Proyección tridimensional: Liberando la profundidad de la visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la proyección tridimensional

Una proyección 3D es una técnica de diseño que se utiliza para mostrar un objeto tridimensional (3D) en una superficie bidimensional (2D). Estas proyecciones se basan en la perspectiva visual y el análisis de aspectos para proyectar un objeto complejo con capacidad de visualización en un plano más simple.

Cómo se beneficiará

(I) Información y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Proyección 3D

Capítulo 2: Sistema de coordenadas cartesianas

Capítulo 3: Sistema de coordenadas esféricas

Capítulo 4: Proyección isométrica

Capítulo 5: Proyección ortográfica

Capítulo 6: Rotación (Matemáticas)

Capítulo 7: Proyección oblicua

Capítulo 8: Matriz de transformación

Capítulo 9: Matriz de rotación

Capítulo 10: Proyección vectorial

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre tres proyección dimensional.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la proyección tridimensional en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Proyección Tridimensional.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 4 may 2024

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Capítulo 1: Proyección 3D

Mostrar un elemento tridimensional (3D) en una superficie bidimensional (2D) es lo que los diseñadores llaman una proyección 3D (o proyección gráfica). La perspectiva visual y el análisis de aspecto se utilizan en estas proyecciones para simplificar un elemento complicado para facilitar la visualización en una superficie plana.

En las proyecciones 3D, las características esenciales de un objeto se utilizan para generar una nube de puntos, que luego se rellena con líneas para formar una imagen. La imagen resultante tiene características conceptuales que hacen que parezca que la figura o imagen es tridimensional (3D) a pesar de estar mostrada en dos dimensiones (2D).

La mayoría de las representaciones de objetos tridimensionales se producen en medios bidimensionales (como el papel y los monitores de ordenador). Debido a esto, los dibujos de ingeniería, los borradores y los gráficos por computadora hacen un uso extensivo de las proyecciones gráficas. El análisis matemático y las fórmulas, así como numerosas técnicas geométricas y ópticas, se pueden utilizar para determinar las proyecciones.

Los proyectores imaginarios se utilizan para crear una imagen mental que sirve como base para la visión final del técnico del producto terminado. Los métodos proporcionan un proceso de imagen estándar para los diseñadores gráficos técnicos (dibujo mecánico, diseño asistido por computadora, etc.). Un técnico puede crear una imagen en una superficie plana, como una hoja de papel, siguiendo una serie de instrucciones.

Existen dos tipos de proyecciones visuales, cada una con su propia técnica:

Proyección paralela

Proyección en perspectiva

Visualización multiángulo (elevación)

Proyección isométrica

Proyección militar

Proyección del gabinete

Punto de vista limitado

Punto de vista de dos caras

Pensamiento multiperspectiva

Las líneas de visión desde el objeto hasta el plano de proyección son perpendiculares en una proyección paralela. Esto significa que la imagen proyectada de una escena tridimensional tendrá líneas paralelas entre sí. La distancia focal infinita (la distancia entre la lente de la cámara y su punto focal) de una proyección paralela es la misma que la de una proyección en perspectiva.

El teorema de Pohlke explica cómo se utiliza la axonometría (medir a lo largo de los ejes) para crear imágenes de proyección paralela. En la mayoría de los casos, se produce una imagen oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen), pero en circunstancias excepcionales, se produce una imagen ortográfica en su lugar (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen). La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica, ya que esta última a menudo se relaciona principalmente con un cierto tipo de imágenes en la literatura inglesa (ver más abajo).

La proyección ortográfica es una representación bidimensional de un objeto tridimensional que se basa en los conceptos de geometría descriptiva. Es una proyección en paralelo (las líneas de proyección son paralelas tanto en la realidad como en el plano de proyección). Para los planos de construcción, este es el método de proyección preferido.

Uno de los ejes principales (el eje x, en este caso) debe ser paralelo a la normal del plano de visión (la dirección de la cámara) para que este sea el caso, y y el eje z), Aquí está la fórmula matemática para la transformación:; Para proyectar el punto 3D a_{x} , a_{y} , a_{z} sobre el punto 2D b_{x} , b_{y} utilizando una proyección ortográfica paralela al eje y (donde la y  positiva representa la dirección hacia adelante - vista de perfil), a continuación se muestran ecuaciones útiles:

b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}

donde s es un vector que representa un factor de escala y c es un desplazamiento. Estas constantes son discrecionales, pero útiles para establecer la alineación de la ventanilla. Al multiplicar matrices, las ecuaciones se simplifican a:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}

Las imágenes proyectadas en una proyección ortográfica capturan la tridimensionalidad del objeto que se proyecta, pero no se ven ni se sienten como lo que obtendrías si le tomaras una foto o te pararas frente a él. En particular, en una proyección ortográfica, las longitudes paralelas existen a la misma escala en todas partes de la imagen, independientemente de lo lejos o cerca que estén del espectador imaginario. Por lo tanto, a diferencia de una proyección en perspectiva, las longitudes no se reducen artificialmente.

