Ensayos sobre Euclides. Vol 1: La geometría de la congruencia

Por Carlos Álvarez Jiménez

Este libro tiene como propósito principal trazar la historia de los Elementos de Euclides, una obra que con justicia puede ser considerada la más importante que se ha escrito en la geometría y probablemente en toda la matemática. Se trata de una obra escrita y concebida hacia el siglo III a .C. y que desde esa época comienza a transmitirse y difundirse; pero la historia de su origen y su difusión no son ajenas al hecho de que sobre ella seguimos discutiendo acerca de cuál pudo haber sido la versión original. Es así un gran reto comprender los cambios conceptuales en las matemáticas a lo largo de varios siglos, para dar cuenta de sus transformaciones a partir del siglo VIII, seguidos de los cambios que fueron introducidos para su difusión con la aparición de la imprenta hacia fines del siglo XV. Con esta perspectiva se propone recrear un contexto histórico y epistemológico que busca explicar las condiciones de los sucesivos cambios conceptuales.

• Idioma: Español
• Editorial: UNAM, Secretaría de Desarrollo Institucional
• Fecha de lanzamiento: 7 dic 2023
• ISBN: 9786073080750

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Introducción

Este libro tiene como propósito principal trazar la historia de los Elementos de Euclides, una obra que con justicia puede ser considerada la más importante que se ha escrito en la geometría y probablemente en toda la matemática. Debemos aclarar ahora, aunque eso tendrá que hacerse a lo largo de toda esta obra, qué entendemos por la historia de un texto y la historia de una disciplina. Si una tarea de la historia de las matemáticas es la de contribuir al esclarecimiento de su origen, lo es también el esclarecimiento de la naturaleza misma de los conceptos matemáticos, preguntarse por el origen de una teoría matemática es preguntarse por el origen de sus conceptos, y esta pregunta conlleva otra relacionada con los conceptos mismos. Preguntar por la historia o por el origen de la geometría es al mismo tiempo preguntar qué es la geometría misma. Creemos que la idea central en torno de estas preguntas está a su vez vinculada con la idea que asegura que, en estricto sentido, las matemáticas no tienen historia, puesto que no existe en ellas un pasado y tampoco existe una teoría que podamos o debamos considerar como caduca o perimida. No parece posible hablar de una teoría matemática cultivada en la antigüedad que hoy consideremos como errónea, una teoría que pudo haber respondido a viejas ideas, viejos modelos o visiones del mundo, las que, al tornarse caducas, han hecho lo mismo con esas teorías matemáticas en cuyo seno surgieron.

Si bien toda teoría matemática es actual, los métodos o procedimientos para presentarla e incorporarla a un marco que pudiésemos considerar moderno han evolucionado, dando así muestra de una cualidad proteica de las teorías matemáticas, la cual no sólo se presenta como un sello distintivo, ya que puede también servir como guía para comprender el mecanismo de su propia historia, de esa historia cuyo sentido debemos dirimir, si es que se trata de una historia. Al aclarar el papel de la geometría frente a su historia, puesto que nada en ella es realmente pasado, podemos decir que ella vive plenamente en su historia; si toda historia exige un cierto distanciamiento, condición que se asume como necesaria para poder elaborar un juicio acerca de cuánto se debe a la historia, nos encontramos que dicho distanciamiento no es tal en la geometría, ella vive a través de su historia y ella es su propia historia.

Podemos subrayar algunos mecanismos que dan cuenta del doble carácter de esta historia, de los elementos que constituyen su temporalidad y, al mismo tiempo, su expansión y difusión. Esta historia que se despliega en su propio seno y que se revela en su estructura, no representa su negación sino su confirmación.

Sabemos bien que esta relación de la geometría y de las matemáticas con su historia contrasta con la posición de quienes sostienen que lo que da cuenta de ellas, de lo que son y por lo que son, es fundamentalmente su estructura, ya sea una estructura lógico-deductiva o una estructura que da cuenta orgánica del modo en el que las distintas teorías de vinculan y se interrelacionan. No pretendemos negar estas visiones, más bien reclamaremos que en ellas y a través de ellas se pone de manifiesto la historia que vive en las matemáticas.

La obra que analizaremos en esta perspectiva, una obra que ha llegado a nosotros con el simple título de Elementos (Στοιχεια), no será tomada como pretexto para una nueva reedición de este debate, y tampoco para revivir otro debate que se refiere al modo específico de llevar a cabo un análisis histórico, puesto que no se debe olvidar que toda teoría científica, y la geometría no tendría por qué faltar a ello, y toda imagen del mundo son un reflejo claro de la época en la que surgieron. Ello obligaría a reconocer que, si bien la geometría euclidiana proviene de un horizonte histórico particular, puede y debe contemplarse en otro mucho más amplio, cuya historia incluye no únicamente su génesis, sino también su difusión, su expansión, y su asentamiento como una de las obras más importantes de las matemáticas. Se trata de una obra escrita y concebida hacia el siglo III a.C., la que desde esa época comienza a transmitirse y difundirse; la historia de este origen y su difusión no son ajenas al hecho de que sobre dicha obra sigue viva la discusión acerca de cuál es, o cuál pudo haber sido, la versión original. En esta perspectiva es un gran reto comprender en toda su extensión el cambio conceptual que tuvo lugar en las matemáticas a lo largo de varios siglos, para dar cuenta posteriormente de sus transformaciones a partir del siglo VIII y hasta el siglo XI, y posteriormente retomar los cambios que fueron introducidos para su difusión cuando apareció la imprenta hacia fines del siglo XV, dejando de lado con ello la difusión de versiones manuscritas y dando paso a las versiones impresas. Ello desde luego obliga a considerar también el público al que dicha obra ha sido dirigida, no sólo por su primer autor sino por sus muy diversos editores, traductores y compiladores.

