

donde {\mathcal {F}} denota la transformada de Fourier, y an {\overline {f}} nuevamente indica el conjugado complejo de f , ya que {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}} .

Junto con implementaciones eficientes de la transformada de Fourier, esta característica se utiliza con frecuencia para acelerar los cálculos numéricos de correlación cruzada (ver correlación cruzada circular).

De acuerdo con el teorema de Wiener-Khinchin, la correlación cruzada se puede calcular a partir de la densidad espectral.

La correlación cruzada de una convolución de f y h con una función g es la convolución de la correlación cruzada de g y f con el kernel h :

{\displaystyle g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h} .

Para vectores aleatorios {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})} y {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})} , que consisten en componentes aleatorios con media y desviación estándar conocidas, la matriz de correlación cruzada de \mathbf {X} y \mathbf {Y} se define por: p.337

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}

y tiene dimensiones m\times n .

Escritura basada en componentes:

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}

Los vectores aleatorios \mathbf {X} y \mathbf {Y} no tienen por qué tener la misma dimensión, ambos pueden tomar la forma de valores escalares.

Por ejemplo, si {\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)} y {\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)} son vectores aleatorios, entonces {\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }} es una {\displaystyle 3\times 2} matriz cuya (i,j) entrada -ésima es {\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]} .

Si {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})} y {\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})} son vectores aleatorios complejos, que comprenden variables aleatorias con valores y distribuciones conocidos, la matriz de correlación cruzada de \mathbf {Z} y \mathbf {W} se define por

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}

donde {\displaystyle {}^{\rm {H}}} denota transposición hermitiana.

Estadística y análisis de series temporales, La correlación cruzada entre dos procesos aleatorios mide la relación entre sus valores a lo largo del tiempo, en relación con el intervalo entre ambos.

Sea {\displaystyle (X_{t},Y_{t})} un par de procesos aleatorios, y t sea cualquier punto en el tiempo ( t puede ser un número entero para un proceso de tiempo discreto o un número real para un proceso de tiempo continuo).

Entonces X_{t} es el valor (o realización) producido por una ejecución dada del proceso en el tiempo t .

Supongamos que el proceso tiene medias {\displaystyle \mu _{X}(t)} y {\displaystyle \mu _{Y}(t)} y y {\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)} {\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)} en el tiempo t , para cada t .

Entonces la definición de la correlación cruzada entre tiempos t_{1} y t_{2} es: p.392

{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {Y_{t_{2}}}}\right]}

donde \operatorname {E}