Transformación de radón: Revelando patrones ocultos en datos visuales

Por Fouad Sabry

¿Qué es la transformada de radón?

En matemáticas, la transformada de radón es la transformada integral que lleva una función f definida en el plano a una función Rf definida en el (dos- dimensional) espacio de líneas en el plano, cuyo valor en una línea particular es igual a la integral de línea de la función sobre esa línea. La transformada fue introducida en 1917 por Johann Radon, quien también proporcionó una fórmula para la transformada inversa. Radon también incluyó fórmulas para la transformación en tres dimensiones, en las que la integral se toma en planos. Posteriormente se generalizó a espacios euclidianos de dimensiones superiores y, más ampliamente, en el contexto de la geometría integral. El análogo complejo de la transformada de radón se conoce como transformada de Penrose. La transformada de radón se aplica ampliamente a la tomografía, la creación de una imagen a partir de los datos de proyección asociados con escaneos transversales de un objeto.

Cómo se beneficiará

(I) Conocimientos y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Transformada de radón

Capítulo 2: Transformada de Fourier

Capítulo 3: Bessel función

Capítulo 4: Teorema de convolución

Capítulo 5: Transformada discreta de Fourier

Capítulo 6: Series de Fourier

Capítulo 7: Integración por partes

Capítulo 8: Transformada fraccionaria de Fourier

Capítulo 9: Transformada de Mellin

Capítulo 10: Núcleo de Poisson

(II) Respondiendo a la Principales preguntas del público sobre la transformada de radón.

(III) Ejemplos del mundo real sobre el uso de la transformada de radón en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de Transformación de Radón.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 28 abr 2024

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Capítulo 1: Transformada de radón

Para cada función f definida en el plano, la transformada de Radón la asigna a una función Rf definida en el espacio (bidimensional) de líneas en el plano, donde el valor de Rf en cualquier línea dada es la integral de línea de f en esa línea. Johann Radon describió por primera vez la transformada en 1917 y también dio una fórmula para su inversa. La integral se evalúa sobre planos, como se ve en las fórmulas de transformación tridimensional de Radon (la integración sobre líneas se conoce como transformada de rayos X). Con el tiempo se extendió fuera del ámbito de la geometría integral y a los espacios euclidianos de dimensiones superiores. La transformada de Penrose es la versión sofisticada de la transformada de Radon. En tomografía, donde una imagen se reconstruye a partir de datos de proyección asociados con escaneos transversales de un objeto, la transformada de radón se usa comúnmente.

Si una función f representa una densidad desconocida, cuando se completa un escaneo tomográfico, los datos de proyección se representan mediante la transformada de Radon.

Dado que la transformada de radón puede invertirse, la densidad original se puede reconstruir a partir de los datos de proyección, lo que proporciona la base matemática para la reconstrucción tomográfica, de manera similar a la técnica de reconstrucción iterativa.

Dado que la transformada de radón de una fuente puntual no centroidal es una sinusoide, los datos resultantes a menudo se denominan sinograma. Como resultado, la transformada de radón de una colección de objetos pequeños se parece a un montón de ondas sinusoidales difuminadas de diferentes amplitudes y fases en un diagrama.

La transformada de radón tiene aplicaciones en sismología de reflexión, tomografía axial computarizada (TAC), microscopía electrónica de ensamblajes macromoleculares, incluidos virus y complejos proteicos, y la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas.

Sea {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)} una función que satisfaga las tres condiciones de regularidad:

{\displaystyle f({\textbf {x}})} es continua; la integral doble, {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} que cubre todo el suelo, converge; para cualquier punto arbitrario (x,y) en el plano sostiene que

{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}

Cambiando a una matriz de radón, Rf , es una función definida en el espacio de líneas rectas {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} por la integral de línea a lo largo de cada recta como:

{\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}

Concretamente, la parametrización de cualquier línea recta L con respecto a la longitud del arco z siempre se puede escribir:

{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}

donde s es la distancia de L desde el origen y \alpha es el ángulo que el vector normal hace con L el X eje -.

De ello se deduce que las cantidades {\displaystyle (\alpha ,s)} pueden considerarse como coordenadas en el espacio de todas las rectas de \mathbb {R} ^{2} , En estos ejes, la transformada de Radón se define como:

{\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}

De manera más general, en el n espacio euclidiano -dimensional \mathbb {R} ^{n} , la transformada de Radón de una función f que satisface las condiciones de regularidad es una función Rf en el espacio \Sigma _{n} de todos los hiperplanos en \mathbb {R} ^{n} .

En pocas palabras:

{\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}

cuando la integral se hace en términos de la medida de las hipersuperficies naturales, d\sigma (generalizando el {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } término a partir del 2 caso -dimensional).

Obsérvese que cualquier elemento de \Sigma _{n} se caracteriza como el lugar geométrico de la solución de una ecuación \mathbf {x} \cdot \alpha =s , donde {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} es un vector unitario y {\displaystyle s\in \mathbb {R} } .

