Gráficos por computadora bidimensionales: Explorando el ámbito visual: gráficos por computadora bidimensionales en visión por computadora

Por Fouad Sabry

¿Qué son los gráficos por computadora bidimensionales?

Los gráficos por computadora 2D son la generación de imágenes digitales por computadora, principalmente a partir de modelos bidimensionales y mediante técnicas específicas para ellos. Puede referirse a la rama de la informática que comprende dichas técnicas o a los modelos mismos.

Cómo se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Gráficos por computadora 2D

Capítulo 2: Matriz ortogonal

Capítulo 3: Elipsoide

Capítulo 4: Rotación (matemáticas)

Capítulo 5: Matriz de transformación

Capítulo 6: Matriz de rotación

Capítulo 7: Formalismos de rotación en tres dimensiones

Capítulo 8: Representación del ángulo del eje

Capítulo 9: Cinemática

Capítulo 10: Operador de rotación tridimensional

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre gráficos por computadora bidimensionales.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de gráficos por computadora bidimensionales en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de gráficos por computadora bidimensionales.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 5 may 2024

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Capítulo 1: Gráficos por ordenador en 2D

La generación de imágenes digitales en un ordenador, normalmente a partir de modelos bidimensionales (como modelos geométricos 2D, texto e imágenes digitales) y el uso de métodos adaptados a estos tipos de modelos se conoce como gráficos por ordenador 2D. Se podría referir a los modelos en sí mismos o al campo de la informática que los incluye.

La tipografía, la cartografía, el dibujo técnico, la publicidad, etc. son ejemplos de aplicaciones que se construyeron sobre la base de la infografía 2D. En estos casos, se prefieren los modelos bidimensionales a los gráficos tridimensionales por ordenador porque permiten un mayor control directo sobre la imagen. Esto se debe a que la imagen bidimensional es más que una simple representación de un objeto del mundo real; También tiene un valor semántico adicional (cuyo enfoque es más parecido a la fotografía que a la tipografía).

Las descripciones de documentos basadas en técnicas de gráficos por computadora 2D pueden ser significativamente más pequeñas que la imagen digital correspondiente en muchos campos, incluida la autoedición, la ingeniería y los negocios. Dado que esta representación se puede representar en diferentes resoluciones para adaptarse a una variedad de dispositivos de salida, también es más versátil. Esta es la razón por la que los archivos gráficos 2D se utilizan comúnmente para archivar y transportar documentos e imágenes.

Los dispositivos de gráficos vectoriales de la década de 1950 allanaron el camino para los primeros gráficos por computadora en 2D. En las décadas siguientes, los dispositivos basados en trama se convirtieron en la norma. Dos de las innovaciones más importantes en esta área son el lenguaje PostScript y el protocolo X Window System.

Las combinaciones de modelos geométricos (también conocidos como gráficos vectoriales), imágenes digitales (también conocidas como gráficos rasterizados), texto a componer (descrito por su contenido, estilo y tamaño de fuente, color, posición y orientación), funciones y ecuaciones matemáticas, y otros tipos de información son posibles en los modelos gráficos 2D. Las transformaciones geométricas bidimensionales, como la traslación, la rotación y el escalado, permiten una manipulación fácil y precisa de estas piezas. Un objeto con un método de representación automática, un proceso que asigna colores arbitrariamente a los píxeles de la imagen, describe la imagen en gráficos orientados a objetos. En los paradigmas de programación orientada a objetos, los modelos complejos se construyen a partir de submodelos.

Los principios de la geometría euclidiana, En geometría, una traslación mueve cada punto por una distancia fija en alguna dirección.

Un tipo de movimiento rígido es la traslación; Otros tipos incluyen rotación y reflexión.

También es posible pensar en una traslación como el proceso de agregar un vector constante a cada punto, o como si el origen del sistema de coordenadas se moviera.

Un operador de traducción es un operador T_\mathbf{\delta} tal que T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).

Cuando v es un vector constante, entonces la traslación Tv funcionará como Tv(p) = p + v.

Teóricamente, si T es una traslación, si A es un subconjunto y T es una función, entonces la traslación de A por T es la imagen de A bajo T.

