Manual de Matemática Avanzada

Por Simone Malacrida

Este libro explora gran parte de las matemáticas avanzadas, empezando por el hito del análisis matemático y pasando por la geometría diferencial y fractal, la lógica matemática, la topología algebraica, la estadística avanzada y el análisis numérico.
Al mismo tiempo, se proporcionarán amplios conocimientos sobre ecuaciones diferenciales e integrales, análisis funcional y desarrollo avanzado de matrices y tensores.
Con el bagaje matemático expuesto, será posible comprender todos los mecanismos de descripción del conocimiento científico expresado a través de una amplia variedad de formalismos.

• Idioma: Español
• Editorial: Simone Malacrida
• Fecha de lanzamiento: 9 ene 2023
• ISBN: 9798215785508

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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Manual de Matemática Avanzada

SIMONE MALACRIDA

Simone Malacrida (1977)

Ingeniero y escritor, ha trabajado en investigación, finanzas, política energética y plantas industriales.

Este libro explora gran parte de las matemáticas avanzadas, empezando por el hito del análisis matemático y pasando por la geometría diferencial y fractal, la lógica matemática, la topología algebraica, la estadística avanzada y el análisis numérico.

Al mismo tiempo, se proporcionarán amplios conocimientos sobre ecuaciones diferenciales e integrales, análisis funcional y desarrollo avanzado de matrices y tensores.

Con el bagaje matemático expuesto, será posible comprender todos los mecanismos de descripción del conocimiento científico expresado a través de una amplia variedad de formalismos.

ÍNDICE ANALÍTICO

––––––––

INTRODUCCIÓN

I – TOPOLOGÍA GENERAL

II - LÍMITES Y CONTINUIDAD

III – CÁLCULO DIFERENCIAL

IV – CÁLCULO INTEGRAL

V – ESTUDIO DE FUNCIONES CON VARIABLES REALES

VI – GEOMETRÍA ANALÍTICA AVANZADA

VII – GEOMETRÍAS NO EUCLIDEAS

VIII – FUNCIONES REALES CON MÚLTIPLES VARIABLES

IX – FUNCIONES IMPLÍCITAS

X – MATEMÁTICAS VECTORIALES Y MATRICES AVANZADAS

XI – GEOMETRÍA DIFERENCIAL

XII – MATEMÁTICAS TENSORALES

XIII – CÁLCULO INTEGRAL PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

XIV – DESARROLLOS EN SERIE

XV – ANÁLISIS COMPLEJO

XVI – ANÁLISIS FUNCIONAL

XVII – TRANSFORMACIÓN

XVIII – DISTRIBUCIONES

XIX – ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

XX – ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

XXI – ECUACIONES INTEGRAL E INTEGRAL-DIFERENCIAL

XXII – ÁLGEBRA AVANZADA

XXIII – ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

XXIV – TEORÍA DE GALOIS

XXV – GEOMETRÍA COMBINATORIA

XXVI – MATEMÁTICAS DISCRETAS

XXVII – ESTADÍSTICAS AVANZADAS

XXVIII – PROCESOS ESTOCÁSTICOS

XXIX – ANÁLISIS NUMÉRICO

XXX – GEOMETRÍA FRACTAL

XXXI – TEORÍA DE LOS NÚMEROS

XXXII – LÓGICA MATEMÁTICA AVANZADA

APOSTILLA

INTRODUCCIÓN

En este libro proporcionaremos todos los fundamentos de las matemáticas avanzadas, incluyendo tanto la gran disciplina del análisis matemático como todos los campos dispares que han surgido en los últimos dos siglos, incluyendo, por mencionar solo algunos de ellos, la geometría diferencial y la fractal. geometrías no euclidianas, topología algebraica, análisis funcional, estadística, análisis numérico y lógica matemática.

Casi todas estas nociones se desarrollaron después de la introducción del formalismo del análisis matemático a finales del siglo XVII y, desde entonces, el camino de las matemáticas ha seguido siempre en paralelo entre este sector y todas las demás posibles subdisciplinas que poco a poco fueron apareciendo. lado a lado y han tomado caminos independientes.