Si bien consideramos importante este enfoque que nos obliga a tomar en cuenta cada uno de estos horizontes históricos y culturales que apenas hemos mencionado, sugerimos concentrarnos en una reflexión conceptual que se refiere al debate sobre la naturaleza de la geometría plana en la perspectiva que el mismo texto nos refiere. No hay duda de que en este caso confluyen distintos elementos que difícilmente pueden separarse por completo: se trata de revisar de manera somera la historia de la geometría no sólo en lo que se refiere a su origen como una nueva teoría, o la de una nueva manera de entender la estructura de una disciplina deductiva, lo que hace parcialmente posible también el advenimiento de un nuevo aparato formal para dar cabida en su seno a la geometría clásica. Al momento de buscar el enfoque conceptual en la historia de la geometría, tomando como pretexto la obra de Euclides, consideramos que es posible acceder a través de éste a un mecanismo más, a un mecanismo privilegiado, para la comprensión de la matemática misma.

Con esta perspectiva que permite un tejido más fino en el marco general que habíamos delineado, nos proponemos recrear un contexto histórico y epistemológico que busca explicar las condiciones de los sucesivos cambios conceptuales, mismos que desde luego abonan en la cada vez mayor comprensión de lo que se busca conocer, y que también permite dar cuenta del encadenamiento conceptual mismo, planteado en su desarrollo histórico. De este modo lograremos hacer ver que la historia deviene un instrumento de la comprensión matemática.

En esta perspectiva queremos que la historia devenga presente, como un medio de dar cuenta del presente de la geometría, ya que el horizonte conceptual que Euclides concibió para su desarrollo sigue siendo el horizonte en el cual se comprende dicha disciplina. Es claro que desde la perspectiva que permite abrir el horizonte histórico que planteamos, se desprende la necesidad de replantear la pregunta por el origen de las matemáticas y aproximarnos así a las variantes que se han desplegado en momentos distintos. Podemos intentar así una aproximación al problema del origen de la geometría como disciplina deductiva, si bien en el presente volumen sólo nos ocuparemos de la geometría plana, y de hecho de un aspecto de ella, para continuar en otros volúmenes con la geometría basada en la teoría de proporciones, la aritmética y la geometría sólida. Con ello será posible presentar un panorama completo del contenido de los Elementos, pero debemos aclarar que nuestro trabajo busca dar cuenta, en cada caso, de los teoremas que consideramos fundamentales y que en cada caso desempeñan un papel que puede ser teleológico o articulador, pero son los que dan cuenta del sentido de la geometría que se despliega.

No se trata entonces de enunciar y comentar todas las proposiciones de las que se ocupan los primeros dos libros de los Elementos, ni tampoco nos limitaremos a dar cuenta, en los casos pertinentes, del origen de estos enunciados; más bien trataremos de mostrar cómo detrás de ellos, y en consonancia con el vínculo deductivo que hace que unas se desprendan de otras, se teje el sentido y el propósito que a nuestro juicio animó al autor euclidiano a llevar a cabo la escritura de esta obra. Estamos seguros de que, sin minimizar las diferencias existentes entre las distintas ediciones de los Elementos a lo largo de casi veinte siglos y sin dejar de señalar las variantes, las interpolaciones y añadidos a los que está sujeta una obra tantas veces traducida, comentada y actualizada, el sentido al que nos referimos no ha dejado de estar presente en la articulación que su autor buscó imprimirle a su obra. Ya sea que hablemos de las versiones que presumiblemente se encuentran libres de las interpolaciones que marcaron las ediciones que siguieron el camino que inauguró Teón de Alejandría, o bien aquellas que varios siglos después comenzaron a ser consideradas como comentarios y recensiones, o aun aquellas que a fines del siglo XVI portaban un cúmulo de teoremas, enunciados y comentarios nuevos, incluyendo variantes en el contenido del marco axiomático básico, dejando con ello en claro la mano de quien las preparó, creemos que el sentido marcado por lo teoremas fundamentales que iremos comentando, y que marcan el camino y el contenido de la geometría plana de la congruencia, sigue la ruta marcada por la versión original y ninguna edición ulterior, pese a los añadidos que hemos mencionado, ha dejado de lado.