La traducción de A por Tv a menudo se escribe A + v.

Cualquier traslación en un espacio euclidiano es también una isometría. El conjunto de todas las traslaciones se denomina grupo de traslación T, y es un subgrupo ordinario del grupo euclidiano E, siendo isomorfo al propio espacio (n ). El grupo ortogonal O es un isomorfismo del grupo cociente E(n) por T. (n ):

E(n ) / T ≅ O(n ).

A diferencia de una transformación lineal, una traslación es una transformación afín, el operador de traslación suele estar representado por una matriz, lo que lo hace lineal, cuando se utilizan coordenadas homogéneas.

Por lo tanto, escribimos el vector tridimensional w = (wx, wy, wz) usando 4 coordenadas homogéneas como w = (wx, wy, wz, 1).

Cada vector homogéneo p (en coordenadas homogéneas) debe multiplicarse por esta matriz de traslación si un objeto va a ser traducido por un vector v:

T_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

El producto de la multiplicación es el que se muestra en la siguiente tabla:

T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y\\ 0 & 0 & 1 & v_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{p} + \mathbf{v}

Para encontrar la inversa de una matriz de traslación, simplemente invierta la dirección del vector:

T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

Del mismo modo, multiplicando los vectores se obtiene el producto de dos matrices de traslación:

T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \!

La multiplicación de matrices de traslación es conmutativa porque la suma de vectores es conmutativa (a diferencia de la multiplicación de matrices arbitrarias).

Una matriz de rotación, en álgebra lineal, es una matriz que rota un objeto en el espacio euclídeo.

R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}

rota puntos en el plano xy-cartesiano en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo θ alrededor del origen del sistema de coordenadas cartesianas.

Se utiliza una matriz de rotación R para efectuar la rotación, las coordenadas de cada punto deben expresarse como un vector en la dirección vertical, que consta de las coordenadas del punto.

La multiplicación de matrices Rv produce un vector rotado.

Para aclarar, el vector cero (es decir, no se ve afectado por la multiplicación de matrices, basada en coordenadas de cero grados), solo las rotaciones alrededor del origen del sistema de coordenadas se pueden describir por medio de matrices de rotación.

Tales rotaciones se pueden describir fácilmente algebraicamente con la ayuda de matrices de rotación, y juegan un papel crucial en los cálculos geométricos, la física y las interfaces gráficas.

Dentro de los confines de un plano, una rotación se puede describir simplemente mediante un ángulo θ de rotación, Alternativamente, se pueden usar las 4 entradas de una matriz de 22 rotaciones para representarla.

Con respecto a la tercera dimensión, véase también el teorema de rotación de Euler, que establece que cualquier rotación puede ser reformulada como una rotación angular alrededor de un eje único e invariable, que puede reducirse a un ángulo y un vector de tres elementos.

Sin embargo, alternativamente, se puede representar mediante las 9 entradas de una matriz de rotación 33.

En dimensiones superiores a tres, rara vez se emplea la rotación; Un desplazamiento rotacional es algo de lo que se puede hablar, que se puede usar una matriz para representar, ya que no hay un solo eje o ángulo asociado con él.

Una matriz de rotación es una matriz cuadrada cuyas entradas son todas reales. Para ser más precisos, son matrices ortogonales determinantes-1:

R^{T} = R^{-1}, \det R = 1\, .

La colección de todas las matrices ortogonales especiales de n por n forma un grupo llamado SO (n).

La siguiente es la forma que adopta cada matriz de rotación bidimensional:

R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}} .

Al multiplicar la siguiente matriz, se rotan los vectores columna:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}

.

Después de la rotación, las coordenadas del punto original (x,y) son:

x'=x\cos \theta -y\sin \theta \, , y'=x\sin \theta +y\cos \theta \, .

La dirección de rotación del vector es en sentido contrario a las agujas del reloj si θ es positivo (p. ej.

90°), y en el sentido de las agujas del reloj si θ es negativo (p. ej.

-90°).

R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}\,

.

