UF0306 - Análisis de datos y representación de planos

Por Eloy Cagigas Santamaría y Mº Isabel Pérez Rubio

La finalidad de esta Unidad Formativa es enseñar a realizar la representación de plantas, alzados y detalles de proyectos de construcciones para la definición de planos de construcción, realizar y representar las secciones y perfiles de elementos requeridos, así como las representaciones en perspectiva de proyectos de construcciones para facilitar su visualización, partiendo de sus plantas, alzados y secciones, y ajustando la representación a las escalas, sistema de representación y sombreado.

Para ello, en primer lugar se estudiarán los trazados elementales, cómo representar en distintos sistemas y se profundizará en la utilización de aplicaciones de diseño asistido por ordenador para la elaboración de planos de construcción.

Tema 1. Trazados Elementales.
1.1. La escala en la representación de formas
1.2. La proporción en la representación gráfica
1.3. Bisectriz, Mediatriz
1.4. Triángulos
1.5. Polígonos regulares
1.6. Circunferencias y tangentes a las mismas
1.7. Curvas (elipse, óvalo, hipérbola y parábola)
1.8. Tangentes a curvas
1.9. Croquis y levantamientos

Tema 2. Representar en Distintos Sistemas.
2.1. Sistema diédrico
2.2. Sistema de planos acotados
2.3. Sistema axonométrico
2.4. Perspectiva cónica
2.5. El color en la representación gráfica
2.6. Rotulación y acotado

Tema 3. Utilizar Aplicaciones de Diseño Asistido por Ordenador para la Elaboración de Planos de Construcción.
3.1. Gestión de formatos de importación y exportación
3.2. Sistemas de coordenadas
3.3. Estructura de dibujos
3.4. Funciones del dibujo
3.5. Funciones de cálculo: cálculo de distancias y áreas, acotaciones
3.6. Funciones de relleno y coloreado

• Idioma: Español
• Editorial: Editorial Elearning
• Fecha de lanzamiento: 14 ene 2019

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1.1. La escala en la representación de formas

1.2. La proporción en la representación gráfica

1.3. Bisectriz, Mediatriz

1.4. Triángulos

1.5. Polígonos regulares

1.6. Circunferencias y tangentes a las mismas

1.7. Curvas (elipse, óvalo, hipérbola y parábola)

1.8. Tangentes a curvas

1.9. Croquis y levantamientos

1.1.La escala en la representación de formas

Comenzaremos esta unidad aclarando una de las principales características de la representación de planos, y es que estos tienen el objetivo de representar lo que en un futuro se va a construir, es decir, es como una construcción virtual que debe ser precisa y clara para que la posterior ejecución sea idéntica a la plasmada mediante el dibujo.

El dibujo es el lenguaje de las profesiones y actividades técnicas, y a diferencia del lenguaje escrito, en el que cada país o zona geográfica comparte un lenguaje distinto al resto, el dibujo tiene una única gramática universal, de manera que un mismo dibujo es entendido sino en todo, en la mayor parte del globo.

Esta circunstancia no sería posible sin la existencia de una normalización, es decir, sin la existencia de una serie de normas, que regulan desde los formatos del papel, el plegado de este, la posición y contenido de un rótulo, la forma de las letras etc.

Con estos antecedentes y una vez puestos en situación, nos centraremos en el objetivo de este apartado, la escala.

La escala, por tanto, es un aspecto que también está normalizado y que todos debemos cumplir escrupulosamente tanto para poder entender y leer un dibujo hecho por otra persona, como para que nuestros dibujos se puedan comprender.

Sin embargo, el uso de la escala no es tanto una norma que cumplir sino un proceso lógico que depende de varios factores.

Primeramente depende del tamaño del objeto o espacio que vayamos a representar, y en segundo lugar del tamaño de papel en el que lo vayamos a realizar.

En vista de estas dos variables, no siempre vamos a poder dibujar algo al tamaño natural, es decir, con las dimensiones reales.