Euclides es sin duda heredero de una tradición en la práctica de la geometría plana, es sin duda coautor de un nuevo modo de tejer la relación entre las distintas proposiciones geométricas que le otorgan a esta disciplina el carácter deductivo que la hace distintiva. Pero es sin duda quien encuentra el modo de articular a las proposiciones de la geometría plana para dar cuenta de dos modalidades claramente distinas, de las cuales una se despliega a través de la teoría de proporciones, de reciente reformulación y consolidación en su época, y la otra que le antecede y que se sabe independiente de ésta. Esta diferencia permite concebir dos grupos de enunciados fundamentales sobre los cuales cada una de ellas se despliega y que proporciona un nuevo perfil de la geometría en tanto que ciencia deductiva. La novedad eculidiana se encuentra, desde luego, en el marco axiomático sobre el cual descansa este carácter deductivo de la geometría, pero sobre todo se encuentra en esta diferencia que hemos señalado, lo que obliga a perfilar para cada una de estas dos geometrías, las que hemos denominado la geometría de la congruencia y la geometría de la semejanza, las proposiciones que marcan su derrotero principal. Es de este modo que se organiza una disciplina que sabe y toma conciencia de las preguntas y problemas que orientan su camino, y las que guían el orden de las respuestas que se van tejiendo paso a paso. Con la obra de Euclides es posible dar respuesta a la pregunta de cuál es el sentido de la geometría.

Es una caracterización errónea, y en realidad es un engaño, asegurar que la geometría plana euclidiana se dedica al estudio de las figuras geométricas planas, ya que, como lo veremos, en los primeros dos libros de los Elementos sólo se despliega el estudio de algunas relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, para pasar posteriormente al estudio de las relaciones similares en el caso de los paralelogramos y los rectángulos. El círculo, como figura geométrica plana, es en estos primeros dos libros tan sólo una figura auxiliar, una figura clave para llevar a cabo las construcciones geométricas requeridas para las demostraciones, pero una figura auxiliar, a fin de cuentas. De entre estos teoremas relacionados con los triángulos y las magnitudes que los determinan, destacarán seis de ellos, y veremos cómo un objetivo primordial de Euclides es desplegar con detalle el encadenamiento y la prueba de estas proposiciones; es para ellas que se enuncian y prueban los teoremas de congruencia de triángulos, es a través de ellas que dichos teoremas despliegan su papel fundamental.

Sabemos que una de las características centrales del texto de Euclides es la de conjuntar dos teorías cuya relación es oscilante y desigual: por un lado, una teoría que se ocupa de las magnitudes continuas y otra que se refiere a las magnitudes discretas. Pero este aspecto aparentemente complementario entre la geometría y la aritmética parece romperse al momento en el que se vislumbra el sustrato (axiomático) sobre el que se apoyan ambas teorías. El único soporte común para la geometría y la aritmética lo constituyen las Nociones Comunes (κοιναι ἔννοιαι) que aseguran que en cualquier dominio de magnitudes es posible realizar operaciones de anexar o remover, poner o quitar, magnitudes a una magnitud ya considerada. Si bien estas nociones comunes asumen de manera implícita la realización de dichas operaciones de adición y sustracción, en lo que son explícitas es en la afirmación de la permanencia de la igualdad bajo estas operaciones, cuando iguales se añaden o quitan a iguales. De este modo, lo que por dichas operaciones se habrá de entender estará sujeto en la geometría a lo que las construcciones geométricas permitirán llevar a cabo; prolongar una línea dada de modo que se pueda garantizar que dicha extensión tiene una magnitud igual a otra línea, podrá ser considerado de manera legítima como el significado preciso de la adición de líneas rectas. De acuerdo con ello es posible decir que no habrá ningún marco formal que permita desarrollar las operaciones entre magnitudes geométricas que sea independiente de las construcciones geométricas y de las relaciones que los teoremas geométricos fundamentales permiten concluir. Es por ello que la geometría no puede aceptar que las operaciones entre magnitudes sean el resultado de una definición, por lo que requieren de la presencia, junto con las nociones comunes, de otro grupo de enunciados, los postulados o demandas constructivas (αἰτήματα). Sólo a partir de dichas demandas se pueden llevar a cabo las construcciones (geométricas) a través de las cuales dichas operaciones, anunciadas por las nociones comunes, cobran sentido. Si la geometría tiene este propósito específico, ello da cuenta de que el marco axiomático completo propuesto por Euclides fue concebido para justificarlo y hacerlo posible.

Pero si las nociones comunes contemplan las operaciones de adición y sustracción en la perspectiva que hemos señalado, las operaciones de multiplicación y división entre líneas rectas obligará al autor de los Elementos a recorrer un camino mucho más sinuoso; en su momento veremos cómo es que, sin hacer mención explícita de ella, esta operación subyace a lo que geométricamente es posible asegurar, hacer y construir en la geometría de los paralelogramos y los rectángulos de la cual se dará cuenta en el Libro II de los Elementos.

