Método de ajuste de nivel: Avances en la visión por computadora, exploración del método de conjunto de niveles

Por Fouad Sabry

¿Qué es el método de conjunto de niveles?

El método de conjunto de niveles (LSM) es un marco conceptual para utilizar conjuntos de niveles como herramienta para el análisis numérico de superficies y formas. LSM puede realizar cálculos numéricos que involucran curvas y superficies en una cuadrícula cartesiana fija sin tener que parametrizar estos objetos. LSM facilita la realización de cálculos en formas con esquinas afiladas y formas que cambian de topología. Estas características hacen que LSM sea eficaz para modelar objetos que varían en el tiempo, como un airbag que se infla o una gota de aceite que flota en el agua.

Cómo se beneficiará

(I) Ideas y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Método de fijación de niveles

Capítulo 2: Ecuaciones de Navier?Stokes

Capítulo 3: Función de Green

Capítulo 4: Hemorreología

Capítulo 5: Modelo autorregresivo

Capítulo 6: Capa límite de Blasius

Capítulo 7: Variación total decreciente

Capítulo 8: Teorema de Godunov

Capítulo 9: Método de red de vórtice

Capítulo 10: Modelo de campo de fase

( II) Responder las principales preguntas del público sobre el método de conjunto de niveles.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso del método de conjunto de niveles en muchos campos.

Quién es este libro para

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Método de establecimiento de niveles.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 11 may 2024

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Capítulo 1: Método de conjunto de niveles

Cuando se trata de análisis numérico de superficies y formas, los métodos de conjuntos de niveles (LSM) proporcionan una base conceptual para emplear conjuntos de niveles. El modelo de conjuntos de niveles es útil porque permite ejecutar cálculos numéricos que involucran curvas y superficies en una cuadrícula cartesiana fija sin necesidad de parametrizar estos objetos (esto se llama el enfoque euleriano). La técnica de conjunto de niveles también facilita el seguimiento sin esfuerzo de las estructuras que experimentan cambios topológicos, como las que sufren bifurcación, oclusión o la inversa de estos procesos. Estas características hacen que el enfoque de ajuste de niveles sea útil para simular fenómenos que cambian con el tiempo, como el inflado de una bolsa de aire o una gota de aceite flotando en el agua.

El diagrama de la derecha profundiza en numerosos puntos clave del enfoque de conjunto de niveles.

Se puede distinguir una forma en la esquina superior izquierda; es decir, un espacio contenido con un borde ordenado.

Debajo de ella, la superficie roja es el gráfico de una función de conjunto de niveles \varphi que determina esta forma, en la que el área azul representa el plano xy.

El límite de la forma es entonces el conjunto de nivel cero de \varphi , mientras que la forma en sí es el conjunto de puntos en el plano para el que \varphi es positivo (interior de la forma) o cero (en el límite).

En la primera columna, la forma sufre una transformación topológica por bifurcación. Parametrizar los límites de la forma y realizar un seguimiento de su evolución para proporcionar una descripción numérica de esta transición sería un desafío. Para crear parametrizaciones para las dos curvas resultantes, se necesita un algoritmo que pueda identificar el punto en el que la forma se divide por la mitad. Por el contrario, la función de ajuste de nivel solo se traducía hacia abajo en la fila inferior. En casos como estos, en los que tratar con la forma en sí misma requeriría pensar y tener en cuenta todas las diferentes deformaciones que la forma podría sufrir, puede ser considerablemente más conveniente trabajar con la forma a través de su función de nivel.

Por lo tanto, dentro de un solo plano, el método de conjunto de niveles equivale a representar una curva cerrada \Gamma (como el límite de la forma en nuestro ejemplo) utilizando una función auxiliar \varphi , función de ajuste de nivel, para abreviar.

\Gamma se representa como el conjunto de nivel cero de \varphi por

{\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},}

y el método level-set manipula \Gamma implícitamente, a través de la función \varphi .

Se supone que esta función \varphi toma valores positivos dentro de la región delimitada por la curva \Gamma y valores negativos fuera.

Si la curva \Gamma se mueve en la dirección normal con una velocidad v , entonces la función de conjunto de niveles \varphi satisface la ecuación de conjunto de niveles

\frac{\partial\varphi}{\partial t} = v|\nabla \varphi|.

Aquí, |\cdot | está la norma euclidiana (denotada habitualmente por barras simples en las EDP), y es el t tiempo.

Una ecuación diferencial parcial se ve así: una ecuación del tipo Hamilton-Jacobi, y existen soluciones numéricas, por ejemplo, usando una cuadrícula cartesiana y diferencias finitas.