Por ejemplo, un edificio deberá dibujarse a un tamaño menor que el verdadero, o una pequeña pieza de un coche deberá dibujarse más grande que la del tamaño real para que sea entendible por el ojo humano, pero de igual manera ambas representaciones tienen que guardar una relación con el objeto real que representamos.

Pues bien, esa relación que debe guardar el dibujo con respecto al verdadero tamaño del objeto representado es lo que llamamos escala, dicho de otra forma, la escala es la relación entre la medida de un segmento en el dibujo y la verdadera medida en el objeto real.

Por ejemplo, un dibujo con una escala 1:5, quiere decir, que 1 unidad en el dibujo, ya sea 1 milímetro, 1 centímetro o 1 metro, representa 5 unidades en la realidad, lo que serían 5 milímetros, 5 centímetros o 5 metros respectivamente.

Este tipo de escalas, en el que el objeto dibujado es menor que el real se denomina escala de reducción.

Por el contrario una escala 5:1, indicaría que 5 unidades en el dibujo, representan una unidad en la realidad, por lo que 5 centímetros en el dibujo equivaldrían a 1 centímetro en la realidad. Este tipo de escala en el que el dibujo es mayor que la realidad se denomina escala de ampliación.

Por último, la escala natural, es la que se refiere a la escala 1:1, es decir la escala en la que un objeto se representa con las medidas reales en el papel.

Entendiendo esto, ¿podríamos realizar cualquier dibujo mientras que guarde una relación de semejanza con el objeto original?

Importante

El concepto de escala se refiere a la relación establecida entre las dimensiones reales de un objeto y las dimensiones de la representación de ese mismo objeto sobre un papel.

La respuesta es no, y si recordamos que el dibujo está normalizado, las escalas también, y por lo tanto no podemos realizar un dibujo a cualquier escala.

No podemos realizar un dibujo a escala 1:27 o a escala 1:115, hay que utilizar dentro de las opciones de las escalas normalizas, las que mejor nos vengan dependiendo del objeto a representar, el tamaño del papel y el detalle que le queramos dar a ese dibujo.

Importante

Las escalas arriba definidas no son las únicas, ya que existen otras como la escala 1:25, 1:250 ó 1:400, sin embargo no son aconsejables.

Bien, ahora ya sabemos que entre un objeto real, y su representación en un plano debe haber una proporción constante llamada escala, pero ¿cómo leo, o cómo construyo un plano a escala? Existen varias maneras de utilizar una escala, bien sea para dibujar, o bien sea para leer un plano.

–La escala gráfica

La primera y más utilizada es el escalímetro, una regla especial que contiene distintas escalas gráficas dentro de la misma, con lo que podremos dibujar segmentos a la escala elegida, o medirlos de la misma manera.

Escalímetro manual

–La escala numérica o matemática

La otra opción, es calcular las distancias matemáticamente, dado que la proporción que llamamos escala se define mediante:

Donde E es la escala; P, la medida del plano, y R, la medida real del objeto a representar.

De esta manera:

∙Si tenemos un segmento de 12 cm en el plano, y sabemos que su escala es 1:25, despejaríamos R de la fórmula para saber la magnitud real, con lo que

∙Si tenemos que dibujar un segmento de 25 metros a escala 1:100, despejaríamos P de la fórmula para saber lo que debe medir en el plano, con lo que:

El procedimiento matemático no es complicado, ya que se resuelve con un sencillo procedimiento, pero el objetivo de esta unidad formativa en general y de este apartado en particular es la resolución gráfica de los problemas.

Por ello planteamos que se dé el caso de no disponer de escalímetro con la escala deseada, y si debemos realizar un plano complejo nos va a llevar mucho tiempo la conversión mediante este método, por lo que se aconseja dibujar nosotros mismos la escala gráfica correspondiente.

¿Cómo construimos una escala gráfica?

–Matemáticamente: realizamos la conversión matemática de la escala, 1:500 por ejemplo, con lo que tendremos las siguientes equivalencias representadas en la tabla siguiente, y aunque no son todas, claro está, son las más representativas:

Una vez obtenidas estas medidas procedemos a dibujar la escala gráfica:

∙Se dibuja una recta, y en ella un punto de origen 0.0

∙A partir de este punto dibujamos hacia la izquierda, segmentos consecutivos de 2mm, que representarían la longitud real de 1m, hasta llegar a 10m.