Para comprender completamente lo que se presenta en el manual, son necesarios conocimientos y requisitos previos de matemáticas elementales, que no reportaremos aquí, como por ejemplo todo lo relacionado con trigonometría, geometría analítica, matemáticas matriciales, números complejos y las principales funciones elementales de real. variable.

Todo este conocimiento está presente en el Manual de matemáticas elementales publicado anteriormente, que debe considerarse como preparatorio de lo que se explicará a continuación y que representa una especie de primer volumen de todo el conocimiento matemático para el cual este manual es en cambio la finalización dada por la segunda parte.

Sobre la importancia de las matemáticas en la sociedad actual y sobre los diversos significados de las matemáticas como lenguaje artificial y universal que describe la Natura, véase, por tanto, la introducción del mencionado manual anterior.

Queda por entender por qué el análisis matemático ha introducido ese punto de inflexión entre las matemáticas elementales y las avanzadas.

Hay dos áreas que se complementan en este discurso.

Por un lado, sólo con la introducción del análisis matemático ha sido posible describir, con un formalismo adecuado, las ecuaciones que rigen los fenómenos naturales, ya sean físicos, químicos o de otra extracción, por ejemplo sociales o económicos. En otras palabras, el análisis matemático es la principal herramienta para construir aquellos mecanismos que nos permitan predecir resultados, diseñar tecnologías y pensar en nuevas mejoras a introducir.

Por otro lado, el análisis matemático posee, dentro de su propia naturaleza, una peculiaridad específica que lo distingue claramente de las matemáticas elementales anteriores. Esto será evidente desde el primer capítulo de este manual, pues ahora nos limitamos a decir cómo el análisis matemático prevé consideraciones locales, no exclusivamente puntuales. Sólo el paso de la puntualidad a la localidad permitirá construir un discurso de globalidad, yendo mucho más allá del cognoscible anterior.

Este manual no pretende presentar todas las facetas posibles de cada uno de los sectores de las matemáticas avanzadas o incluso exponer las demostraciones de los infinitos teoremas que salpican el análisis matemático y otras disciplinas relacionadas. En primer lugar no está en el ámbito del escrito y luego sería necesaria una cantidad exorbitante de páginas, lo que contrasta con el espíritu de un manual, por su carácter sintético y compendio.

En este manual se abordarán varias veces dos temas principales para subrayar su importancia mutua.

El primero está dado por la geometría avanzada, en todas sus formas, precisamente para indicar el camino paralelo entre las matemáticas y la geometría que ha estado presente desde los albores de la historia.

El segundo argumento es propio del salto que introduce el análisis matemático y está relacionado con la topología que, por razones de comprensión, presentaremos en varias partes del manual.

Al final del libro se presentarán temas de interés general que pueden prescindir del análisis matemático, como álgebra avanzada, estadística y análisis numérico.

El último capítulo estará dedicado a la lógica matemática avanzada. En una inspección más cercana, el primer capítulo del mencionado Manual de matemáticas elementales estaba dedicado a la lógica elemental. Cerrar este manual de matemáticas avanzadas, nuevamente con la lógica, no es en modo alguno una coincidencia: el desarrollo de las matemáticas es interno a las construcciones lógicas que dan la brújula de referencia a todo razonamiento humano.

Cada capítulo individual puede considerarse como un campo completo de las matemáticas en sí mismo, pero solo analizando todos los temas será posible tocar la inmensidad de las matemáticas y es por eso que el orden de los capítulos refleja una sucesión de conocimientos en continuo progreso.

I

TOPOLOGÍA GENERAL

El salto conceptual entre las matemáticas elementales y las avanzadas sólo fue evidente después de la introducción del análisis matemático. El hecho de que esta disciplina fuera local, y no puntual, condujo al estudio y desarrollo de la topología, entendida como el estudio de lugares y espacios no solo en un sentido geométrico, sino en un sentido mucho más amplio. La topología general da las bases de todos los sectores subyacentes, entre los que podemos incluir la topología algebraica, la diferencial, la avanzada, etc.

Definimos la topología como una colección T de subconjuntos de un conjunto general X para el cual se cumplen las siguientes tres propiedades:

1) El conjunto vacío y el conjunto general X pertenecen a la colección T.

