Una introducción a la teoría de conjuntos

Por Carlos Augusto Di Prisco y Carlos Uzcátegui Aylwin

Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos se destaca por sus conexiones con otras ramas de las matemáticas, especialmente el análisis matemático. La teoría descriptiva de conjuntos puede definirse como la teoría de los conjuntos definibles de números reales. La teoría clásica se refiere a los subconjuntos de ℝ que se obtienen a partir de los conjuntos abiertos a través de las operaciones de complementación, uniones numerables y proyecciones. Esta fue la idea adoptada por Lebesgue al iniciar un estudio de las funciones reales

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad de los Andes
• Fecha de lanzamiento: 29 may 2023
• ISBN: 9789587749465

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CAPÍTULO 1

ESPACIOS POLACOS

1.1. E L ESPACIO DE B AIRE

Comenzaremos haciendo algunos comentarios referentes a la notación. denota al conjunto de los números naturales y al espacio de todas las funciones de en dotado de la topología producto que resulta de dar a la topología discreta. En general, si A y B son conjuntos, AB denota el conjunto de las funciones de B en A. Si f es una función de A en B, y C es un subconjunto de A, f|C denota la restricción de f a C. Dada una función f : A → B, si C ⊂ A, denotaremos por f[C] al conjunto {f(a) : a ∈ C}. La colección de subconjuntos de un conjunto A se denota, como es usual, por .

El conjunto de sucesiones finitas de números naturales lo denotaremos por . Indicamos por |s| la longitud de la sucesión s. Si s y t son sucesiones finitas y s extiende propiamente a t, escribiremos . Usamos para denotar la concatenación de s y t, esto es, la sucesión que comienza con los elementos de s y continua con los de t.

El espacio se llama el espacio de Baire y es el espacio más importante para todo lo que estudiaremos en este libro. Un espacio tipo Baire es un producto X1 × X2 × . . . × Xn donde cada factor es o . Diremos que el espacio es de tipo 0 si todos los factores son y en caso contrario decimos que es tipo 1.

Para cada definimos

Denotaremos con el segmento inicial de α de longitud n, esto es,

Por convención es la sucesión vacía. Con esta notación, tenemos que α ∈ Us si donde n = |s|. En este caso también escribiremos . Obsérvese también que

Los conjuntos de la forma Us constituyen una base numerable de la topología de . Nótese que esta base es numerable, ya que el conjunto de sucesiones finitas de es numerable.

Ejercicio 1.1. Demuestre que la colección de los conjuntos Us, con s una sucesión finita de naturales, forma una base para la topología producto en .

Teorema 1.2. Existen subconjuntos abiertos de .

Demostración. Considere las vecindades básicas U〈n〉 para . Esta es una colección dos a dos disjunta. Dado , sea VA = ∪n∈A U〈n〉. Como la función A → VA es inyectiva, se tiene que existen al menos conjuntos abiertos. Por otra parte, como tiene una base numerable y cada abierto es una unión de abiertos básicos, entonces, es claro que existen a lo sumo conjuntos abiertos.

El espacio de Baire no es compacto, por ejemplo es un cubrimiento que no admite subcubrimiento finito. Más adelante veremos que ni siquiera es σ−compacto (es decir, no es la unión de una colección numerable de compactos).

El espacio de Baire es cero dimensional, esto es, tiene una base de abiertos cerrados. Cada Us es abierto cerrado, ya que si n es la longitud de s,

.

Además es separable, puesto que el conjunto de las sucesiones eventualmente constantes es denso (dado que cada Us contiene sucesiones eventualmente constantes).

Con esta topología, la convergencia en es muy fácil de describir. Una sucesión converge a si y sólo si ∀n ∃m ∀k ≥ m αk(n) = α(n).

Teorema 1.3. Todo espacio tipo Baire de tipo 0 es homeomorfo a , y todo espacio de tipo 1 es homeomorfo a .

Demostración. Por inducción en el número de factores usando los siguientes hechos:

(1) es homeomorfo a .

(2) es homeomorfo a .

(3) es homeomorfo a .

(4) es homeomorfo a .

Para demostrar (1), definimos la función

Claramente la función f es biyectiva. Veamos que es bicontinua. La preimagen de un abierto básico Us es el abierto

, donde . Y la imagen de un abierto A × ∪ {Us : s ∈ W}, donde W es un conjunto de sucesiones finitas de números naturales, es

y, por tanto, un abierto.

(2) sigue de (1), ya que X × Y es homeomorfo a Y × X .

Para demostrar (3), definimos

Es fácil verificar que f es una biyección, veamos que también es bicontinua. Como todo abierto de es unión de vecindades básicas determinadas por sucesiones de longitud par, basta, para probar que f es continua, que la preimagen de una tal vecindad es un abierto. Dada Us con s de longitud par, f−1 Us = Ur × Ut donde r*t = s, es decir, r es la sucesión formada por los términos que ocupan lugar par en s y t la sucesión formada por los términos que ocupan lugar impar. También se tiene que f es abierta, ya que f[Ur × Ut] = Ur*t para r y t de la misma longitud.