∙A partir del punto de origen 0.0, dibujamos hacia la derecha segmentos consecutivos de 1cm, que equivaldrían a la medida real de 5 m.

Así la escala gráfica sería así:

Escala gráfica 1:500

La escala situada a la izquierda del punto 0.0 se llama contra escala, y la situada a la derecha es la propia escala. Veamos cómo se utiliza.

Supongamos que construyendo un plano determinado, debemos llevar sobre dicho plano, un segmento de 32 metros reales.

Para ello y con la ayuda de un compás, situamos la punta del compás en la división que representa el 30 de la escala gráfica y la otra punta en la división 2 de la contraescala, esa medida, sobre el plano, correspondería con 32 metros en la medida real.

Si por el contrario lo que queremos es saber la medida real de un segmento que esté representado en el plano, lo que haríamos sería tomar esa medida con el compás y llevarla sobre la escala gráfica, de la siguiente manera.

Si la medida que tomamos es mayor que la contraescala deberemos colocar una punta del compás sobre las divisiones 10, 20, 30 etc. de la escala gráfica de manera que la otra punta del compás quede en la contraescala.

Así, si con una punta situada en la división 30, la otra no llega a la contra escala (es decir, la medida tomada es menor de 30 metros en la medida real), colocaremos la punta en la división inferior, en la de 20 m.

De esta manera, la otra punta si nos daría una medida en la contraescala, y sabríamos por tanto la medida real a la que corresponde ese segmento del plano.

Si por el contrario, la medida tomada sobre el plano es menor que la contra escala, deberíamos situar una punta del compás en el punto de origen 0.0, y llevarla directamente sobre la contraescala para saber la medida real a la que corresponde ese segmento tomado.

–Gráficamente: la obtención de la escala deseada mediante un método gráfico se realizará dela siguiente manera:

Para realizar esta escala gráfica que podríamos representar en un papel que posteriormente haría las veces de escalímetro, debemos empezar por dibujar, sobre una línea horizontal, la escala 1:1, la escala natural.

∙Por su extremo izquierdo, osea el punto 0.0, le hacemos una línea perpendicular y elegimos un punto cualquiera de este, que llamaremos P.

∙El siguiente paso sería unir el punto P, con cada una de las divisiones de la escala 1:1. Con lo que obtendríamos las rectas P1, P2, P3 etc.

∙En este punto, para obtener la escala, por ejemplo, 1:2, trazamos una línea vertical por la división número 1 de la escala natural, y marcamos el punto X donde este vertical se intersecta con la recta P2 que hemos trazado desde el punto P hasta la división 2 de la escala real.

∙En este momento, trazamos una horizontal por ese punto X de intersección, y todas las rectas trazadas inicialmente desde el punto P, nos darán la división de ese segmento en las unidades de la escala 1:2.

Trazado de la escala 1:2de manera gráfica

Si por el contrario la escala que pretendemos realizar es de ampliación, el procedimiento sería exactamente el mismo, la diferencia es que esa escala, por ejemplo 5:1 aparecería por debajo de la escala 1:1.

Como conclusión de este punto en el que realizamos una primera introducción en el concepto de escala, debemos comprender fundamentalmente que el uso y comprensión de este concepto es fundamental para el entendimiento de cualquier plano en cualquier parte del mundo.

Sin ello sería imposible realizar planimetrías legibles y que estas pudiesen ser interpretadas por cualquier persona, que no deja de ser uno de los objetivos más importantes del dibujo.

Ni que decir tiene, que tratar de dibujar todos los objetos a escala natura, o escala 1:1, aunque sería legible, no podría ser de ninguna manera útil o manejable, dado el tamaño que alcanzarían algunas representaciones. Al final, el hecho de dibujar a escala, también tiene que ver con la normalización de los tamaños del papel, que veremos en temas posteriores, ya que al fin y al cabo debemos adaptarnos al formato y dimensiones de los soportes, en este caso, como soporte fundamental, el papel.