2) La unión de una cantidad arbitraria de conjuntos pertenecientes a T pertenece a T.

3) La intersección de un número finito de conjuntos pertenecientes a T pertenece a T.

Un espacio topológico se define con un par (X, T) y los conjuntos que constituyen la colección T son conjuntos abiertos. Las topologías particulares pueden ser la trivial en la que T está formado por X y el conjunto vacío y la discreta en la que T coincide con el conjunto de partes de X. En la primera topología sólo el conjunto vacío y X son conjuntos abiertos, mientras que en el discreto todos los conjuntos son conjuntos abiertos. Dos topologías son comparables si una de ellas es un subconjunto de la otra, mientras que si una topología contiene a la otra, se dice que la primera es más fina que la segunda. El conjunto de todas las topologías está parcialmente ordenado: la topología trivial es la menos fina, la discreta es la más fina y todas las demás topologías posibles tienen una finura intermedia entre estas dos.

En un espacio topológico, un conjunto I que contiene un punto x perteneciente a X se llama vecindad (abierta) de x si existe un conjunto abierto A contenido en I que contiene x:

Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado si su complemento es abierto. Los conjuntos cerrados tienen tres propiedades:

1) La unión de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

2) La intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

3) El conjunto X y el conjunto vacío son cerrados.

Con estas propiedades se puede construir una topología basada en conjuntos cerrados. En general, un subconjunto puede ser cerrado, abierto, tanto abierto como cerrado, ni abierto ni cerrado.

Siendo S un subconjunto de un espacio topológico X, x es un punto de cierre de S si todo entorno (abierto o cerrado) de x contiene al menos un punto de S.

Dicho S subconjunto de un espacio topológico X, x es un punto de acumulación de S si cada vecindad (abierta o cerrada) de x contiene al menos un punto de S diferente del propio x.

Cada punto de acumulación es un punto de cierre mientras que viceversa no es válido. Los puntos de bloqueo que no son puntos de acumulación se denominan puntos aislados.

El conjunto de todos los puntos de cierre de un conjunto dado se llama cierre y se denota por cl(I). El cierre en un conjunto es un conjunto cerrado y contiene el conjunto inicial, además es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen el conjunto inicial y es el conjunto cerrado más pequeño que contiene el conjunto inicial. Estas definiciones reciben el nombre de cierre topológico.

Por lo tanto, un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su propio cierre.

Finalmente, el cierre de un subconjunto es un subconjunto del cierre del conjunto principal, y un conjunto cerrado contiene otro conjunto si y solo si este conjunto contiene el cierre del segundo.

Ni que decir tiene que la clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío, la del conjunto general X es el conjunto general X y en un espacio discreto cada conjunto es igual a su clausura.

Dicho S subconjunto de un espacio topológico X, x es un punto interior de S si existe una vecindad (abierta o cerrada) de x contenida en S.

El conjunto de todos los puntos interiores de un conjunto dado se llama interior y se denota por int(I). La parte interna es un subconjunto abierto del conjunto inicial, es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en ese conjunto y es el conjunto abierto más grande contenido en ese conjunto. Estas definiciones se conocen como el interior topológico.

Un conjunto es abierto si y solo coincide con su interior, además el interior satisface la relación de idempotencia.

Finalmente, el interior de un subconjunto es un subconjunto del interior del conjunto principal, y un conjunto abierto contiene otro conjunto si y solo si ese conjunto contiene el interior del segundo.

No hace falta decir que el interior del conjunto vacío es el conjunto vacío, el del conjunto general X es el conjunto general X y en un espacio discreto cada conjunto es igual a su interior.

Se dice que un subconjunto cerrado de un espacio topológico es raro si no tiene interior. Se dice que un espacio topológico es de primera categoría si es la unión de una familia contable de conjuntos cerrados raros, viceversa se dice que es de segunda categoría.

La parte interna y el cierre se pueden asociar con operadores que ponen estos dos conceptos en una relación dual.