Consideremos un círculo unitario en {\textstyle \mathbb {R} ^{2}} , que se contrae continuamente sobre sí mismo, es decir,

A un ritmo constante, todos los puntos en el borde del círculo avanzan a lo largo de la dirección de la normal que apunta hacia adentro.

La esfera disminuirá hasta convertirse en un punto.

Cuando se crea un campo de distancia desde el principio (p. ej.

distancia euclidiana basada en signos a la función de contorno, interior positivo, exterior (negativo en el primer círculo), La normal del círculo es el gradiente normalizado de este campo.

Si se resta un valor constante del campo a lo largo del tiempo, los campos resultantes tendrán un nivel cero circular (el límite original) que finalmente se contrae en un punto. Dado que esto es lo mismo que la integración temporal de la ecuación de Eikonal para una velocidad frontal constante, podemos concluir que.

La ecuación G se utiliza para caracterizar la superficie instantánea de la llama en combustión.

En 1979, Alain Dervieux introdujo el enfoque de conjunto de niveles, que más tarde fue popularizado por Stanley Osher y James Sethian. Ha encontrado un uso generalizado en campos tan diversos como la biología computacional, la geometría computacional y la dinámica de fluidos computacional.

Se han creado varias estructuras de datos de conjuntos de niveles para que la técnica de conjuntos de niveles sea más accesible para su uso en entornos computacionales.

Dinámica de fluidos computacional

Combustión

Planificación de trayectorias

Optimización

Tratamiento de imágenes

Biofísica computacional

Espacio de parámetros y espacio dinámico visualizados en dinámicas discretas complicadas

Para ejecutar un modelo matemático en la interfaz de dos fluidos, debemos amortiguar las interacciones entre los fluidos. Esto requiere el uso de una función muy particular: Método para conjuntos de niveles de condensación.

Como un spin off, el compañero de The LSM, el CompactLSM, que ayuda en la resolución de ecuaciones de LSM.

Tiene aplicaciones en la simulación numérica de flujo, por ejemplo, si se quiere discretizar la interacción agua-aire, entonces, los compactos de 6º orden, garantizan una solución rápida y precisa a las ecuaciones en la interfaz (Monteiro 2018).

El LSM emplea una función de distancia para identificar líquidos específicos. El valor más pequeño de una función de distancia entre el punto de análisis y la interfaz es 1. Los valores positivos de esta función de distancia indican la presencia de un fluido, los valores negativos indican la presencia del otro y cero indica la ubicación de la interfaz, como lo muestran las isolíneas (2D) o isosuperficies (3D) correspondientes.

Cuando se utiliza el enfoque de conjunto de niveles compactos, ¿cómo se incorpora la función Heaviside?

Debido a la discontinuidad en la masa específica y la viscosidad en el contacto, el manejo inadecuado del fluido cerca de la interfaz conducirá tanto al problema de exceso de difusión (ensanchamiento de la interfaz) como a oscilaciones numéricas.

Para reducir el impacto de estos problemas, el enfoque de conjunto de niveles adopta una función Heaviside gradual, relacionada con la celda, que define explícitamente la posición de la interfaz ( \varphi =0 ).

Sin embargo, la interfaz sigue siendo fluida en todo momento, con un espesor en la misma escala que una célula, de modo que no se introducen interrupciones en la misma escala que la malla, debido a que la interfaz implica una transición discontinua de una célula a la siguiente (Unverdi y Tryggvason, 1992).

Reconstruyendo las características del material del flujo, como la densidad y el esfuerzo cortante, se emplea aquí otra función de los marcadores, {\displaystyle I(\varphi )} , tipo Heaviside:

donde \delta es un coeficiente empírico, la norma es 1; 5 y \Delta es la discretización característica del problema, que varía con el fenómeno que se está modelando.

El valor de \delta representa una interfaz con un grosor de tres celdas y, por lo tanto, {\displaystyle \delta \Delta } representa la mitad del grosor de la interfaz.

Tenga en cuenta que esta técnica, Virtual thickness existe en la interfaz, ya que se modela a partir de una función continua.

Las propiedades físicas, que incluyen la viscosidad cinemática y la masa específica, se calculan como:

donde \rho _{1} , \rho _{2} v_{1} , y v_{2} son la masa específica y la viscosidad cinemática de los fluidos 1 y 2.

Analogías similares son válidas cuando se aplica la Ecuación 2 a las otras características del fluido.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales que describen el