Recuerda

En la representación de cualquier forma u objeto, siempre hay que indicar la escala a la que está representada, bien sea una escala gráfica o matemática.

Por lo tanto, bien a la hora de comenzar a dibujar o representar un elemento, o bien a la hora de leer un plano, debemos tener en consideración la escala a la que se realiza la representación. Lo más importante es tener en cuenta esto cuando comencemos a realizar el dibujo, ya que dependiendo de la escala a la que decidamos realizar los plano, las características de estas serán diferentes.

Uno de los aspecto fundamentales para realizar un correcto dibujo, es que el nivel de detalle que el autor de un plano debe alcanzar, depende de la escala a la que este se represente, es decir, que realizar un plano del trazado de una vía rodada a escala 1:10.000 no nos permite dibujar los elementos de un puente con detalle. Sin embargo, si esta vía, se representase a escala 1:100, si se podría darle una definición mucho mayor a las partes que componen la vía, claro que el resto del plano debería presentar también el mismo nivel de detalle para que fuese coherente.

1.2.La proporción en la representación gráfica

Una vez entendido el concepto de escala, debemos dejar claro que se aconseja relacionar siempre el concepto de escala con el de proporción, y no con el de distancias, o medidas, dado que en otras partes del mundo, en las que no se utiliza el sistema decimal, las escalas numéricas al estar basadas, por ejemplo en millas, no serían de aplicación para nuestro sistema decimal y deberíamos convertir esa escala numérica en una escala gráfica para poder tomar nuestras propias medidas.

Definición

Bien, ahora que ya hemos tratado el concepto y uso de la escala, debemos analizar otro concepto igual de importante, la proporción en la geometría. La proporción surge por la comparación de dos medidas o magnitudes que pertenecen a la misma clase o especie, es decir, la comparación entre dos segmentos medidos en las mismas unidades, también denominada razón.

Estas medidas o magnitudes, para tratar el concepto de escala, no se ciñen al plano, a la representación, sino a la construcción real de lo representado en el plano. El concepto de proporción es aplicable a cualquier cosa.

Un ejemplo, si existe un segmento AB de 12 cm de longitud, y otro CD de 7 cm de longitud, la razón entre ambos quedaría simbolizada por AB/CD, o por a/b, siendo a y b las longitudes de estos segmentos.

Pues bien, la proporción es la igualdad de dos razones, es decir, si hemos establecido dos razones como a/b y c/d, la proporción sería la igualdad entre ambas razones, es decir, a/b = c/d, lo que querría decir, q a comparado con b es como c comparado con d. Esta es la proporción geométrica que se utiliza en el campo del diseño y la composición.

Dentro de este tipo de proporción geométrica, pueden identificarse la proporción discontinua, si todos los elementos de la razón son distintos (a/b =c/d), o la proporción continua si dos de los cuatro elementos de la razón son iguales (a/b = b/c). Lo más importante en este punto es no confundir el concepto de razón, (el cociente entre dos medidas), con el concepto de proporción.

La proporción, además de ser una comparación como la razón, define una cualidad invariable que se transporta de una razón a otra.

–A/ B es una razón, o cociente, que compara A y B

–A/B = C/D es una proporción que no solo compara AB y CD, sino que establece una relación entre las dos razones.

Recuerda

El concepto de proporción, aunque se trata de una relación entre las dimensiones de distintos elementos, no es una relación entre dimensión real y dimensión de la representación como es la escala, sino que es una relación de dimensiones entre los distintos elementos que conforman un objeto.

La sección áurea

No podemos hablar de proporción sin hacerlo de la sección o proporción aurea, que no es otra cosa que la división armónica de una recta de manera que el segmente menor es al segmento mayor, como el segmento mayor es a la suma de los dos segmentos.

Dicho de otra manera, a/b = c/ a

Proporción áurea en un segmento

Todo empezó en época romana, Vitrubio, un importante arquitecto definió la simetría como el acuerdo de medidas entre los diferentes elementos de la obra y de estos con el conjunto y creó una fórmula matemática para la composición del espacio dentro del dibujo que denominó y dio a conocer hasta nuestros días como sección o proporción aurea.