De este modo la obra que presentamos tiene como objetivo analizar un texto, una obra escrita, dar cuenta de su genealogía, pero sobre todo de su contenido y del significado que adquiere esta disciplina y del camino que ha seguido su transmisión. En este primer volumen nos dedicaremos, en la perspectiva que hemos señalado, al contenido de la geometría plana de las figuras rectilíneas; a ello seguirán, en volúmenes posteriores, el análisis de la geometría del círculo; el análisis del origen y desarrollo de la teoría de proporciones, el estudio de las magnitudes conmensurables e inconmensurables y el de la geometría de la semejanza de figuras planas rectilíneas; el estudio de la aritmética y finalmente el estudio de la geometría sólida. Sabemos que con ello se completa el objetivo que presumiblemente se planteó su autor al concebir y redactar los Elementos, sabemos también que con ello quedó relegado a un segundo plano el estudio y tratado de las curvas mecánicas, y al mismo tiempo quedó delineado como un objetivo futuro, aunque sin haber sido mencionado, el estudio de las secciones cónicas.

Es por ello que el contenido de este presente volumen ha sido dividido en tres partes, que incluyen un estudio de la historia del texto del cual nos ocupamos, el estudio del marco axiomático que subyace a la geometría de las figuras rectilíneas, y de la que se desprende el estudio de las propiedades del triángulo como la figura rectilínea más simple. Este estudio supone, con relación al marco axiomático que presenta Euclides, todas aquellas propiedades que son independientes del último postulado y el de todas las propiedades que dependen de él. Ello nos permitirá hacer ver todo el peso histórico, epistemológico y lógico que conlleva la introducción de dicho postulado, concebido con razón como una de las mayores aportaciones del autor de los Elementos. La tercera parte de este volumen estará dedicada al estudio de los cuadriláteros y, en particular, de los cuadrados como figuras planas rectilíneas, estudio en el cual se destaca el hecho de que todo lo que Euclides prueba acerca de esta figura, las posibles formas de componerlo y descomponerlo dependen también de dicho postulado.

Decir pues que este volumen trata de la geometría plana contenida en los dos primeros libros de los Elementos, es decir muy poco, pero es también es decirlo todo, pues a partir de esta obra cobra pleno sentido esta disciplina que llamamos geometría.

Primera Parte:

Los Elementos de Euclides. Un texto que se debe a su historia

Capítulo I: La historia de un texto

I.1 La obra de un autor y la intervención de muchos comentadores

Es poco lo que sabemos acerca del personaje que ha pasado a la posteridad como uno de los actores principales en la historia de las matemáticas, Euclides de Alejandría, y es también poco lo que se conoce acerca de su obra. Sobre su vida existen versiones muy diferentes, algunas de las cuales sentaron por mucho tiempo la confusión de Euclides de Alejandría con el filósofo Euclides de Megara, contemporáneo de Platón. Debemos señalar que es a partir de un comentario de Pappo (de Alejandría) en su Colección Matemática –quien asegura que Apolonio de Perga se formó durante algún tiempo en Alejandría, en la escuela de geómetras que seguían las enseñanzas de Euclides, y que fue de esta escuela de donde obtuvo su primer conocimiento de las cónicas– que se atribuye a Euclides ese gentilicio que lo hace originario de Alejandría.¹ En el prólogo a su Comentario al Libro I de los Elementos, Proclo de Licea lo sitúa cronológicamente en la época de Ptolomeo I, quien reinó en Egipto de 323 a 285 a.C., y asegura que es anterior a Arquímedes de Siracusa y a Apolonio de Perga. Sin embargo, mezclado con estos breves datos sobre su vida, existen otras versiones que le consideran más bien como un pseudónimo adoptado por una colectividad de geómetras, autores de la obra intitulada Elementos.

Ciertamente nos han llegado algunos otros textos que igualmente le son atribuidos, por lo que se ha avanzado poco al intentar encontrar una unidad entre ellos. Se podría proponer un vínculo en torno de tres obras que nos han llegado de manera (casi) íntegra, los Elementos, los Datos y la Óptica, y otro en torno de un texto de aritmética y teoría musical (Sección del Canon). Pero de otras obras sólo tenemos referencia, como es el caso de los (tres) libros sobre los Porismas, de un tratado sobre Cónicas y de otro sobre los Lugares de Superficie; todo lo cual nos sugiere que puede ser mucho más aleccionador el dirigir nuestra atención a la búsqueda de aquel vínculo sugerido por Pappo al inicio del Libro VII de su Colección Matemática, que el limitarnos al simple recuento de las obras que se conocen y de las que se tiene referencia.

Por otro lado, si bien los Elementos han sido objeto de múltiples ediciones y la crónica de su evolución a lo largo de todas ellas constituye en sí misma uno de los capítulos más importantes en la historia de las matemáticas, no debemos olvidar que el libro de los Datos, se conservó prácticamente sin comentarios y sin mayores cambios en sus ediciones hasta inicios del siglo XVII, al grado que al comparar dichas ediciones con la edición de Heiberg y Menge que hoy consideramos como la más fiel y que data de fines del siglo XIX, no encontramos la cantidad de modificaciones que aparecieron a propósito de los Elementos. Algo parecido sucedió con la Óptica, pues a pesar de ser un tratado conocido, tampoco fue objeto de un gran número de ediciones. Dada la dificultad, por no decir imposibilidad, de encontrar datos certeros acerca de su vida y obra, podemos más bien considerar a Euclides como uno de los últimos autores, tal vez el último, de una serie de tratados geométricos, denominados todos ellos como Elementos (de geometría) y que posiblemente comenzaron a ser escritos en el seno del ambiente intelectual de la Academia de Platón. Si bien Proclo sostiene en su Comentario (al Libro I de los Elementos de Euclides) que éste es también el origen de la obra que nos ocupa, y sobre esta afirmación asegura una filiación plena de Euclides a la escuela platónica, no deja de ser digna de ser tomada en cuenta la interpretación según la cual el autor de (la última versión de) los Elementos tuvo en cuenta muchos de los comentarios y críticas de Aristóteles a la filosofía platónica, mismos que le permitieron introducir un marco conceptual, axiomático y deductivo, que le son característicos y en más de dos sentidos inéditos.

