Funciones Matemáticas

Por Heinrich Grothendieck

La matemática moderna se construye sobre las teorías desarrolladas en el siglo pasado por las escuelas francesas, en particular, por la escuela formada por los matemáticos reunidos bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki. Entre tantas grandes ideas, hay una que es fundamental, y es la de función entre conjuntos. Este libro está dedicado a entender dicho concepto.

En el primer capítulo se estudia la definición de función entre conjuntos tomando ejemplos de diferentes áreas, no solo funciones entre conjuntos de números. Para el capítulo 2 se estudian propiedades particulares de las funciones, así como la construcción de nuevas funciones con la composición, la multiplicación, la división, la suma y la resta de funciones. Los capítulos 3 y 4 son para estudiar detalladamente las funciones exponenciales y las trigonométricas. Finalizamos el libro cono una breve introducción al concepto de límite de una función, que de paso nos lleva a conocer el concepto de infinito.

Debo aclarar que esta es una primera versión, que esta inacabada, pues además de llevar al lector a conocer el universo de las funciones entre conjuntos, se espera que, en un futuro, se puedan anexar capítulos que nos lleven a rincones muy interesantes de la matemática moderna, me refiero a tantas y tantas teorías que todo matemático conoce, pero que la mayoría de los jóvenes y la sociedad desconoce, como son la teoría de juegos, la teoría matemática de la música, la teoría de grupos, etcétera. 

• Idioma: Español
• Editorial: Heinrich Grothendieck
• Fecha de lanzamiento: 18 abr 2023
• ISBN: 9798223033073

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Introducción

La matemática moderna se construye sobre las teorías desarrolladas en el siglo pasado por las escuelas francesas, en particular, por la escuela formada por los matemáticos reunidos bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki. Entre tantas grandes ideas, hay una que es fundamental, y es la de función entre conjuntos. Este libro esta dedicado a entender dicho concepto.

Debo aclarar que esta es una primera versión, que esta inacabada, pues además de llevar al lector a conocer el universo de las funciones entre conjuntos, se espera que, en un futuro, se puedan anexar capítulos que nos lleven a rincones muy interesantes de la matemática moderna, me refiero a tantas y tantas teorías que todo matemático conoce, pero que la mayoría de los jóvenes y la sociedad desconoce.

Para la lectura de este libro, hay una seriación importante para los capítulos 1 y 2. Los siguientes dos capítulos se pueden leer en el orden que se quiera. Finalizamos el libro cono una breve introducción al concepto de límite de una función, que de pasa nos lleva a conocer el concepto de infinito, el cual quizá en el futuro podamos explicar con mayor detalle, ya sea en una nueva edición o en un segundo volumen.

Félix González

Heinrich Grothendieck

Abril 2023.

Para mi amada familia.

Funciones

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A estas alturas, el lector ya debe haber estudiado los conjuntos y su notación. Ahora estudiaremos como se relacionan los conjuntos.

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Actividad.

Comencemos con un problema de conteo. Partimos de un conjunto con elementos ¿Cuántos subconjuntos tiene?

Como en algunos casos, para poder resolver el problema general, hace falta ver casos particulares.

Partimos con el caso , es decir, un conjunto con un solo elemento. Es claro que sólo tiene dos subconjuntos: el vacío y él mismo.

Ahora pasemos al siguiente caso: . Ahora tenemos dos elementos, para que sea fácil (y haciendo abuso del lenguaje) escribiremos a este conjunto como

Si lo pensamos un poquito, se puede hacer para cualquier conjunto finito, pues dichos conjuntos siempre los podemos ‹‹contar››. Más adelante explicaremos con detalle lo anterior. Regresando al problema, en este caso, podemos listar los subconjuntos:

Recordemos que denota el conjunto formado por los subconjuntos de , también llamado el conjunto potencia de . Luego, en este caso el número de subconjuntos es 4.

Continuemos con el caso . En este caso podemos tomar el conjunto:

Entonces podemos listar todos sus subconjuntos:

Nótese que se han ordenado los subconjuntos por número de elementos, es decir, comenzamos con el conjunto vacío que no tiene elementos, luego listamos los subconjuntos con un elemento, luego los subconjuntos con dos elementos y finalmente el único subconjunto con 3 elementos, el conjunto .

Ahora bien, siempre se puede contar de diferentes formas, en este caso podemos hacerlo de la siguiente manera: listemos los subconjuntos que contienen al 1 y listemos a continuación los subconjuntos que no lo contienen:

Observemos que para cada subconjunto que contiene al 1 hay otro que no lo contiene, y, de hecho, los que no lo contienen corresponden a los subconjuntos de un conjunto con 2 elementos (ahorita tenemos uno de 3 elementos). Así que el número de subconjuntos de un conjunto con 3 elementos es el doble de los subconjuntos de un conjunto con 2 elementos.