Para probar (4) basta observar que cualquier biyección de sobre es un homeomorfismo.

Ejercicio 1.4. Demuestre que el producto de una cantidad numerable de copias del espacio de Baire es homeomorfo al espacio de Baire.

Sugerencia: muestre que es homeomorfo a y que este último espacio es homeomorfo a .

Ejercicio 1.5. Demuestre que todo abierto de N es la unión disjunta de una familia de vecindades básicas.

El espacio de Baire es metrizable por la métrica dada por

Para demostrar que esta métrica da la topología del espacio de Baire basta observar que para todo α, y se tiene que

Además, la métrica d es completa.

Ejercicio 1.6. Si a0, a1, a2, . . . es una sucesión de números naturales positivos, definamos

Se tiene que b1 < b3 < b5 < . . . < b4 < b2 < b0, y entonces es fácil probar que la sucesión converge a un número real a. Este número es la fracción continua determinada por la sucesión .

Demuestre que el espacio de Baire es homeomorfo al espacio de los irracionales del intervalo [0, 1]. (Considere la función que asigna a cada

, la fracción continua determinada por la sucesión a0 + 1, a1 + 1, a2 + 1, . . .).

Mas adelante en la sección Caracterización del espacio de Baire mostraremos que es homeomorfo a usando un argumento diferente.

El espacio de Cantor, , es el conjunto de las sucesiones de ceros y unos con la topología producto. Obviamente el espacio de Cantor está incluido en el espacio de Baire, y su topología está generada por los conjuntos Us, donde s es una sucesión finita de ceros y unos.

Ejercicio 1.7. Demuestre que el espacio de Cantor es compacto.

Ejercicio 1.8. Sea . Demuestre que

.

Definición 1.9. Un árbol sobre un conjunto X es un conjunto S de sucesiones finitas de elementos de X parcialmente ordenado por la relación de extensión de sucesiones y tal que si s ∈ S y n es menor que la longitud de s, s|n ∈ S. Una rama de S es una sucesión infinita tal que para todo n, α|n ∈ S. Dado un árbol S, denotaremos por [S] al conjunto de las ramas de S. Si s ∈ S denotamos por Ss al subárbol de S formado por todas las sucesiones en S comparables con s, es decir, todas las sucesiones t ∈ S para las que existe n tal que t = s|n o s = t|n.

Ejemplo 1.10. El árbol completo sobre X es el conjunto X<ω de todas las sucesiones finitas de elementos de X. Por ejemplo es el conjunto de sucesiones finitas de números naturales, y es el espacio de Baire .

El árbol binario {0, 1}<ω es el conjunto de sucesiones de ceros y unos, y [{0, 1}<ω] es el espacio de Cantor .

Todo subconjunto genera un árbol que denotaremos por SA:

Teorema 1.11. Un subconjunto es cerrado si, y sólo si, A = [T] para algún árbol . Más aún, A es cerrado si, y sólo si, A = [SA].

Demostración. Dado un árbol T, [T] es cerrado. En efecto, sea una sucesión de elementos de [T] tal que αi → α, es decir, para todo existe tal que α|n = αi|n para i ≥ i0. Entonces α|n ∈ T para todo n y, por tanto, α ∈ [T].

Para cualquier conjunto , se tiene que A ⊆ [SA], porque si α ∈ A, entonces α|n ∈ SA para todo n. Por otra parte, si A es cerrado y α ∈ [SA], entonces, para todo , α|n ∈ SA y, por tanto, existe un αi ∈ A, tal que α|n = αi|n. Tenemos entonces que αi → α, y como A es cerrado, α ∈ A.

Ejercicio 1.12. Demuestre que para todo , [SA] es la clausura de A.

Ejercicio 1.13. Un árbol T sobre se dice que está podado, si para todo s ∈ T existe t ∈ T con .

(1) Si S y T son árboles podados y [ S ] = [ T ], entonces S = T .

(2) Para todo , el árbol S A está podado .

(3) Si T es un árbol podado, entonces T = S A para algún .

Ejercicio 1.14. Sean A, . Muestre que

(1) [ S A ∪ S B ] = [ S A ] ∪ [ S B ].

(2) [ S A ∩ S B ] = [ S A ] ∩ [ S B ].

(3) S A ∪ B = S A ∪ [ S B .

(4) Dé un ejemplo que muestre que no es cierto que S A ∩ B = S A ∩ S B .

Teorema 1.15. Sea un conjunto cerrado. Entonces existe continua tal que f(α) = α para todo α ∈ C.

Demostración. Sea T = SC el árbol de C. Para cada s ∈ T escoja αs ∈ C tal que . Considere la siguiente función dada