Su definición la basó en la proporción entre los lados más cortos y los más largos de un rectángulo.

Es decir, partiendo de un cuadrado, y hallando una diagonal desde el punto medio de uno de sus lados, podemos utilizar esa medida como radio para ampliar el cuadrado hasta convertirlo en un rectángulo de proporciones áureas o "rectángulo áureo), llegando así a la proporción a/b = c/a.

Trazado del rectángulo áureo

La espiral logarítmica es otra manera de representar las proporciones áureas y que está también muy presente en estructuras naturales y orgánicas. Si tomamos un rectángulo áureo ABCD, y le sustraemos el cuadrado AEFD, de lado AD, que es el lado menor del rectángulo inicial, el rectángulo EBCF resultado de esa sustracción también es áureo. Este proceso se puede repetir indefinidamente, y veremos que se produce una sucesión de rectángulos áureos que convergen hacia un vértice O, que es el origen de una espiral logarítmica.

Trazado de la espiral logarítmica

Para finalizar este punto, y aportar información acerca del uso de la proporción áurea en la historia, vamos a ver algunos ejemplos de cómo distintos autores en distintas disciplinas han utilizado la proporción áurea a lo largo de la historia, y como en numerosos objetos cotidianos de nuestros días esta proporción está presente.

En arquitectura fue una proporción muy utilizada por griegos, romanos o musulmanes, y hoy en día iconos como el Partenón de Atenas, el Panteón de Agripa en Roma o la Alhambra de Granada presentan dichas proporciones en la composición de fachadas, espacios interiores o calles.

En la imagen podemos comprobar que AB/CD da como resultado el número áureo, al igual que AC/AD y CD/CA.

El número áureo también ha sido de gran utilidad para la composición de cuadros, algunos incluso tan conocidos como Las Meninas, que analizaremos a continuación.

Por último tenemos ejemplos de la proporción áurea en forma de espiral logarítmica en muchos organismos como plantas o animales, tal y como podemos ver en la imagen 9 que muestra las proporciones áureas en la concha de un Nautilus

Pero todos estos ejemplos no son sino una pequeña muestra de la utilidad que recibe, aún hoy en día esta proporción, que se encuentra oculta en números objetos que utilizamos cotidianamente como el carnet de identidad o las cajetillas de tabaco.

Sabías qué

La proporción áurea está presente en muchas estructuras de la naturaleza, como árboles o animales y además es utilizada en la construcción de muchos objetos que utilizamos cada día.

1.3.Bisectriz, Mediatriz

Introducción

Como para entender y trazar una bisectriz, primeramente hay que tener un ángulo, vamos a comenzar con unas nociones acerca de cómo trazar determinados ángulos:

–Trazar una recta que forme con otra recta r, y determinado ángulo α:

Planteamos un caso en el que tenemos representado gráficamente un ángulo α y pretendemos trazar ese mismo ángulo sobre una recta r ya dada. Existen varias maneras de solucionar este problema gráficamente:

∙Por arcos iguales:

Marcando con el compás el centro en el vértice V del ángulo α, trazamos un arco de cualquier radio que corte a los segmentos que forman el ángulo en dos puntos que llamaremos M y N.

En segundo lugar, sobre la recta r, sobre la que queremos trazar el ángulo α, marcamos de manera arbitraria, un punto A.

Con centro en ese punto A, y radio VM, trazamos un arco β que corta a la recta r en el punto B.

Con el centro en ese punto B de la recta r, y radio MN, trazamos un arco que corta al arco β en el punto que llamaremos C.

Trazando una recta que una el punto C, con el punto A, obtendremos la recta t que formará junto con la recta r el ángulo α‘ = α.

∙Por segmentos guales:

Por un punto M cualquiera de una de las rectas que forma el ángulo α, trazamos una perpendicular a la otra recta que forma el ángulo, obteniendo así el punto N.

