Geometría proyectiva: Explorando la geometría proyectiva en visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la Geometría Proyectiva

La geometría proyectiva es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las cualidades geométricas que permanecen sin cambios independientemente de las transformaciones que se les estén aplicando. Esto indica que, a diferencia de la geometría euclidiana simple, la geometría proyectiva se caracteriza por un entorno distinto, un espacio que es el tema del proyecto y una colección limitada de nociones geométricas fundamentales. Para una dimensión dada, las intuiciones fundamentales son que el espacio proyectivo tiene un mayor número de puntos que el espacio euclidiano, y que se permiten transformaciones geométricas que cambian los puntos extra en puntos euclidianos, y viceversa.

Cómo se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Geometría proyectiva

Capítulo 2 : Plano proyectivo

Capítulo 3: Espacio proyectivo

Capítulo 4: Geometría afín

Capítulo 5: Teorema de Desargues

Capítulo 6: Dualidad (geometría proyectiva)

Capítulo 7: Cuadrángulo completo

Capítulo 8: Homografía

Capítulo 9: Configuración de Desargues

Capítulo 10: Cónica sección

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre la geometría proyectiva.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la geometría proyectiva en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de Geometría Proyectiva. p>

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 30 abr 2024

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Capítulo 1: Geometría proyectiva

La geometría proyectiva es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las cualidades geométricas que son invariantes bajo transformaciones proyectivas. La geometría proyectiva, entonces, utiliza un entorno diferente al de la geometría euclidiana tradicional y emplea un subconjunto más pequeño de las nociones fundamentales de la geometría. Hay más puntos en el espacio proyectivo que en el espacio euclidiano de la misma dimensión, y se permiten transformaciones geométricas que convierten los puntos adicionales (denominados puntos en el infinito) en puntos euclídeos, y viceversa.

Este nuevo concepto de transformación, más radical en sus consecuencias de lo que puede ser enunciado por una matriz de transformación y traslaciones, pero mantiene propiedades significativas para la geometría proyectiva (las transformaciones afines). El primer problema al que se enfrentan los matemáticos en territorio desconocido es determinar qué tipo de geometría es la adecuada. Como se puede observar en el dibujo en perspectiva, los ángulos no son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas, por lo tanto, no se puede hacer referencia a ellos de la misma manera en la geometría proyectiva que en la geometría euclidiana. La noción de perspectiva fue una inspiración para la geometría proyectiva. Cuando se traduce al lenguaje de la geometría proyectiva, la idea de que dos líneas paralelas se encuentran en el infinito adquiere un nuevo significado. Una vez más, esta idea se basa en el sentido común; Por ejemplo, en un dibujo en perspectiva, las líneas de tren convergen hacia el horizonte. Para obtener una introducción a la geometría proyectiva en dos dimensiones, consulte el plano proyectivo.

Aunque los conceptos estaban disponibles antes, la geometría proyectiva no despegó realmente hasta el siglo XIX. Entre estas áreas se encuentra la teoría del espacio proyectivo complejo, donde los números complejos se utilizan como coordenadas (coordenadas homogéneas). La geometría proyectiva fue el ímpetu para el desarrollo de varias ramas importantes de las matemáticas más abstractas, como la teoría invariante, la escuela italiana de geometría algebraica y el programa de Erlangen de Felix Klein, que condujo al estudio de los grupos clásicos. Como geometría sintética, el campo atrajo a numerosos expertos por derecho propio. La geometría finita es otra área que surgió de la investigación axiomática de la geometría proyectiva.

Muchos subcampos de estudio se han desarrollado a partir del campo original de la geometría proyectiva; por ejemplo, la geometría algebraica proyectiva (el estudio de las variedades proyectivas) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de los invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).

Geometría básica no métrica, la geometría proyectiva no depende de la medición de la distancia. A partir de disposiciones de puntos y líneas en dos dimensiones. Desargues y otros, investigando los fundamentos del arte en perspectiva, fueron los primeros en descubrir que, de hecho, existe cierto atractivo geométrico en este contexto estéril. Los teoremas que se pueden aplicar a la geometría proyectiva son más cortos y sencillos. Algunos teoremas relativos a los círculos pueden ser vistos como ejemplos particulares de estos teoremas generales, y en la geometría proyectiva (compleja), las diversas secciones cónicas son iguales entre sí.

