El Libro de Matemática: Volumen 2

Por Simone Malacrida

La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.
Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.
El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.
Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.
La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.

• Idioma: Español
• Editorial: Simone Malacrida
• Fecha de lanzamiento: 24 ene 2023
• ISBN: 9798215784259

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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El Libro de Matemática: Volumen 2

SIMONE MALACRIDA

La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.

Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.

El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.

Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.

La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.

Simone Malacrida (1977)

Ingeniero y escritor, ha trabajado en investigación, finanzas, política energética y plantas industriales.

ÍNDICE ANALÍTICO

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26 – FUNCIONES REALES MULTIVARIABLES

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27 – GEOMETRÍA DIFERENCIAL

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28 – CÁLCULO INTEGRAL MULTIVARIABLE

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29 – INTEGRALES DE SUPERFICIE Y VOLUMEN

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30 – TENSORES Y MATEMÁTICAS TENSORALES

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31 – ANÁLISIS COMPLEJO

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32 – ANÁLISIS FUNCIONAL

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33 - TRANSFORMADAS

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34 - DISTRIBUCIONES

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35 – ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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36 – ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

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26

FUNCIONES REALES MULTIVARIABLES

Introducción

Las funciones de variables reales con varias variables son una extensión de lo dicho para las funciones reales con una variable.

Casi todas las propiedades mencionadas para las funciones de una variable siguen siendo válidas (como la inyectividad, la sobreyectividad y la biyectividad), excepto la propiedad de ordenación que no es definible.

El dominio de una función multivariada viene dado por el producto cartesiano de los dominios calculados sobre las variables individuales.

Un conjunto de nivel, o curva de nivel, es el conjunto de puntos tales que:

El nivel establecido con c=0 se utiliza para analizar el signo de la función en el dominio.

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Operaciones

La definición topológica de límite es la misma que se da para funciones de una variable, la definición métrica cambia de la siguiente manera:

El límite existe si su valor no depende de la dirección en la que se calcula.

Lo mismo se aplica a la continuidad.

Se dice que una función es continua por separado con respecto a una de sus variables si es continua como función de la única variable, manteniendo las demás constantes.

La continuidad separada es una condición más débil que la continuidad global en todas las variables.

Sin embargo, para una función de varias variables, existen diferentes conceptos de derivada.

Llamamos derivada parcial a la derivada realizada sólo sobre una de las variables, definiendo siempre la derivada como el límite de una razón incremental.

Para distinguir la derivada parcial de la total se utiliza el símbolo .

Las derivadas parciales de orden superior devuelven el orden al exponente de ese símbolo.

Se dice que un punto es simple si las primeras derivadas parciales son continuas y no nulas, pero si una de las derivadas es cero o no existe, se dice que el punto es singular.

La diferenciabilidad parcial implica una continuidad separada.

Al extender el concepto de derivada parcial de un camino a lo largo de los ejes de coordenadas a cualquier camino, tenemos la derivada direccional.

Una vez que se define un vector unitario genérico, la derivada direccional a lo largo de ese vector viene dada por:

La derivada direccional indica la tasa de cambio de la función con respecto a la dirección dada.

La derivada de una función con varias variables que tiene en cuenta la dependencia mutua de las propias variables se define como derivada total.

Por ejemplo tenemos:

Sin embargo, la diferenciabilidad no es una condición suficiente para la continuidad.

En cambio, una condición suficiente viene dada por la diferenciabilidad.

Una función de varias variables es diferenciable en un punto de un conjunto abierto del espacio euclidiano n-dimensional R si existe un mapa lineal L tal que se cumple la siguiente relación:

El diferencial primo total viene dado por el siguiente producto:

Mientras que la derivada total viene dada por .

La función es diferenciable si es diferenciable en todos los puntos de su dominio.

El teorema de la diferencial total establece que una función es diferenciable en un punto si todas las derivadas parciales existen en una vecindad del punto y si estas derivadas parciales son continuas.

Si la aplicación también es continua, se dice que la función es continuamente diferenciable.

El diferencial primo total también se puede expresar como:

Los diferenciales totales de orden superior se pueden expresar de la siguiente manera, para una función de dos variables:

Llamamos derivadas mixtas a las derivadas de orden superior a la primera que prevén la derivación de variables diferentes entre sí.

Para una función de dos variables definida sobre un conjunto abierto, si admite segundas derivadas mixtas continuas, se cumple el teorema de Schwarz según el cual se puede invertir el orden de la derivación sin cambiar el resultado:

Si una función es diferenciable en un punto, entonces todas las derivadas parciales calculadas en ese punto existen y son continuas.

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Álgebra jacobiana, hessiana y nabla

El mapa lineal definido como la suma de las primeras derivadas parciales es una matriz m filas n columnas llamada matriz jacobiana y es exactamente el equivalente del mapa lineal L mencionado anteriormente:

Si m=1, la matriz jacobiana se reduce a un vector de n dimensiones llamado gradiente que indica la dirección de máxima pendiente de la gráfica de la función en un punto.

Si n=1 la función parametriza una curva y su diferencial es una función que indica la dirección de la recta tangente a la curva en el punto.

Si m=n=1 la condición de diferenciabilidad coincide con la de diferenciabilidad y la matriz jacobiana se reduce a un número, igual a la derivada de la función en ese punto.

Si m=n la matriz jacobiana es cuadrada y su determinante se conoce como jacobiano.

