Interpolación bilineal: Mejora de la resolución y claridad de la imagen mediante interpolación bilineal

Por Fouad Sabry

Qué es la interpolación bilineal

En matemáticas, la interpolación bilineal es un método para interpolar funciones de dos variables utilizando interpolación lineal repetida. Generalmente se aplica a funciones muestreadas en una cuadrícula rectilínea 2D, aunque se puede generalizar a funciones definidas en los vértices de cuadriláteros convexos arbitrarios.

Cómo se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Interpolación bilineal

Capítulo 2: Interpolación

Capítulo 3: Lineal interpolación

Capítulo 4: Interpolación polinómica

Capítulo 5: Polinomio de Newton

Capítulo 6: Polinomio de Lagrange

Capítulo 7: Interpolación spline

Capítulo 8: Spline cúbico de Hermite

Capítulo 9: Interpolación trilineal

Capítulo 10: Interpolación bicúbica

(II) Respondiendo al público arriba preguntas sobre interpolación bilineal.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de interpolación bilineal en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Interpolación Bilineal.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 4 may 2024

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Capítulo 1: Interpolación bilineal

La interpolación bilineal es una técnica para interpolar funciones de dos variables (por ejemplo, x e y) mediante interpolación lineal repetida. A menudo se aplica a funciones muestreadas en una cuadrícula rectilínea 2D, pero se puede extender a funciones especificadas en los vértices de cuadriláteros convexos arbitrarios.

La interpolación bilineal se logra empleando interpolación lineal en una dirección y luego en la otra. Aunque cada paso es lineal en términos de valores muestreados y posición, la interpolación en su conjunto es cuadrática en términos de la ubicación de la muestra.

La interpolación bilineal es uno de los métodos de remuestreo fundamentales en la visión por computadora y el procesamiento de imágenes, donde también se conoce como filtrado bilineal y mapeo de texturas bilineales.

Supongamos que queremos determinar el valor de una función desconocida f en la posición (x, y), y).

Se supone que conocemos el valor de f en los cuatro puntos Q11 = (x1, y1), Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) y Q22 = (x2, y2).

Primero, realizamos una interpolación lineal a lo largo del eje x. Esto lleva a

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}}

A continuación, interpolamos a lo largo del eje Y para obtener la estimación adecuada:

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}\left(f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Tenga en cuenta que el resultado es idéntico si la interpolación se realiza primero a lo largo de la dirección y y luego a lo largo de la dirección x.

Alternativamente, la solución al problema de interpolación se puede expresar como un polinomio multilineal.

{\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}

donde los coeficientes se determinan a través de una solución de sistema lineal

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}&x_{1}y_{1}\\1&x_{1}&y_{2}&x_{1}y_{2}\\1&x_{2}&y_{1}&x_{2}y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}},\end{aligned}}}

dando el resultado

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-x_{2}y_{1}&-x_{1}y_{2}&x_{1}y_{1}\\-y_{2}&y_{1}&y_{2}&-y_{1}\\-x_{2}&x_{2}&x_{1}&-x_{1}\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

La respuesta también se puede expresar como una media ponderada de los valores f (Q):

{\displaystyle f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22}),}

Si la suma de los pesos es 1 y se cumple el sistema lineal transpuesto

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\x_{1}&x_{1}&x_{2}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}&y_{1}&y_{2}\\x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}&x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{12}\\w_{21}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},}

dando el resultado

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{21}\\w_{12}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},\end{aligned}}}

lo que simplifica a

{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(x_{2}-x)(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{12}&=(x_{2}-x)(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{21}&=(x-x_{1})(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{22}&=(x-x_{1})(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\end{aligned}}}

coherente con el resultado de la interpolación lineal sucesiva. La colección de pesos también se puede interpretar como un conjunto de coordenadas baricéntricas para un rectángulo que se han generalizado.

Teniendo en cuenta lo anterior, tenemos

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)\approx {\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})&f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Si las cuatro posiciones en las que se conoce f son (0, 0), (1, 0), (0, 1) y (1, 1), entonces la fórmula de interpolación se reduce a

{\displaystyle f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy,}

En consecuencia, en las operaciones matriciales:

{\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.}

Además, reconocemos los pesos:

{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(1-x)(1-y),\\w_{12}&=(1-x)y,\\w_{21}&=x(1-y),\\w_{22}&=xy.\end{aligned}}}

Alternativamente, el interpolante cuadrado unitario se puede expresar como

{\displaystyle f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}

Dónde

{\displaystyle {\begin{aligned}a_{00}&=f(0,0),\\a_{10}&=f(1,0)-f(0,0),\\a_{01}&=f(0,1)-f(0,0),\\a_{11}&=f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0).\end{aligned}}}

Cuatro constantes corresponden al número de puntos de datos donde f se da en ambos casos.

Como su nombre lo indica, el interpolante bilineal no es lineal; No obstante, es lineal (es decir, afín) a lo largo de líneas paralelas al eje X o Y, si X o Y se mantienen constantes. La interpolante a lo largo de cualquier otra línea recta es cuadrática. Aunque la interpolación no es lineal en la ubicación (x e y), los valores de interpolación son lineales en un punto fijo, como se muestra en los cálculos (matrices) anteriores.

La interpolación bilineal produce el mismo resultado independientemente de qué eje se interpola primero y cuál se interpola en segundo lugar. Si hubiéramos realizado una interpolación lineal en la dirección y antes de la dirección x, la aproximación resultante habría sido la misma.

La interpolación se realiza utilizando un polinomio bilineal, que también satisface la ecuación de Laplace para una función armónica.

Su grafo es un parche de superficie de Bézier bilineal.

La interpolación no es invertible porque el interpolante asume cualquier valor (dentro de la envoltura convexa de los valores de los vértices) en un número infinito de puntos (creando ramas de hipérbolas).

Cuando la interpolación bilineal se utiliza simultáneamente a dos funciones, como cuando se interpola un campo vectorial, la interpolación es invertible (bajo ciertas condiciones). Específicamente, esta inversa se puede utilizar para determinar las coordenadas cuadradas unitarias de un punto ubicado dentro de cualquier cuadrilátero convexo (considerando las coordenadas del cuadrilátero como un campo vectorial que se interpola bilinalmente en la unidad cuadrada). Con este método, la interpolación bilineal se puede aplicar a cualquier cuadrilátero convexo, sin embargo, el cálculo es sustancialmente más difícil si el cuadrilátero no es un paralelogramo. La transformación bilineal, la deformación bilineal o la distorsión bilineal describen el mapa resultante entre cuadriláteros.

Una alternativa es emplear un mapeo proyectivo entre un cuadrilátero y el cuadrado unitario, pero la interpolación resultante no será bilineal.

Cuando el cuadrilátero es un