Esta posición nos parece más plausible y cercana a la naturaleza del texto de los Elementos que nos ha llegado, y para ello podemos partir del hecho siguiente: una parte sustancial de esta obra, misma que la delinea y prefigura casi en su totalidad, la constituyen las Nociones Comunes (κοιναι ἔννοιαι), las que no hacen otra cosa sino enunciar reglas generales que establecen el significado y las condiciones de permanencia bajo las cuales se asegura que dos cosas son iguales. Este hecho nos deja ver que Euclides considera a los objetos geométricos y aritméticos como entidades cuya misión (necesaria) es la de dar cuerpo a las magnitudes, y esto es lo que constituye precisamente el tratamiento de dichos objetos en tanto que objetos matemáticos (geométricos o aritméticos). Dicho lo anterior, vale la pena señalar que, salvo en el Libro V y (parcialmente) el Libro X, Euclides no trata con magnitudes sino con entidades geométricas o aritméticas que objetivan a estas magnitudes, lo cual nos parece un signo mucho más cercano a Aristóteles que a Platón.

Pero más aristotélico que platónico, o a la inversa, lo que nos interesa subrayar es el hecho de que Euclides, como autor de la última versión de unos Elementos de geometría que fueron escritos en la antigüedad, parece haber sentado la posibilidad de dejar de lado, por obsoletos, a todos los textos previos escritos bajo el mismo nombre y con una finalidad aparentemente similar. Con la obra de Euclides se puso fin a una tradición que contemplaba la redacción de textos que buscaban presentar los elementos de la geometría, y abrió el camino a nuevos textos dedicados a comentar ahora a Euclides y sus Elementos. De los comentarios a los Elementos de Euclides tenemos noticias de aquellos que provienen de los primeros siglos de nuestra era: los comentarios de Herón de Alejandría (siglo II), Porfirio (siglo III), Pappo (siglo III), Teón (siglo IV), Proclo (siglo V) y Simplicio (siglo VI). Pero es sin duda el comentario de Proclo el que, a pesar de limitarse únicamente al Libro I, más influencia ha tenido en las ulteriores reconstrucciones del texto euclidiano.

Algo muy distinto sucede con otros tratados atribuidos a Euclides, como su tratado sobre los Porismas, su tratado sobre las Cónicas y uno más sobre los Lugares de Superficie; ninguno de los cuales se conserva y sólo tenemos noticias de ellos a partir de los comentarios de Pappo de Alejandría que fueron vertidos en su Colección Matemática, datada hacia el siglo III de nuestra era.² De estas obras, cabe señalar que los Porismas constituyen una obra prácticamente desconocida hasta que Commandino lleva a cabo la primera traducción latina de la obra de Pappo, y es en ese momento (1588) que se tiene referencia de esta obra no sólo por la mención hecha por Pappo sino por los ricos comentarios que hace y que fueron la pauta para las dos importantes reconstrucciones de la misma: la reconstrucción de los Porismas de Euclides hecha por R. Simson (1721-1751) y la edición de M. Chasles en 1851. Es en la misma Colección Matemática que Pappo nos refiere que el contenido de un tratado de Cónicas escrito por Euclides constituye el núcleo de los primeros cuatro libros de las Cónicas de Apolonio.³

No debemos olvidar que, al referirse a los Datos, a los Porismas y al tratado de Cónicas de Euclides, Pappo señala que estas tres obras comparten una idea común y forman parte del gran Dominio del Análisis (Αναλυομένος τόπος) del que nos habla en el Libro VII de la Colección Matemática. Es por ello que, más allá de introducir las notas aclaratorias que permiten sostener que los Datos constituyen una obra posterior a los Elementos, y que en muchas de las proposiciones de la primera se hace una alusión, al menos implícita, a algunos teoremas demostrados en la segunda, los Datos no constituyen una extensión ni una continuación de los Elementos. Más bien, y como lo asegura el propio Pappo, los Datos son la obra que inaugura el camino para adentrarse en ese Dominio del Análisis, en el que se incluyen 32 libros escritos, fundamentalmente, por Euclides y Apolonio y que el conocimiento y comprensión de estas obras supone el conocimiento de los Elementos, sin que esto signifique que la obra más conocida de Euclides se deba considerar como parte integrante de este Dominio del Análisis.

