Proyección ortográfica: Explorando la proyección ortográfica en visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la proyección ortográfica

La proyección ortográfica es un medio para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones. La proyección ortográfica es una forma de proyección paralela en la que todas las líneas de proyección son ortogonales al plano de proyección, lo que da como resultado que cada plano de la escena aparezca en una transformación afín en la superficie de visualización. El anverso de una proyección ortográfica es una proyección oblicua, que es una proyección paralela en la que las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.

Cómo se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Proyección ortográfica

Capítulo 2: Matriz ortogonal

Capítulo 3: Proyección isométrica

Capítulo 4: Dibujo de ingeniería

Capítulo 5: Proyección 3D

Capítulo 6: Proyección axonométrica

Capítulo 7: Geometría descriptiva

Capítulo 8: Proyección oblicua

Capítulo 9: Proyección paralela

Capítulo 10: Axonometría

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre la proyección ortográfica.

(III) Ejemplos del mundo real sobre el uso de la proyección ortográfica en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Proyección Ortográfica.

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 4 may 2024

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Capítulo 1: Proyección ortográfica

La proyección ortográfica (también la proyección ortogonal y el analema) da como resultado una transformación afín de cada plano de la imagen en la superficie de visualización. En una proyección oblicua, las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.

En la proyección multivista, ortográfica puede referirse a una técnica en la que los ejes o planos principales del sujeto son paralelos al plano de proyección para crear las vistas primarias. Si los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, la representación es axonométrica o una vista auxiliar. (Proyección axonométrica y proyección paralela son sinónimos). Los planos, alzados y secciones son subtipos de vistas primarias; Las proyecciones isométricas, dimétricas y trimétricas son subtipos de vistas auxiliares.

Una lente telecéntrica que proporciona una proyección ortográfica es una lente de espacio de objeto.

La siguiente matriz define una proyección ortográfica sencilla en el plano z = 0:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Para cada punto v = (vx, vy, vz), el punto convertido Pv sería

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Con frecuencia, es más ventajoso emplear coordenadas homogéneas. Para coordenadas homogéneas, la transformación anterior se puede expresar como

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Para cada vector homogéneo v = (vx, vy, vz, 1), el vector Pv después de la transformación sería

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

En gráficos por ordenador, una de las matrices más utilizadas para la proyección ortográfica se especifica mediante la tupla 6 (izquierda, derecha, abajo, arriba, cerca, lejos), que especifica los planos de recorte. Estos planos crean una caja con la esquina más pequeña en (izquierda, abajo, -cerca) y la esquina más grande en (derecha, arriba, -lejos) (derecha, arriba, -lejos).

A continuación, la caja se escala al cubo unitario, que se define como si tuviera su esquina mínima en (1,1,1) y su esquina máxima en (1,1,1). (1,1,1).

La siguiente matriz representa la transformación ortográfica:

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Esto se puede expresar como una escala S seguida de una traducción T de acuerdo con la forma

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La inversión de la matriz de proyección P−1, se puede emplear como la matriz de no proyección:

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La proyección isométrica, la proyección dimétrica y la proyección trimétrica son tres subtipos de proyección ortográfica, en función del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. En los dibujos axonométricos, como en otras formas de diagramas, un eje del espacio se representa típicamente como vertical.

En la vista isométrica, el tipo más frecuente de proyección axonométrica utilizada en dibujos de ingeniería, la dirección de la visión es tal que los tres ejes del espacio parecen estar comprimidos proporcionalmente y hay un ángulo común de 120 ° entre ellos.

Como la distorsión inducida por el escorzo es uniforme, las proporciones entre las longitudes se mantienen, y los ejes tienen la misma escala; Esto facilita la toma de medidas directas a partir del dibujo.

Otra ventaja es que los ángulos de 120° se construyen fácilmente utilizando solo una brújula y una regla.

En la proyección dimétrica, la dirección de visión es tal que dos de los tres ejes del espacio parecen igualmente comprimidos, con la escala y los ángulos de presentación correspondientes establecidos por el ángulo de visión; La escala de la tercera dirección se determina individualmente. Los dibujos dimétricos suelen contener aproximaciones de cotas.

En la proyección trimétrica, la dirección de visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen comprimidos de manera desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan de forma independiente en función del ángulo de visión. En los dibujos trimétricos, las aproximaciones de acotación son comunes, aunque la perspectiva trimétrica rara vez se emplea en los dibujos técnicos.

La proyección multivista produce hasta seis imágenes de un objeto, conocidas como vistas primarias, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. La posición relativa de las vistas viene determinada por uno de estos dos esquemas: proyección de primer ángulo o de tercer ángulo. Las apariencias de las vistas se proyectan sobre planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto en cada caso. Aunque es posible dibujar seis lados diferentes, tres vistas de un dibujo proporcionan información suficiente para crear un objeto tridimensional. Estas perspectivas se denominan vista frontal, vista superior y vista final. Estas perspectivas también se conocen como planta, alzado y sección. Cuando el plano o eje del elemento representado no es perpendicular al plano de proyección y cuando se ven varios lados de un objeto en la misma imagen, esto se conoce como vista auxiliar. Por lo tanto, en la proyección multivista, la proyección isométrica, la proyección dimétrica y la proyección trimétrica se denominarían vistas auxiliares. Normalmente, un eje del espacio se presenta verticalmente, lo que es un sello distintivo de la proyección multivista.

Un mapa de proyección ortográfica es una proyección cartográfica cartográfica. La proyección ortográfica, al igual que las proyecciones estereográficas y gnomónicas, es una proyección en perspectiva (o acimutal) en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o secante. El punto de perspectiva de una proyección ortográfica está infinitamente lejos. Representa un hemisferio de la Tierra visto desde el espacio exterior, con el horizonte representado por un gran círculo. Especialmente cerca de los márgenes, las formas y las regiones están deformadas.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal o matriz ortonormal es una matriz cuadrada real en álgebra lineal cuyas columnas y filas son vectores ortonormales.

Una expresión posible es

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}

donde QT es la transpuesta de Q e I es la matriz identidad.

Esto da como resultado una definición idéntica: una matriz Q es ortogonal si su transpuesta es igual a su inversa:

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},}

donde Q−1 es la inversa de Q.

Una matriz ortogonal Q es necesariamente invertible (con Q−1 =  QT inverso), unitaria (Q−1 = Q∗), donde Q∗ es el adjunto hermítico (transpuesta conjugada) de Q, y por lo tanto normal (Q∗Q = QQ∗) sobre los números reales.

+1 o -1 es el determinante de cualquier matriz ortogonal.

Como resultado de una transformación lineal, una matriz que retiene el producto interno de los vectores es ortogonal y, por lo tanto, funciona como una isometría del espacio euclídeo, incluye una rotación o reflexión rotacional.

Es decir, es una metamorfosis unitaria.

El conjunto de n × n matrices ortogonales, bajo multiplicación, crea el grupo O (n), denominado grupo ortogonal.

El grupo ortogonal especial es el subgrupo SO(n) que consta de matrices ortogonales con determinante +1, cada uno de sus componentes es