Cada plano de proyección en una proyección multivista es perpendicular a uno de los ejes de simetría del objeto, lo que da como resultado hasta seis imágenes únicas del objeto (denominadas vistas primarias). Se utiliza uno de los dos sistemas, proyección de primer ángulo o proyección de tercer ángulo, para determinar la posición relativa de las vistas. En ambos casos, las imágenes pueden entenderse como proyectadas sobre planos que juntos crean un cubo con seis lados que rodean el elemento. Se pueden representar seis lados en un dibujo, pero normalmente solo se necesitan tres vistas para crear un modelo 3D. A cada una de estas perspectivas se le da un nombre diferente. Otras frases incluyen elevación, planta y sección.

Las proyecciones oblicuas difieren de las proyecciones ortográficas en que los rayos de proyección paralelos no inciden en el plano de proyección en ángulo recto con respecto al plano de visión. Las líneas en el espacio que son paralelas entre sí se reflejan en la pantalla como líneas paralelas tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua. La proyección oblicua se utiliza únicamente con fines pictóricos en lugar de dibujos formales debido a su simplicidad. Las variables de escorzo (escala) y los ángulos entre los ejes que se representan en un dibujo pictórico oblicuo son completamente subjetivos. Al alinear un plano del elemento de la imagen perpendicular al plano de proyección, podemos reducir la distorsión causada por este método y obtener una imagen de tamaño completo y forma real del plano seleccionado. Las proyecciones oblicuas únicas incluyen:

Un punto en un objeto está representado por tres coordenadas en la proyección cavalier (también conocida como perspectiva cavalier o punto de vista alto), x, y y z.

En el boceto, solo se necesitan dos coordenadas para representarlo, x e y.

Aquí está la vista en planta, dos ejes, las coordenadas x y z de la figura, son paralelos y las longitudes a lo largo de ellos se representan a escala (1:1); Por lo tanto, es análogo a las proyecciones dimétricas, no es una proyección axonométrica, pero está cerca, como una tercera dimensión, aquí y, tiene un contorno diagonal, formando un ángulo arbitrario con el eje x", generalmente 30 o 45°.

La longitud del tercer eje no es proporcional.

La proyección de gabinete (o perspectiva de gabinete) se refiere a un tipo de dibujo en perspectiva popularizado por el negocio de muebles.

Un punto de vista de capa y espada, la proyección muestra un lado del objeto perpendicular al plano de visión, y el tercer eje se proyecta como si se desviara en un ángulo (normalmente 30° o 45° o arctan(2) = 63,4°).

A diferencia de la proyección frívola, el punto donde el tercer eje mantiene su longitud, la longitud de las líneas de retroceso se reduce en un factor de dos cuando se utiliza la proyección de gabinete.

La proyección militar es un tipo específico de proyección oblicua. Para evitar la distorsión de los planos de planta, las verticales se dibujan en ángulo, mientras que las horizontales se dibujan isométricamente. Girando el plano xy en una cantidad z y traslando verticalmente en la misma cantidad se obtiene la proyección militar.

Las proyecciones axonométricas muestran una imagen de un objeto como si se viera desde un ángulo oblicuo, revelando las tres dimensiones espaciales (ejes) a la vez. Las imágenes ortográficas suelen tener una orientación vertical con respecto a un eje del espacio.

Las proyecciones axonométricas, a diferencia de las vistas principales de las proyecciones multivista, también se denominan ocasionalmente vistas auxiliares.

En los diagramas isométricos (utilizados en los procedimientos), la proyección isométrica), los tres ejes del espacio parecen estar igualmente comprimidos cuando se ven desde esta perspectiva, y hay un ángulo común de 120° entre ellos.

La distorsión del escorzo es constante en todo momento, todas las longitudes y anchos mantienen sus proporciones adecuadas como resultado, y hay una escala consistente en todos los ejes.

Esto permite tomar medidas exactas del dibujo.

Si observa una pictórica dimétrica (para conocer las técnicas, consulte Proyección dimétrica), notará que dos de los tres ejes del espacio aparecen proporcionalmente reducidos; El ángulo de visión determina la escala y los ángulos de presentación de estos dos ejes, mientras que el tercer eje (vertical) se escala de forma independiente. Los dibujos dimétricos utilizan con frecuencia aproximaciones.

Los tres ejes del espacio parecen escorzados de manera desigual en las imágenes trimétricas (para la metodología, véase Proyección trimétrica). Cada una de las escalas de los tres ejes y los ángulos entre ellos se calculan de forma independiente en función de la perspectiva del espectador. Las aproximaciones se utilizan con frecuencia en los dibujos trimétricos.

Cuando se procesan en proyección paralela, los objetos no se amplían ni se reducen en relación con la perspectiva del espectador. Sin embargo, a diferencia de la proyección en perspectiva, esta no es la forma en que los ojos humanos o la fotografía suelen funcionar, por lo tanto, el resultado es una distorsión que experimenta el espectador. Esto es útil para dibujos arquitectónicos, cuando las mediciones deben