I.2 Los Elementos, orígenes y avatares de una tradición escrita

Al preguntarnos por los orígenes de la geometría y aritmética lo hacemos con relación a una modalidad que nos parece indisociable de ellas, que ciertamente no apareció con ellas en tanto que habilidad o arte asociado con algunas prácticas del comercio y del intercambio, o de la construcción y edificación, por no mencionar a la más necesaria y asociada con el origen etimológico mismo de la geometría y que se relaciona con la medida de terrenos. El origen al que nos interesa referirnos tiene que ver, sobre todo, con el de una tradición escrita de esta disciplina, puesto que consideramos que las características claves de la geometría y la aritmética como ciencias deductivas son indisociables del hecho que formen parte de una cultura escrita.

Como tal, el origen que nos interesa aclarar se refiere al de una tradición escrita tanto de la aritmética como de la geometría, la que debe ser considerada como parte del origen del texto de Euclides. No es mucho lo que podemos saber con certeza sobre ello, a menos que demos crédito a las pocas fuentes de las que disponemos, siendo las más importantes las dos obras que ya mencionamos: la Colección Matemática de Pappo y el Comentario al Primer Libro de los Elementos de Proclo. Este último incluye un resumen en el cual da cuenta de (algunos de) los antecedentes al texto euclidiano, y a través de él aprendemos que, en realidad, como ya lo señalamos, debemos de considerar que Euclides culminó una tradición, iniciada tiempo atrás, la cual consistía en escribir tratados de geometría que aspiraban, a presentar los principios o elementos de los que esta disciplina se compone. Para este fin los Elementos de Euclides constituyen un texto que, tal vez sin ser concebido para ello, dejó en el olvido a todos aquellos textos que antecedieron y que fueron escritos en ese mismo tenor, al grado que su posteridad no consistió en la producción de nuevos textos de geometría, sino en la proliferación de reediciones y comentarios a él. Se trata así de un texto que con su aparición parece haber borrado de manera definitiva a todos sus antecedentes y al mismo tiempo dejó como una tarea futura el comentario.⁴

Por ello, y precisamente porque se trata de un texto que culmina una tradición y abre otra, es importante marcar de manera clara la naturaleza y filiación de los problemas que trata, así como del estilo que impone. Si bien es claro que en los Elementos se abarcan problemas de la geometría plana y la geometría sólida, debemos entender que a esta clasificación subyace otra a partir de la separación que se establece en el contenido de los Libros I-IV y el Libro VI, si bien en todos ellos se trata a las figuras rectilíneas y al círculo. En estos libros se opera una distinción clara ya que en los Libros I-IV únicamente se despliega el tratamiento de las figuras planas bajo la modalidad de la igualdad o congruencia, dejando al Libro VI, previo despliegue de la teoría de proporciones del Libro V, a la relación de semejanza de las figuras planas. Ello marca una diferencia que no puede ser dejada de lado entre la geometría de la congruencia y la geometría de la semejanza para las figuras planas, dejando el estudio de geometría sólida para los libros XI-XIII, en donde esta diferencia establecida para la geometría plana desaparece. Junto con ello existe una tradición de problemas y teoremas planos, clasificación introducida por Pappo, según la cual se trata de enunciados susceptibles de ser construidos y probados únicamente a partir de líneas rectas y círculos. Este es el caso de todos los enunciados de los Elementos, independientemente de formar parte de la geometría que en el sentido anterior hemos llamado plana, o sólida, puesto que sólo se limita a problemas y teoremas tratados a partir de estos dos recursos. De este modo, es con base en líneas rectas y círculos que se puede encontrar la longitud del lado de un cuadrado o de un pentágono que se inscriben en un círculo con un radio conocido; así como también es posible encontrar con líneas rectas y círculos la longitud de la arista de un sólido regular. Pero no es posible con los mismos recursos encontrar la longitud del lado de un heptágono regular que se inscribe en un círculo de radio dado, aun cuando se trate de un problema de geometría plana.

Por formar parte de la geometría de enunciados planos, resolubles o demostrables con base en líneas rectas y círculos, es claro que la tradición a la que el texto de Euclides se debe no incluye ningún tema relacionado con el estudio de las secciones cónicas y desde luego deja de lado todo aquello que se refiere a las curvas mecánicas.⁵ Además de eso es importante señalar que el orden en el que estas proposiciones geométricas se presentan tiene que ver más con un cierto criterio temático y lógico que con un criterio seguido de su orden de aparición cronológica. Por ello, si bien es posible proponer un cierto orden lógico y deductivo entre los distintos enunciados y proposiciones geométricas, resulta difícil concebir e imaginar en qué condiciones estos mismos enunciados, concebidos como resultados referidos a propiedades conocidas y a problemas planteados y resueltos en contextos distintos, pudieron haber sido formulados originalmente. La presentación dada por Euclides, si bien propone un orden particular, mismo que acepta variantes que en su momento analizaremos, definitivamente torna impensables y vuelve irrelevantes posibles contextos ajenos a aquellos en los que dichos enunciados pudieron haber sido concebidos y formulados.

