Matemáticas Para Todos: Fractales: Matemáticas para Todos, #2

Por Heinrich Grothendieck

         Este texto introduce vagamente al concepto matemático de Fractal. No es posible enseñar la teoría de Fractales en el nivel medio superior, pues los contenidos rebasan por mucho, sin embargo, es posible que el estudiante adquiera una ligera noción que el permita de manera intuitiva, saber lo que es este hermoso objeto matemático.

         En los primeros dos capítulos se introduce la idea de fractal, primero en la naturaleza y luego como objeto geométrico, incluso se muestra como en las enfermedades también aparecen. Se da una primera aproximación usando la idea de autosimilitud, que se refiere a una cualidad geométrica de que una parte sea como el todo.

         En el tercer capítulo se introduce la idea de dimensión y se calcula la dimensión de algunos fractales clásicos, permitiendo dar una segunda aproximación a su definición. El capítulo 4 es una forma diferente de aproximarse a los fractales, usando el crecimiento de las plantas para entender el comportamiento fractal.

         En el capítulo 5 y 6 se introduce el lenguaje de funciones entre números complejos, el cual sirve para describir dos ejemplos importantísimos de fractales: el Conjunto de Julia y el de Mandelbrot.

• Idioma: Español
• Editorial: Heinrich Grothendieck
• Fecha de lanzamiento: 12 may 2023
• ISBN: 9798223030348

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Introducción

Este texto introduce vagamente al concepto matemático de Fractal. No es posible enseñar la teoría de Fractales en el nivel medio superior, pues los contenidos rebasan por mucho, sin embargo, es posible que el estudiante adquiera una ligera noción que el permita de manera intuitiva, saber lo que es este hermoso objeto matemático.

En los primeros dos capítulos se introduce la idea de fractal, primero en la naturaleza y luego como objeto geométrico, incluso se muestra como en las enfermedades también aparecen. Se da una primera aproximación usando la idea de autosimilitud, que se refiere a una cualidad geométrica de que una parte sea como el todo.

En el tercer capítulo se introduce la idea de dimensión y se calcula la dimensión de algunos fractales clásicos, permitiendo dar una segunda aproximación a su definición. El capítulo 4 es una forma diferente de aproximarse a los fractales, usando el crecimiento de las plantas para entender el comportamiento fractal.

En el capítulo 5 y 6 se introduce el lenguaje de funciones entre números complejos, el cual sirve para describir dos ejemplos importantísimos de fractales: el Conjunto de Julia y el de Mandelbrot.

Finalizamos el libro con una galería de fractales, para que el lector disfrute la belleza de tales objetos matemáticos.

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E. Grothendieck

Ciudad de México, enero de 2020.

Capítulo 1. Una nueva geometría

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Al menos hasta la geometría que nos enseñan en la educación básica no es suficiente para representar el medio que nos rodea. Por ejemplo, si quisiéramos representar una montaña, bien lo podríamos hacer así:

Pero es evidente, que la anterior representación abstracta, queda muy lejos de lo que en realidad es una montaña, como se ve en la siguiente imagen del Monte Éverest:

O qué tal un pájaro, también podríamos usar unas líneas para dibujarlo:

Pero de nuevo, esta representación queda muy, pero muy lejos de lo real:

Igual, un rayo podríamos representarlo algo así:

Pero la realidad queda de nuevo muy lejos:

Nuestras representaciones con líneas rectas pueden servir para representar con símbolos para expresarnos en abstracto. No hay que ser un genio para darse cuenta de que las montañas o un pájaro son estructuras más complejas y unas cuantas líneas no las representan en su totalidad.

Si bien la geometría nació como una herramienta que nos permita entender el espacio en donde vivimos, las líneas rectas, los círculos, los cuadrados y los triángulos, están muy alejados de la forma en que la naturaleza crea las cosas.

Un problema clásico de que la mayoría de los objetos son más complicados de lo que la geometría clásica nos permite, es el medir la longitud de una costa.

Considérese la siguiente imagen de una costa:

O bien, la siguiente costa:

Piense por un rato,