Por lo tanto, la n transformada de radón -dimensional se puede reescribir como una función a través de {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} } :

{\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}

También es posible generalizar aún más la transformada de Radón integrando en su lugar k subespacios afines sobredimensionales de \mathbb {R} ^{n} .

Una aplicación común de este marco es la transformada de rayos X, y mediante la integración a lo largo de líneas curvas.

Existe una estrecha relación entre la transformada de Radón y la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una sola variable se define como:

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}

Para una función de un 2 vector \mathbf {x} =(x,y) , la transformada de Fourier en una dimensión:

{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}

Para mayor comodidad, denote {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} .

Como corolario, el teorema del slice de Fourier establece:

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}

Dónde \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).

Por lo tanto, la transformada de Fourier bidimensional de la función inicial a lo largo de una línea en el ángulo de inclinación \alpha es la única transformada de Fourier variable de la transformada de Radón (adquirida en el ángulo \alpha ) de esa función.

La transformada de radón y su inversa se pueden calcular utilizando esta información.

Este hallazgo es n-dimensionalmente generalizable:

{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}

Un adjunto a la transformada de radón es la transformada dual de radón.

Comenzando con una función g en el espacio \Sigma _{n} , la transformada dual de Radón es la función {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} en Rn definida por:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}

La integral aquí se toma sobre el conjunto de todos los hiperplanos incidentes con el punto {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} , y la medida d\mu es la medida de probabilidad única en el conjunto {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} invariante bajo rotaciones alrededor del punto \mathbf {x} .

En particular, la transformada dual de la transformada de Radón en dimensión dos viene dada por:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}

Dado que la transformación dual difumina o proyecta una función especificada en cada línea del plano sobre la línea para crear una imagen, a menudo se la denomina retroproyección en el campo del procesamiento de imágenes.

Denotemos \Delta el laplaciano en \mathbb {R} ^{n} definido por:

{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}

Se trata de un operador diferencial de segundo orden que es rotacionalmente invariante por definición.

En \Sigma _{n} , la segunda derivada radial Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s) también es rotacionalmente invariante.

Para estos dos operadores diferenciales, la transformada de radón y su dual son operadores acoplados en el sentido de que:

{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}

La representación traslacional de Lax y Philips se basa en la propiedad de entrelazamiento, que es útil para analizar soluciones a la ecuación de onda en un espacio superior a la tridimensional. Esto se utiliza como una técnica de división dimensional para simplificar problemas multidimensionales en unidimensionales.

El proceso de reconstrucción produce la imagen (o función f de la sección anterior) a partir de sus datos de proyección.

Problemas inversos como la reconstrucción.

Para la situación simple de dos dimensiones, la fórmula analítica más utilizada para recuperarse f de su transformada de radón es la fórmula de retroproyección filtrada o fórmula de inversión de radón:

{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }

donde h es tal que {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} .

El kernel de convolución h se conoce como filtro de rampa en cierta literatura.

Intuitivamente, la fórmula para la retroproyección filtrada, similar a cómo funciona la diferenciación, para la cual {\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)} , el filtro parece estar llevando a cabo una función análoga a una derivada.

A grandes rasgos, entonces, el filtro le da a todo una identidad más distinta.

La inversión del radón se afirma cuantitativamente que está mal planteada de la siguiente manera:

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}

donde {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}} es el adjunto previamente definido a la Transformada de Radon.

Por lo tanto, para {\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} , tenemos:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}

El exponencial complejo {\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} es, por lo tanto, una función propia de {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}} con valor propio {\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}} .

Por lo tanto, los valores singulares de {\mathcal {R}} son {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}} .

Dado que estos valores singulares tienden a {\displaystyle 0} , {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} no está acotado.

La reconstrucción iterativa es más intensiva desde el punto de vista computacional que el enfoque de retroproyección filtrada, lo que limita su uso. Sin embargo, en presencia de discontinuidad o ruido, el enfoque de retroproyección filtrada puede ser inviable debido a la mala posición de la inversión de radón. Muchos investigadores están interesados en los métodos de reconstrucción iterativa (como la varianza mínima asintótica dispersa iterativa) porque tienen el potencial de reducir los artefactos metálicos, el ruido y la dosis en la salida reconstruida.

La transformada de radón y sus fórmulas de inversión homólogas están disponibles y son explícitas y computacionalmente eficientes.

La transformada de radón en n dimensiones se puede invertir mediante la fórmula:

{\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}

donde {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} , y la potencia del laplaciano {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} se define como un operador pseudo-diferencial si es necesario por la transformada de Fourier:

{\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}

Computación basada en la lógica, el poder del laplaciano se conmuta con la transformada dual R^{*} para dar:

{\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}

donde {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}} es la transformada de Hilbert con respecto a la variable s.

Usando solo dos ejes, el operador {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}} aparece en el procesamiento de imágenes como un filtro de rampa.

Se puede probar directamente a partir del teorema del slice de Fourier y el cambio de