Es por eso que si tratamos de encontrar una línea de la cual desciende el texto euclidiano, o bien alguna o varias tradiciones teóricas que le antecedieron, podemos seguir el relato de Proclo en su Comentario al Libro I, en el cual aprendemos que es posible dar inicio al recorrido sobre los orígenes del texto de Euclides con tres personajes: Tales de Mileto, Pitágoras e Hipócrates de Chio. Sobre el primero, Proclo relata que tras haber recorrido por largo tiempo tierras de Asia Menor y Egipto, adquirió en esas tierras el conocimiento de esta disciplina vinculada con el cálculo y la medida de terrenos y lo llevó a Grecia.⁶ El segundo, nos relata Proclo, es tal vez el iniciador de una tradición de la geometría vinculada no sólo con la acumulación y ordenamiento de propiedades y problemas en enunciados relacionados entre sí, a partir de un primer (e incipiente) criterio deductivo, en donde la vinculación entre proposiciones aritméticas y geométricas, alimentada por una visión unificadora de ambas, o una imposibilidad de tratar y aclarar el núcleo de su diferencia, le llevaron a una visión única de la proporcionalidad entre magnitudes incapaz de dar cuenta de la existencia de magnitudes inconmensurables. Más que una crisis, podemos pensar que se trató de la clara aparición de los límites de un marco conceptual que se mostró insuficiente. En cuanto al tercero se le puede considerar como el iniciador de la tradición de escribir tratados de geometría dedicados a la presentación de los elementos de la geometría a la que nos hemos referido. Sin embargo, debemos reconocer que, ante la falta de dicho material, el cual pudo perecer entre otras, a causa de la aparición del texto euclidiano, tampoco podemos dejar de suponer que bien pudo haberse tratado de un cúmulo de resultados, proposiciones geométricas y ejercicios de cálculo que se conjuntaron en un texto que por tal motivo no pudo trascender más allá de los límites que le fueron marcados por los Elementos.

Al comenzar con el primero de estos tres personajes, vemos que Proclo atribuye a Tales algunos resultados que se recuperan en los Elementos de Euclides, notablemente la proposición P.I-5, que enuncia que en un triángulo isósceles son iguales los ángulos que se oponen a los lados iguales, propiedad fundamental de los triángulos isósceles, así como la proposición P.I-15 que asegura que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, y la proposición P.I-26, que constituye, en el orden euclidiano, el tercer teorema de congruencia de triángulos. Es claro que, si nos limitamos al relato de Proclo, faltaría por aclarar el papel y el orden deductivo, si lo había, que estos resultados guardan para Tales. Proclo le atribuye igualmente a Tales la afirmación de que el diámetro de un círculo lo bisecta, que en Euclides constituye parte de su definición (D.I-17) por lo que no es considerada como una proposición que deba ser demostrada. Si la proposición P.I-5 de los Elementos se completa con la proposición P.I-6 para dar cuenta de la propiedad fundamental de los triángulos isósceles, Proclo sólo nos refiere a la primera como conocida por Tales, sin mencionar a la segunda, que es la proposición conversa. Por tanto, no sabemos si Tales conocía ambas –o bien si disponía de un único enunciado en el que presentaba una propiedad como necesaria y suficiente para caracterizar a los triángulos isósceles–, o si por el contrario el enunciado converso P.I-6 comenzó a ser conocido posteriormente. En todo caso, más allá de la especulación histórica, es necesario confrontar cualquier hipótesis sobre el origen de estas dos proposiciones con las posibilidades de reordenar el paso deductivo de una a otra, lo que parece difícil una vez que Euclides nos presenta con su texto un orden deductivo que parece ser el único posible.⁷ Pero si en el orden lógico deductivo dado por Euclides en los Elementos es claro el papel complementario que tienen entre sí estas proposiciones P.I-5 y P.I-6, ello deja una gran interrogante respecto del origen de las proposiciones que enuncian las propiedades de los triángulos con lados (y ángulos) desiguales (P.I-18 y P.I-19), de las cuales, como veremos, Proclo nos remite a un origen distinto.

Sobre la afirmación de que los ángulos opuestos por el vértice son iguales (P.I-15) nos resulta difícil asimilarla a un marco conceptual distinto al que se presenta en el texto euclidiano, puesto que no sólo se trata de asegurar la igualdad de dos ángulos, sino el de asimilar dicha igualdad a un contexto global de proposiciones, razón por la cual, concluye Proclo, Euclides es el primero en proponer una prueba, y por tanto un antecedente, para esta proposición, el cual dista de ser una observación trivial ya que pone en juego la relevancia del ángulo recto y con ello la relevancia del enunciado que postula que todos los ángulos rectos son iguales. Pero para nosotros esta proposición P.I-15 también se enmarca en un contexto en el cual a este antecedente le siguen dos consecuentes que parecen haber sido señalados por vez primera en el texto de Euclides. En efecto, de esta proposición se siguen dos enunciados claves: la afirmación de que en todo triángulo, al prolongar un lado se obtiene un ángulo externo que es mayor que cualquiera de los dos ángulos del triángulo que no son adyacentes con el ángulo externo (P.I-16), y la afirmación de que en todo triángulo (παντὸς τριγώνου) dos ángulos (δύο γωνίαι) tomados de cualquier modo (πάντῃ μεταλαμβανόμεναι) son menores que dos [ángulos] rectos (δύο ὀρϑῶν ἐλάσσονές) (P.I-17). Es debido a este vínculo del antecedente con sus consecuentes que nos resulta difícil imaginar en qué contexto pudo Tales haber inscrito dicho resultado. Este hecho simple nos permite aclarar el sentido que queremos dar al carácter deductivo y orgánicamente unificado del texto de Euclides. Ante lo que hemos señalado respecto de las consecuencias que tiene la proposición P.I-15 que asegura la igualdad de dos ángulos opuestos por el vértice, es posible y necesario preguntarnos cuál pudo haber sido el sentido de dicho enunciado ante la ausencia de estas dos consecuencias que hemos mencionado. De manera aislada, el problema no es únicamente saber si se dispone de todos los argumentos que se requieren para convalidar dicha afirmación, sino de preguntarnos cuál puede ser el sentido de dicha afirmación. Una proposición geométrica en el contexto del Libro euclidiano no sólo requiere de todos aquellos antecedentes que la sostienen deductivamente, sino del sentido al que dicho enunciado apunta y que toma cuerpo en él, o los consecuentes que de éste se siguen. De acuerdo con ello podemos nuevamente asegurar que, pese al origen al que nos ha remitido Proclo, bien podemos preguntarnos en qué medida podemos considerarlo como un enunciado que deviene realmente un enunciado geométrico en los Elementos de Euclides.