Veamos otro ejemplo para terminar de entender el argumento anterior. Tomemos el caso , entonces partimos del conjunto:

De nuevo podemos listar sus subconjuntos, empezando por el que no tiene elementos, luego los que tienen un elemento, después los que tienen dos elementos, seguido de los que tienen tres elementos y por último el que tiene cuatro elementos:

Al igual que el caso anterior, podemos listar en una tabla, los subconjuntos que contienen al 1 de los que no:

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Vemos, nuevamente, que en la primera columna tenemos los subconjuntos que contiene al 1 y en la segunda tenemos a sus ‹‹complementos›› es decir lo que queda del conjunto total. Además, en la segunda columna quedan listados todos los subconjuntos del conjunto con 3 elementos:

Lo anterior, se cumplirá siempre, pues si partimos de que le conjunto X tiene elementos y tomo un conjunto que contenga al uno, entonces su complemento no lo contiene y esos conjuntos serán precisamente los subconjuntos de .

Por lo anterior, el número de subconjuntos de un conjunto de elementos será el doble del número de subconjuntos de un conjunto con elementos. De hecho, podemos decir más, si observamos la tabla:

Observación. En la actividad anterior, hemos establecido una relación, la cual se observa en la tabla anterior. Vemos que a cada número natural , le hemos asociado el número . Más aún, esta relación asocia al número de elementos de un conjunto finito con el número de subconjuntos que tiene.

Observación. En el ejemplo anterior, descubrimos que hay una relación entre el conjunto formado por los números naturales con el mismo conjunto de números naturales.

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Actividad. Personas.

Cuando se quiere estudiar un objeto en cualquier área, en general, se estudia el objeto solo, pero también en como interactúa con su medio ambiente, por ejemplo, si queremos estudiar a los pumas, no sólo tomamos un espécimen y lo aislamos, es necesario ver cómo se comporta con sus pares en sociedad. Lo mismo ocurre con los conjuntos.

En este sentido, para comprender mejor el conjunto formado por todas las personas, digamos que lo denotamos por , necesitamos comprender como se relaciona con él mismo y con otros conjuntos.

Por ejemplo, podemos relacionar a cada persona con su mamá, o a cada persona con su abuela. Estas serían relaciones entre el mismo conjunto.

Podemos relacionar el conjunto de personas con el conjunto de números, por ejemplo, a cada persona la podemos relacionar con su edad, o con su peso.

Hay un sinfín de relaciones que podemos encontrar partiendo del conjunto de personas y tomando algún otro conjunto, por ejemplo, podemos relacionar a cada persona con su animal favorito y tendríamos una relación con el conjunto de animales.

¿Podrá el lector encontrar al menos diez relacionas más, de este conjunto con algún otro? ■

Formalicemos la idea de relación entre conjuntos. Primero necesitamos un poco de notación para expresar las ideas de forma correcta:

Notación. En los que sigue denotaremos con letras mayúsculas a los conjuntos y con letras minúsculas a sus elementos. Escribimos , si es un elemento que pertenece al conjunto . Si es una propiedad que caracteriza al conjunto escribimos:

Se lee: es el conjunto de elementos tales que cumplen la propiedad .

Ejemplo. Sea el conjunto de números enteros y el conjunto de números pares, entonces podemos escribir:

(Que se lee, el conjunto es igual al conjunto de elementos en el conjunto tal que z es par), o bien:

Inclusive como:

■

Ejemplo. De la misma forma que el ejercicio anterior, sea el conjunto de números enteros y el conjunto de números impares, entonces podemos escribir:

(Que se lee, el conjunto es igual al conjunto de elementos en el conjunto tal que z es impar), o bien:

Inclusive como:

■

Ejemplo. Es muy importante la notación pues permite describir un conjunto a partir de una propiedad y no necesariamente a partir de todos sus elementos. Por ejemplo, si es el conjunto de personas vivas, podemos definir a toda su familia como:

Es decir, es el conjunto de personas que comparten el mismo ADN.  ■

Ahora vamos con otra importante definición en la teoría de conjuntos:

Definición. Sean y dos conjuntos. Definimos el producto cruz de y como el conjunto:

Es decir, el producto cruz es el conjunto de parejas ordenadas de elementos de y .

Ejemplo Sea y ,  es decir tomo dos conjuntos con dos elementos, entonces el producto cruz de estos conjuntos es tomar todas las parejas ordenadas de elementos del primer conjunto con los elementos del segundo conjunto, o en otras palabras, tomamos