Sobre la recta r en la que queremos trazar el ángulo correspondiente, elegimos un punto cualquiera A, y con centro en él, llevamos la medida VN, que cortará a la recta r en el punto B, por lo que VN=AB.

Sobre el punto B, trazamos una perpendicular a r, y desde el mismo punto B, llevamos la medida NM, que cortará a esa perpendicular en el punto C, de manera que BC=MN.

Uniendo el punto A con el punto C, obtendremos las recta t, que formará junto con la recta r, el ángulo α‘ = α. que pretendíamos.

–Construcción de un ángulo suma de otros tres ángulos dados.

Tenemos 3 ángulos α, β, γ, de distinta magnitud, y se plantea realizar un ángulo δ resultado de la suma de los tres ángulos dados.

Proceso para dibujar el ángulo δ:

Con centro en los vértices v1, v2 y v3 respectivos a cada uno de los ángulo α, β, γ trazamos un arco de radio aleatorio Rs, que será el mismo para los 3 ángulos.

En una recta r, elegimos un punto aleatorio A que será el vértice del ángulo δ sumatorio de los 3 originales.

Con centro en el punto A de la recta r, trazamos un arco Rs, de igual medida que el trazado en los 3 ángulos originales, de manera que obtenemos un punto B sobre la reta r.

Trazamos sobre los ángulo dados, un arco Rx, Ry, y Rz respectivamente, y que corresponde con las distancias obtenidas por la intersección entre el arco de radio Rs y las rectas que forman los ángulos.

Sobre la recta r, y desde el punto B, trazamos los radios Rx, Ry y Rz sobre el arco Rs trazado anteriormente, y obteniendo finalmente un punto C, que al unir con el punto A, vértice del ángulo δ, obtenemos el ángulo resultado de la suma de los 3 ángulos dados inicialmente.

Bisectriz

La definición de bisectriz de un ángulo es la semirecta que se traza desde el vértice V de un ángulo y lo divide en dos partes iguales, de manera que todos los puntos que conforman la bisectriz equidistan de las semirectas que forman el ángulo inicial correspondiente. El elemento de la bisectriz tiene infinidad de aplicaciones en la geometría descriptica en general, y en la construcción de triángulos y polígonos en particular, y lo veremos a medida que vamos abordando los distintos temas restantes.

Pero primero vamos a abordar qué es la bisectriz y las distintas maneras de obtenerlo y en los próximos apartados veremos sus utilidades.

–Trazar la bisectriz de un ángulo α dado:

Existen distintas maneras de trazar la bisectriz de un ángulo ya dado, veremos en este punto dos maneras de hacerlo:

∙Método de la mediatriz:

Con centro en el vértice V del ángulo realizamos un arco de radio Rs cualquiera que corta a las rectas m y n en dos puntos, A y B respectivamente.

Con el mismo radio Rs, y con centro en A trazamos un arco, y realizamos la misma operación con centro en el punto B, de manera que ambos arcos se intersecan en el punto que llamaremos C

Al unir el punto C con el vértice A, obtenemos la recta t que es la bisectriz del ángulo α dado inicialmente.

∙Método de la simetría:

Con centro en el vértice V del ángulo dado, trazamos dos arcos de radios R1 y R2 aleatorios, con los que obtendremos los puntos A, B, C y D en las intersecciones con las rectas r y s que forman el ángulo.

Unimos el punto A con el punto D, obteniendo el segmento AD

Unimos el punto B con el punto C, obteniendo el segmento BC

Ambos segmentos trazados son simétricos con respecto a la bisectriz del ángulo α dado, por lo que el punto de intersección de ambos segmentos, que llamaremos E, formará parte de dicha bisectriz.

Al unir el punto E con el vértice V del ángulo obtendremos la bisectriz del ángulo α.

Tras estos dos ejemplos de cómo trazar la bisectriz de un ángulo, nos damos cuenta de que en ambos métodos partimos del vértice V del ángulo, pero se puede dar el caso de que en el plano que tengamos no se llegan a cruzar las rectas que forman el ángulo, es decir, que el vértice queda fuera del dibujo.