El teorema de la función inversa establece que una función continuamente diferenciable es invertible si y solo si su determinante jacobiano es distinto de cero.

Si una función de varias variables es diferenciable, entonces la derivada direccional existe y es igual al producto escalar entre el gradiente con respecto a la variable individual y el propio versor.

La derivada direccional toma por tanto un valor máximo cuando el gradiente y el vector unitario son paralelos y concordantes, un valor mínimo cuando son paralelos y discordantes, y un valor nulo cuando son perpendiculares.

Se dice que una diferencial es exacta si y sólo si es integrable, es decir, si puede expresarse como una función de la segunda clase de continuidad simplemente conexa (en otras palabras, debe cumplirse el teorema de Schwarz).

Definimos gradiente como la cantidad que, multiplicada por el producto escalar con cualquier vector, da como resultado la derivada direccional de la función con respecto al vector.

El gradiente es un campo vectorial y, en el caso de un sistema de referencia cartesiano, es la suma de los productos entre las primeras derivadas parciales y los versores:

Donde en el segundo miembro está la notación según el operador nabla.

Este operador diferencial se define como sigue:

Definimos la divergencia de un campo vectorial continuo y diferenciable como la función escalar dada por el producto escalar entre el operador nabla y el campo vectorial:

Definimos rotacional de un campo vectorial continuo y diferenciable, un campo vectorial dado por el producto vectorial entre el operador nabla y el propio campo:

Definimos laplaciano el cuadrado del operador nabla igual a:

Algunas propiedades del operador nabla son las siguientes:

Si existen todas las segundas derivadas parciales, definimos la matriz jacobiana del gradiente como hessiana de la función:

Si todas las segundas derivadas son continuas, se cumple el teorema de Schwarz y la matriz hessiana es simétrica.

Si el gradiente de la función es cero en un punto, ese punto se llama punto crítico.

Si en ese punto también el determinante de la matriz hessiana es cero, entonces el punto crítico se llama degenerado.

Para un punto crítico no degenerado, si la matriz hessiana es definida positiva, entonces la función tiene un mínimo local en ese punto, si en cambio es definida negativa, hay un máximo local.

Si la matriz hessiana tiene todos los valores propios distintos de cero, y asumen valores tanto positivos como negativos, ese punto se denomina punto de silla.

En todos los demás casos, por ejemplo para matrices hessianas semidefinidas positivas o negativas, no se puede decir nada sobre la presencia de puntos estacionarios.

Búsqueda de puntos estacionarios y método de multiplicadores de Lagrange

Una condición necesaria para la búsqueda de máximos y mínimos restringidos es el llamado método del multiplicador de Lagrange.

Para una función bidimensional, este método establece que la condición necesaria para tener un extremo restringido es que:

Los valores de son precisamente los multiplicadores de Lagrange ya que la función h se puede definir como la lagrangiana del sistema.

Un caso práctico de aplicación de este formalismo es el de la mecánica lagrangiana en la que las ecuaciones de movimiento se obtienen encontrando los puntos estacionarios de una integral, denominada acción.

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Funciones implícitas

Las funciones implícitas son funciones del tipo:

Para funciones bidimensionales se cumple el siguiente teorema de Dini.

Considerando una función continuamente diferenciable definida en un conjunto abierto y un conjunto no vacío en el que la función f(x,y) es cero, entonces existe un punto en este conjunto donde se cumple la siguiente relación:

Si este punto no es crítico, es decir, la desigualdad se cumple:

Entonces existe una vecindad de este punto tal que el conjunto dado por la intersección de esta vecindad y el conjunto en el que se encuentra el punto no crítico representa la gráfica de una función derivable.

Esto equivale a decir que existe una única función explícita del tipo y=y(x) o x=x(y) que relaciona las dos incógnitas.

Por tanto, este teorema proporciona una condición suficiente para la explicitación de las funciones implícitas.

En dimensiones múltiples, las variables de la función se pueden dividir en dos bloques, uno hasta el grado n y otro hasta el grado m, de la siguiente manera:

La matriz jacobiana calculada en el conjunto abierto n+m-dimensional se puede dividir en dos bloques, recordando la división de variables:

Suponiendo que X es invertible.

El teorema de la función implícita establece que existe una explicación única de la función f(x,y)=0. Esta función g(y)=x es continuamente diferenciable y la relación se cumple:

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Ejercicios

Ejercicio 1

Determine el dominio y las derivadas parciales de la siguiente función:

El dominio viene dado por el denominador distinto de cero, por lo que:

Las derivadas parciales son simplemente:

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Ejercicio 2

Determine el dominio y las derivadas parciales de la siguiente función:

El dominio está dado por el denominador distinto de cero y el argumento de la tangente distinto de 90° y sus múltiplos, por tanto:

Las derivadas parciales son simplemente:

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Ejercicio 3

Determine el dominio y las derivadas parciales de la siguiente función:

El dominio viene dado por el denominador distinto de cero y el argumento del logaritmo mayor que cero, así:

Las derivadas parciales son simplemente:

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Ejercicio 4

Determine el dominio y las derivadas parciales de la siguiente función:

El dominio viene dado por el denominador distinto de cero y la raíz mayor o igual a cero, así:

Las derivadas parciales son simplemente:

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Ejercicio 5

Determine los puntos mínimos y máximos locales y absolutos para la siguiente función de dos variables en el conjunto especificado:

La función es