La diferencia establecida entre el cierre y el interior se denomina frontera, un elemento perteneciente a la frontera se denomina punto fronterizo. La frontera es también la intersección entre la clausura y su complemento y se define como el conjunto de puntos tal que cada vecindad contiene al menos un punto perteneciente al conjunto y al menos un punto que no pertenece a este conjunto.

La frontera de un conjunto es cerrada. Un conjunto es cerrado si y solo si su frontera está contenida en el conjunto mientras que es abierto si y solo si su frontera es disjunta de él.

La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento, y la operación de cierre es simplemente la unión del conjunto con su frontera. El límite de un conjunto está vacío si y solo si el conjunto es tanto cerrado como abierto.

Un subconjunto de un espacio topológico es localmente cerrado si cumple al menos una de las siguientes condiciones: es abierto en su clausura o es abierto en cualquier espacio cerrado o es cerrado en cualquier espacio abierto o si para cada punto del subconjunto existe una vecindad abierta de este punto tal que la intersección entre la vecindad y el subconjunto es cerrada en la vecindad.

Se dice que un espacio topológico es compacto si pertenece a cualquier familia de subconjuntos abiertos del espacio cuya cobertura está dada por:

se puede extraer un subconjunto finito J en I tal que se cumpla la misma relación de cobertura. Esta es la llamada compacidad de cobertura y también puede definirse mediante el uso de conjuntos cerrados.

Se dice que un espacio topológico es compacto por secuencias si cada secuencia de puntos en el espacio admite una subsecuencia que converge en un punto del espacio.

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que todo subconjunto infinito de un espacio compacto admite al menos un punto de acumulación.

Un subconjunto cerrado de un compacto es un compacto; el producto de espacios compactos es un compacto como lo es el cociente.

El conjunto vacío y cualquier conjunto definido con la topología trivial son compactos. Un intervalo cerrado y acotado en el conjunto de números reales es compacto. Todo espacio topológico finito es también compacto, al igual que la esfera cerrada en RxR y el conjunto de Cantor (que trataremos extensamente en el capítulo dedicado a la geometría fractal, casi al final del libro). Los conjuntos infinitos con topología discreta no son compactos.

Se dice que es localmente compacto un espacio que, para cada punto, admite una base de vecindades formada por conjuntos compactos.

Se dice que un espacio topológico no vacío es conexo si el único par de subconjuntos disjuntos cuya unión es el propio espacio está dado por el par entre el espacio y el conjunto vacío. De manera equivalente, podemos afirmar que un espacio topológico es conexo si y solo si los únicos subconjuntos tanto abiertos como cerrados son el conjunto vacío y el espacio mismo.

Un componente conexo de un espacio se denomina subconjunto conexo que no está contenido en ningún otro subconjunto conexo. Se dice que un espacio cuyas componentes conexas son sus puntos está totalmente desconectado. El conjunto de Cantor y un conjunto con topología discreta son totalmente desconectados.

La unión de rectas en el plano es un espacio conexo si al menos dos rectas no son paralelas, mientras que en el conjunto de los números reales un subconjunto es conexo si y sólo si es un intervalo en el que cada extremo puede ser infinito. Además, el producto de los espacios conectados es un espacio conectado.

Se dice que un espacio topológico está conectado por arcos, o por caminos, si para cada par de puntos del espacio existe una función continua (para la definición de continuidad, véase el capítulo siguiente) que los conecta con igual valor a los extremos del camino Todo espacio conectado por caminos está conectado, pero no al revés.

Un espacio está conectado localmente si tiene un sistema de vecindarios conectados. Un espacio topológico conectado por caminos es simplemente conexo si el camino es contráctil a voluntad hasta la transformación (llamada homotopía) en el camino constante.

Definimos función continua entre espacios topológicos como una función para la cual la contraimagen de todo conjunto abierto está abierta.

Definimos el espacio de Hausdorff como un espacio topológico que satisface los siguientes axiomas:

1) Al menos una vecindad del punto que contiene al propio punto corresponde a cada punto en el espacio.

2) Dados dos barrios del mismo punto, la intersección de estos dos barrios es un barrio.

3) Si una vecindad de un punto es un subconjunto de un conjunto, entonces este conjunto también es una vecindad del punto.