En este caso existen otros métodos para realizar la bisectriz

–Trazar la bisectriz de ángulos en los que el vértice se encuentra fuera del dibujo:

Existen tres métodos para realizar este ejercicio:

∙Método de paralelas a un lado:

Teniendo dos rectas m y n, marcamos un punto cualquiera A, en una de ellas, por ejemplo en la recta m.

Trazamos por ese punto A, una paralela a la recta n que llamaremos n’.

Con esta situación, y con centro en A, trazamos un arco de radio R1 que corta a la recta m y a la recta n’ en los puntos B y C respectivamente

Unimos esos dos puntos B y C y lo prolongamos hasta que corte a la recta n en un punto que llamaremos D.

Trazamos un arco con radio aleatorio R2 con centro en el punto B

Trazamos un arco con igual radio R2, con centro en el punto D, que se cortará con el arco anterior en dos puntos, que llamaremos E y F, que serán pertenecientes a la bisectriz buscada

Al unir estos dos puntos trazaremos la recta EF que será la bisectriz del ángulo que formaban las rectas m y n.

∙Método de las bisectrices de los ángulos internos:

Dadas dos rectas m y n, trazamos una recta secante s, es decir, una recta que corte a m y n.

De esta manera obtenemos un punto A y otro punto B respectivamente.

En este momento tenemos 4 ángulos, los ángulos α1 y α2 con vértice en el punto A de la recta n y otros dos ángulos, los ángulos α3 y α4 con vértice en el punto B de la recta m.

Trazamos las bisectrices de estos cuatro ángulos por cualquiera de los métodos descritos anteriormente, de manera que tendremos 4 bisectrices, bα1, bα2, bα3, bα4.

La intersección entre bα1 y bα3, nos dará un punto C perteneciente a la bisectriz buscada.

La intersección entre bα2, y bα4 nos dará un punto D perteneciente a la bisectriz buscada

Uniendo el punto C y el punto D, obtendremos la recta CD, que es la bisectriz buscada del ángulo formado por las rectas m y n.

∙Método de las paralelas equidistantes a los dos lados:

Dadas dos rectas m y n, elegimos aleatoriamente un punto A y otro B respectivamente.

Trazamos una semicircunferencia con radio r1 haciendo centro con el compás en el punto A

Hacemos la misma operación haciendo centro con el compás en el punto B, e igual radio R1.

En este punto, trazamos una paralela a la recta m que seccione la semicircunferencia anteriormente trazada. La llamaremos m’.

Trazamos de nuevo una paralela, esta vez una paralela a la recta n, pero con la misma distancia que la paralela anterior. Llamaremos a esta recta n’

El punto de intersección de la recta m’ y de la recta n’ nos marca el punto C, perteneciente a la bisectriz buscada y que funcionará como vértice del ángulo formado por m’ y n’.

Por último, trazamos la bisectriz de este ángulo formado por m’ y n’, que será finalmente la bisectriz buscada.

Estos son los métodos más utilizados para resolver la obtención de la bisectriz de un ángulo en función de la situación del ángulo dado.

Ahora, y dentro también de este punto de bisectrices, vamos a ver un método para trazar las bisectrices de ángulos mixtilíneos y curvilíneos.

–Bisectriz de un ángulo mixtilíneo:

Un ángulo mixtilíneo es un ángulo que al contrario que en el apartado anterior, en el que este estaba formado por dos rectas, ahora se forma por una recta y una curva.

Se plantea un ángulo con vértice en A, y formado por una recta m y un arco n, de centro O y radio R.

Primero tenemos que trazar rectas paralelas a la recta m, separadas por una distancia arbitraria cualquiera.

De esta manera, obtendremos las rectas paralelas m1, m2, m3…

En segundo lugar trazamos arcos, concéntricos al arco n dado, y con radio R+x, R+2x, R+3x… de manera que obtendremos los arcos n1, n2, n3…

Las intersecciones entre las rectas paralelas m1, m2, m3 y las curvas concéntricas n1, n2, n3, nos darán como resultado una sucesión de puntos B, C, D respectivamente.