La geometría proyectiva surgió como una rama propia de las matemáticas gracias a los esfuerzos de matemáticos como Jean-Victor Poncelet y Lazare Carnot a principios del siglo XIX. Al igual que la geometría afín y euclidiana, la geometría proyectiva se puede derivar del programa Erlangen de Felix Klein; La geometría proyectiva se distingue por invariantes en transformaciones del grupo proyectivo.

Como resultado del estudio intensivo del vasto cuerpo de teoremas en el campo, se establecieron las bases de la geometría proyectiva. Hay dos invariantes fundamentales en las transformaciones proyectivas: la estructura de incidencia y la razón cruzada. Si añadimos una línea (hiperplano) en el infinito al plano afín (o espacio afín) y luego la manejamos como si fuera ordinaria, tenemos un modelo para la geometría proyectiva. La investigación axiomática, por otro lado, ha descubierto planos no desargüesianos como prueba de que los axiomas de incidencia pueden ser modelados (en solo dos dimensiones) por estructuras inaccesibles al razonamiento a través de sistemas de coordenadas homogéneos.

Tanto la geometría proyectiva como la geometría ordenada pueden servir como base para la geometría afín y euclidiana, haciéndolas fundamentalmente simples. proporcionando así una premisa única sobre la que se puede construir la geometría.

A Pappus de Alejandría, que vivió en el siglo III, se le atribuye el descubrimiento de las primeras propiedades geométricas proyectivas. Desargues creó un nuevo método de dibujar la perspectiva que tiene en cuenta la circunstancia en la que el punto de fuga está a una distancia infinita. Amplió el alcance de la geometría para incluir la situación general de la geometría euclidiana, en la que las líneas paralelas son de hecho paralelas. Blaise Pascal, a los 16 años, se inspiró para desarrollar el teorema de Pascal en el trabajo de Desargues sobre secciones cónicas. El siguiente crecimiento de la geometría proyectiva debe mucho a las contribuciones de Gaspard Monge a principios del siglo XIX. La obra de Desargues cayó en el olvido hasta 1845, cuando Michel Chasles descubrió una copia en un cajón. Mientras tanto, en 1822 apareció el trabajo seminal sobre geometría proyectiva de Jean-Victor Poncelet. Utilizando el polo concreto y la relación polar con respecto a un círculo, Poncelet estableció una conexión entre las cualidades métricas y proyectivas al investigar la invariancia de los objetos bajo proyección central. Finalmente se demostró la existencia de modelos, como el modelo de Klein del espacio hiperbólico, para las geometrías no euclidianas recién descubiertas.

En 1855 A.

F.

Möbius escribió un artículo sobre las permutaciones, ahora llamadas transformaciones de Möbius, de círculos generalizados de plano complejo.

Las proyectividades de la línea proyectiva compleja están representadas aquí por estas transformaciones.

En el estudio de las líneas espaciales, Julius Plücker utilizó coordenadas homogéneas en su descripción, a continuación vimos la colección de líneas en el cuadrante de Klein, una de las primeras contribuciones de la geometría proyectiva a una disciplina en desarrollo denominada geometría algebraica, una rama de la geometría inspirada en las técnicas proyectivas.

Las hipótesis de Lobachevski y Bolyai sobre la geometría hiperbólica se demostraron correctas en gran parte debido a los modelos para el plano hiperbólico proporcionados por la geometría proyectiva. Por ejemplo, el modelo del disco de Poincaré, donde los círculos generalizados perpendiculares a la circunferencia unitaria corresponden a líneas hiperbólicas (geodésicas), y las traslaciones de este modelo se describen mediante transformaciones de Möbius que mapean el disco unitario a sí mismo.

Se utiliza una métrica de Cayley-Klein para calcular la distancia entre dos puntos, en función de la relación cruzada, por lo que se sabe que es invariante de traslación, invariante central de proyección.