Lo mismo podemos decir acerca de la proposición P.I-26 que Proclo atribuye también a Tales (a partir de la Historia de la Geometría de Eudemo de Rodas) puesto que, si en el orden euclidiano se trata del tercer teorema de congruencia de triángulos, no tenemos referencia alguna de si Tales lo conocía independientemente de los otros dos teoremas de congruencia, o si se trataba de un resultado parcial. Si en éste como en otros casos la referencia de Proclo se basa en la Historia de Eudemo, debemos notar que para los otros dos teoremas de congruencia de triángulos (P.I-4 y P.I-8) no tenemos noticia de que Eudemo haya dado alguna referencia acerca de su origen.⁸ Pero independientemente de este hecho, debemos reconocer que con el conocimiento de un teorema de congruencia de triángulos, esta figura, que es la más simple de todas, accede a un status completamente novedoso, el cual marca a nuestro juicio un hito en la historia de la geometría: es un primer resultado en el cual se enuncian condiciones particulares que determinan por completo a una figura (plana); no se trata de establecer tal o cual propiedad de esta figura sino de establecer las condiciones necesarias y suficientes que le dan carácter de existencia.

Dada la diferencia lógica y conceptual que detectamos entre la geometría pre-euclidiana y la geometría diseñada por Euclides a partir de sus Elementos, no resulta posible y más bien parece carecer de sentido, concebir en la primera una distancia tan clara como la que Euclides establece entre la geometría de la congruencia y la geometría de la semejanza. Si bien hablaremos ampliamente de esta diferencia más adelante, podemos adelantar que para Euclides la primera se sustenta sobre la base de los teoremas de congruencia de triángulos, así como de las relaciones de igualdad y desigualdad que se siguen directamente de la Nociones Comunes. La segunda en cambio se asienta sobre resultados de semejanza de figuras planas, notablemente el teorema que ha pasado a la posteridad como el teorema de Tales, y requiere desde luego de la teoría de proporciones que el autor de los Elementos desarrolla a lo largo del Libro V. Ello resulta pertinente ahora toda vez que el teorema de congruencia de triángulos (P.I-26) que Proclo atribuye a Tales, y que asegura la congruencia de dos triángulos cuando tienen iguales a uno de sus lados y a dos de sus ángulos, puede presentarse a Tales como un caso particular del teorema general de semejanza de triángulos que se le atribuye: si se asume el teorema que asegura que los tres ángulos de un triángulo son iguales a dos rectos, resultado atribuido a los pitagóricos, basta la igualdad de dos de los ángulos respectivos de dos triángulos para asegurar que éstos son equiángulos; la semejanza estaría ya garantizada, pero la misma deviene congruencia dada la igualdad de uno de sus lados. Pese a este vínculo sabemos que Euclides dejará en claro en los Elementos la distancia que separa a un teorema de congruencia y un teorema de semejanza de triángulos. No lo hace negando la relación que hemos señalado, sino dejando en claro que sus respectivas demostraciones se sustentan sobre dos ciclos temáticos distintos, los que ya hemos señalado y que más adelante dejaremos en claro, el de la congruencia de figuras en el primer caso y el de la semejanza de figuras para el segundo.

Podemos así concluir que esos resultados geométricos que Proclo nos permite identificar en las proposiciones de los Elementos y que se le atribuyen a Tales de Mileto, no dan cuenta de una filiación teórica, sino más bien de una reinserción en una esfera temática inédita, haciendo con ello más clara la diferencia y la originalidad de la obra euclidiana.

Si bien sobre Tales y la escuela Jónica sólo tenemos referencias indirectas, el velo de ignorancia, misterio y mito que envuelve a Pitágoras y su Escuela no es menor. Muchos de los textos atribuidos al personaje o a miembros de su escuela son apócrifos, y otros personajes como Arquitas de Tarento son vinculados tanto a la tradición pitagórica como a la Escuela de Platón, lo que contribuye a la