4) Para cada vecindad de un punto existe otra vecindad de ese punto tal que la primera vecindad es la vecindad de cualquier punto perteneciente a la segunda vecindad.

5) Dados dos puntos distintos hay dos barrios disjuntos.

En particular, el último axioma se llama el axioma de separabilidad de Hausdorff de los espacios topológicos. Los axiomas de separabilidad de los espacios topológicos se pueden generalizar según una categoría de refinamientos sucesivos:

1) Espacios : para cada par de puntos hay un espacio abierto que contiene un punto y no el otro.

2) Espacios : para cada par de puntos hay dos espacios abiertos de manera que ambos contienen uno de los dos puntos pero no el otro.

3) Espacios : para cada par de puntos hay dos disjuntos abiertos que los contienen respectivamente. Estos son espacios de Hausdorff.

4) Espacios regulares: para cada punto y para cada disjunto cerrado existen dos disjuntos abiertos que los contienen respectivamente.

5) Espacios : si lo son y regulares.

6) Espacios completamente regulares: para todo punto disjunto y para todo conjunto cerrado existe una función continua con valores reales que es 0 en el conjunto cerrado y 1 en el punto.

7) Espacios : si son y completamente regulares.

8) Espacios normales: por cada par de disjuntos cerrados existen dos disjuntos abiertos que los contienen respectivamente.

9) Espacios : si lo son y normales.

Los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compacto son localmente compactos. Cualquier espacio compacto de Hausdorff es de segunda clase.

Recordemos que en los espacios topológicos se pueden ampliar nociones de matemáticas elementales como los conceptos de numerabilidad o cardinalidad, definiendo así conjuntos contables y conjuntos continuos.

Un subconjunto es denso en un espacio topológico si cada elemento del subconjunto pertenece al conjunto o es punto de acumulación. Las definiciones equivalentes son las siguientes: un subconjunto es denso si su cierre es el espacio topológico o si todo subconjunto abierto no vacío corta al subconjunto o si el complemento del subconjunto tiene un interior vacío o si cada punto del espacio es el límite de una secuencia contenida en el subconjunto.

Todo espacio topológico es denso en sí mismo; los números racionales e irracionales son densos en el conjunto de los números reales. Un espacio es separable si su subconjunto denso es numerable. Un conjunto nunca es denso si no es denso en ningún conjunto abierto.

Un espacio topológico es uniforme si tiene una familia de subconjuntos que satisfacen las siguientes propiedades:

1) Toda familia de subconjuntos contiene la diagonal del producto cartesiano X x X.

2) Toda familia de subconjuntos es cerrada bajo inclusión.

3) Toda familia de subconjuntos es cerrada bajo la intersección.

4) Si una vecindad pertenece a la topología entonces existe una familia de subconjuntos perteneciente a la topología tal que, si dos pares de puntos que tienen un punto común pertenecen a la familia de subconjuntos, entonces los dos puntos disjuntos pertenecen a la vecindad.

5) Si una vecindad pertenece a la topología entonces también la inversión de la vecindad en el producto cartesiano pertenece a la topología.

Un espacio métrico es un espacio topológico generado por una topología de una base de vecindades circulares. En los espacios métricos se define una métrica que asocia un número real no negativo a dos puntos del espacio para los que se cumplen las siguientes propiedades:

Se dice que una función es continua en un punto de un espacio métrico si, para cualquier elección de cantidades positivas arbitrarias, la distancia entre este punto y otro punto está acotada. Considerando las vecindades esféricas y el dominio de la función tenemos:

Un espacio métrico es siempre uniforme. En un espacio métrico también se cumple la distancia entre un punto y un conjunto, definida como:

Esta distancia es cero si y sólo si x pertenece a la clausura de I. La distancia entre dos puntos de dos conjuntos se puede definir de la misma manera. En cambio, dicta el exceso de un conjunto sobre el otro:

La distancia de Hausdorff es la siguiente:

Un espacio métrico está acotado si su cierre está acotado. En un espacio métrico x es un punto de cierre si por cada radio positivo existe un punto dentro del espacio tal que la distancia entre x y este punto es menor que el radio. En un espacio métrico x es un punto interior