En la teoría de los espacios métricos, las traslaciones se clasifican como una variedad de isometrías, transformadas lineales parciales, el grupo lineal proyectivo, y como transformaciones lineales de ese grupo, como ejemplo, SU(1), 1).

Poncelet, Jakob Steiner y otros no se propusieron ampliar la geometría analítica con su trabajo. Los métodos sintéticos estaban destinados a ser implementados, con el espacio proyectivo tal como lo conocemos ahora agregado axiomáticamente. Por lo tanto, puede ser un desafío reformular los primeros trabajos en geometría proyectiva para que sean rigurosos según los estándares actuales. Los métodos axiomáticos pueden proporcionar modelos que desafían la descripción del álgebra lineal, incluso en el caso simple del plano proyectivo.

Clebsch, Riemann, Max Noether y otros empujaron los límites de los métodos existentes en geometría mediante el estudio de curvas algebraicas universales; A esto le siguió el desarrollo de la teoría de los invariantes. La escuela italiana de geometría algebraica (Enriques, Segre, Severi) se separó de la asignatura tradicional a finales de siglo, hacia un ámbito que requería técnicas más avanzadas.

Aunque existe una gran cantidad de material escrito sobre el tema, la geometría proyectiva cayó en desgracia en la segunda mitad del siglo XIX. En particular, Schubert hizo algunos trabajos en geometría enumerativa que ahora se considera como un presagio de la teoría de las clases de Chern, que se entiende que describen la topología algebraica de los grassmannianos.

El desarrollo de la mecánica cuántica de Paul Dirac se basó en gran medida en la geometría proyectiva. Heisenberg se sintió sacudido y desalentado por la idea de que las observaciones cuánticas podrían no conmutar, mientras que Dirac, que ya había estudiado planos proyectivos sobre anillos no conmutativos, probablemente se vio menos afectado por este nuevo desarrollo. En su último trabajo, Dirac se basó en gran medida en dibujos de geometría proyectiva para comprender el significado intuitivo de sus ecuaciones antes de plasmar sus hallazgos en papel con un enfoque puramente algebraico.

En comparación con la geometría euclidiana y la geometría afín, la geometría proyectiva es más flexible. Es una geometría en la que los hechos se sostienen por sí mismos sin necesidad de un marco métrico. La estructura de incidencia y la relación de los conjugados armónicos proyectivos no se ven afectadas por las transformaciones proyectivas. La base es un rango proyectivo unidimensional. Una de las ideas más fundamentales de la perspectiva es el encuentro de líneas paralelas en el infinito, y la geometría proyectiva formaliza esta idea. En principio, una geometría proyectiva puede entenderse como una extensión de la geometría euclidiana en la que la dirección de cada línea se incorpora a la línea como un punto adicional, y un horizonte de direcciones correspondientes a líneas coplanares se ve como una línea. Por lo tanto, si dos líneas viajan en la misma dirección, eventualmente se cruzarán en el horizonte.

Los puntos en el infinito denotan direcciones idealizadas, mientras que las líneas en el infinito denotan horizontes idealizados. En consecuencia, estas líneas son planas en el infinito en el plano. Sin embargo, el infinito es un término métrico, por lo tanto, en una geometría estrictamente proyectiva, todos los puntos, líneas y planos se consideran por igual independientemente de su distancia desde el origen.

Debido al hecho de que la geometría proyectiva tiene una base más simple que la geometría euclidiana, los resultados generales de la geometría euclidiana se pueden derivar de una manera más comprensible dentro del marco de la geometría proyectiva, donde los teoremas distintos pero análogos de la geometría euclidiana pueden ser tratados colectivamente. Por ejemplo, las coordenadas homogéneas se pueden usar para colocar un plano proyectivo arbitrario en el infinito, eliminando el requisito de distinguir entre líneas paralelas y no paralelas.

El Teorema de Desargues y el Teorema de Pappus son otras dos propiedades de vital relevancia. Es posible demostrar el Teorema de Desargues usando una construcción específica en espacios proyectivos de tamaño 3 o superior. Por el contrario, se requiere un postulado separado para