Estos puntos son pertenecientes a la bisectriz buscada, con lo que solamente tendremos que unirlos para hallarla.

–Bisectriz de un ángulo curvilíneo:

Se plantea un ángulo con vértice en V, formada por dos curvas m y n de centros en O1 y O2 respectivamente, y radios R1 y R2.

Con centro en O1 y O2, se trazan arcos concéntricos a m y n que equidisten una distancia constante aleatoria cualquiera.

Así obtenemos los arcos paralelos, n1, n2, n3… y m1, m2, m3…

Los puntos de intersección entre las respectivas paralelas serán puntos pertenecientes a la bisectriz buscada, de manera que la unión de los mismos nos dará la solución.

Recuerda

La importancia de entender y saber trazar la bisectriz de un ángulo, que se trata de una solución gráfica que nos va a permitir resolver problemas geométricos más complejos.

Mediatriz

La mediatriz se denomina a la recta que pasa perpendicularmente por el punto medio de un segmento.

La aplicación esencial de la mediatriz es hallar el punto medio de un segmento AB, pero se trata de un elemento geométrico básico y que tiene una gran utilidad para la construcción de figuras geométricas más complicadas, como son los polígonos regulares o el estudio de proporciones. Esto debe quedar claro porque a medida que avancemos en los sucesivos puntos necesitaremos usarla a menudo.

En primer lugar, vamos a ver el proceso para realizar la mediatriz de un segmento dado AB

–Mediatriz de un segmento AB dado:

Con centro en A, trazamos una circunferencia de radio aleatorio, pero mayor a la mitad del segmento AB.

Con centro en el punto B, trazamos otro arco de igual radio que el que hemos trazado desde el punto A.

Los dos arcos se interseccionan en dos puntos, que llamaremos C y D y que pertenecen a la mediatriz que buscamos.

Al unir los puntos C y D, obtenemos en su intersección con el segmento AB, el punto M, que es el punto medio del segmento AB inicial.

Una de las aplicaciones más importantes de la mediatriz es la de hallar el centro de un arco. En un arco cualquiera, la mediatriz de cualquier cuerda pasa obligatoriamente por el centro de ese arco.

De esta manera, si en un arco trazamos dos cuerdas y sus respectivas mediatrices, la intersección de ambas daría como resultado el centro O del arco inicial.

–Hallar el centro de un arco dado n:

Primero marcamos 4 puntos cualesquiera de ese arco, que llamaremos A, B, C y D respectivamente.

Unimos A con B y C con D, de manera que tendremos trazadas dos cuerdas de este arco.

Es momento de trazar las mediatrices de ambas cuerdas, para ello, trazamos circunferencias con centro en A y B respectivamente para hallar las dos intersecciones que marcarán la mediatriz m1

Realizamos de la misma manera la mediatriz de la segunda cuerda CD. Una vez trazada la mediatriz m2, marcamos el punto en el que m1 y m2 se interseccionan.

Este punto será el punto O, centro del arco dado inicialmente.

Una aplicación derivada de esta última, es la de hallar el centro de la circunferencia que circunscribe a un polígono, es decir, teniendo un polígono regular, trazar la circunferencia que lo circunscribe.

–Hallar la circunferencia que circunscribe un polígono dado:

Entendiendo el ejemplo anterior en el que hallábamos el centro de un arco trazando las mediatrices de dos de sus cuerdas.

En este caso, y aplicando la misma lógica, podemos entender que en una circunferencia, en la que se inscribe un polígono, los lados de ese polígono serán cuerdas de esa circunferencia en la que se inscribe, por lo que hallando las mediatrices de los lados del polígono dado, obtendremos el centro de la circunferencia que circunscribe el polígono, y por tanto trazarlo.

Dado un triángulo ABC, trazamos la mediatriz m1 del lado AB, para ello, haciendo centro en A y B trazamos dos arcos de igual radio obteniendo dos intersecciones D y E.

Unimos los punto D y E, y tendremos la mediatriz m1.

Trazamos la mediatriz m2 del lado BC, para ello, haciendo centro en B y C, realizamos dos arcos