En el caso de un sistema cartesiano diestro, hacia la derecha a lo largo del eje x y hacia arriba a lo largo del eje y, la rotación R(θ) es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Para que un sistema cartesiano zurdo funcione, con x apuntando a la derecha e y apuntando hacia abajo, R(θ) está en el sentido de las agujas del reloj.

En matemáticas, estas perspectivas inusuales rara vez se emplean, pero en los gráficos por computadora en 2D, son comunes, que generalmente comienzan en la parte superior izquierda y se mueven hacia abajo en la página en el sentido de las agujas del reloj.

A continuación se discuten otras posibles convenciones que alteran el significado de una rotación producida por una matriz.

Especialmente útiles son las matrices para rotaciones de 90° y 180°:

R(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\[3pt] 1 & 0 \\ \end{bmatrix} (Rotación de 90° en sentido contrario a las agujas del reloj)

R(180^\circ) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 \\ \end{bmatrix} (Rotación de 180° en cualquier dirección – media vuelta)

R(270^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[3pt] -1 & 0 \\ \end{bmatrix} (Rotación de 270° en sentido contrario a las agujas del reloj, lo mismo que una rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj)

El escalado uniforme, también conocido como escalamiento isotrópico, dilatación homogénea y homotecia, es una transformación lineal en la geometría euclidiana que agranda o reduce los objetos por el mismo factor de escala en todas las direcciones. Al escalar todo por el mismo factor, el resultado final es geométricamente similar al original. En la mayoría de los casos, puede tratar las formas congruentes como similares con un factor de escala de 1. (Algunos libros de texto descartan explícitamente esto, al igual que algunos libros de texto descartan la posibilidad de que un cuadrado sea un rectángulo o que un círculo sea una elipse).

El enfoque más general es utilizar un factor de escala diferente para cada eje. Cuando al menos uno de los factores de escala es distinto de los demás, tenemos una escala no uniforme (descamación anisotrópica, dilatación no homogénea); El escalado direccional o estiramiento es un caso especial de esto (en una dirección). Cuando un objeto se escala de manera no uniforme, su forma se altera como resultado. Por ejemplo, un cuadrado cuyos lados no son paralelos a los ejes de escala se convierte en un rectángulo o un paralelogramo (se conservan los ángulos entre las líneas paralelas a los ejes, pero no todos los ángulos).

Una matriz de escalado es una representación de un escalado.

Para escalar un objeto por un vector v = (vx, vy, vz), cada punto p = (px, py, pz) tendría que multiplicarse por esta matriz de escalado:

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.

El producto de la multiplicación es el que se muestra en la siguiente tabla:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.

Una escala de tres factores modifica las dimensiones de un objeto de la siguiente manera: su diámetro se reduce en un factor entre los factores de escala, su área de superficie se incrementa en un factor entre el producto más pequeño y el más grande de dos factores de escala, y su volumen se reduce en el producto de los tres factores de escala.

La escala es uniforme si y solo si los factores de escala son iguales (vx = vy = vz).

Cuando todos menos uno de los factores de escala son 1, la situación es la siguiente:, Nuestra escala es direccional.

En el caso de que vx = vy = vz = k, la escala por un factor k también se conoce como un agrandamiento o una dilatación, aumentando el área por un factor de k² y el volumen por un factor de k3.

En su sentido más amplio, escalado se refiere a cualquier transformación afín cuya matriz se puede diagonalizar. Cuando las tres dimensiones de la escala no son paralelas entre sí, esto también se considera un caso. También se incluyen escenarios en los que uno o más de los factores de escala son cero (como en una proyección) o negativos. Esto último equivale a una generalización de la reflexión en el plano, y se logra tomando la reflexión en el punto donde dos líneas se cruzan con un plano que no necesita ser perpendicular a ninguna de ellas.

Dentro del ámbito de la geometría proyectiva, típico del ámbito de los gráficos por ordenador, se utilizan coordenadas homogéneas para representar puntos.

Para escalar un objeto por un vector v = (vx, vy, vz), cada vector de coordenadas homogéneas p = (px, py, pz, Esta matriz de transformación proyectiva tendría que multiplicarse por (1, 1):

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.

El producto de la multiplicación es el que se muestra en la siguiente tabla:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.

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