Sobre el análisis

Por Axel Arturo Barceló Aspeitia

Después de muchos años de relativo abandono, el tema del análisis ha vuelto a ocupar la atención de los filósofos contemporáneos. Varios factores han contribuido a este regreso. Por un lado, historiadores de la filosofía como Michael Beaney 2002, 2003 y 2007 han renovado el interés por el estudio histórico de los diferentes métodos filosóficos conocidos con el nombre de "análisis".

• Idioma: Español
• Editorial: UNAM, Instituto de Investigaciones Filosóficas
• Fecha de lanzamiento: 7 mar 2023
• ISBN: 9786073058162

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INSTITUTO DE INVESTIGACIONES FILOSÓFICAS

Colección: FILOSOFÍA CONTEMPORÁNEA

AGRADECIMIENTOS

Como toda empresa de esta envergadura, este texto no existiría sin el apoyo de muchísimas personas e instituciones. Su origen se encuentra en una invitación a replicar un trabajo de Max Fernández de Castro —Tres métodos de análisis semántico— sobre la noción de análisis en las obras de Frege, Russell y Carnap, pero desde entonces lo he discutido con muchísimos colegas y lo he presentado en varios coloquios, talleres, etc. Aunque estoy seguro que esta lista estará incompleta, sí quiero agradecer explícitamente el apoyo de mis colegas del Instituto de Investigaciones Filosóficas de la UNAM y de otras instituciones con los que trabajé las ideas que resultaron en este libro: Salma Saab Hassen, María de los Ángeles Eraña, Luis Estrada, Eduardo García Ramírez, Mario Gómez-Torrente, José Edgar González Varela, Guillermo Hurtado Pérez, Sergio Martínez Muñoz, Ricardo Mena Gallardo, Raymundo Morado Estrada, Miguel Ángel Sebastián, Pedro Stepanenko, Alessandro Torza, Jonathan Schaffer, Max Fernández de Castro, Marco Panza, Mariela Aguilera, Rasmus Winther, Silvio Pinto, Sandeep Prasada, Michael Stevens, Graham Priest, Gary Ostertag, Michael Beaney, Jon Barwise, Thomas Bolander, Ray Cook, Jorge Morales Ladrón de Guevara, Laura Danón, Xavier de Donato, Carlos Álvarez, Stephen Yablo, David C. McCarty, Robert Stainton, Mathieu Le Corre, Timothy Williamson, Agustín Rayo, Nemira Gasiunas, Jake Quilty-Dunn, Lourdes Valdivia y Ned Block, entre otros que seguramente olvido. Agradezco también a los asistentes y organizadores de los muchos eventos donde expuse versiones preliminares del material que aquí aparece: el Seminario de Investigadores del Instituto de Investigaciones Filosóficas, el XVII Simposio Latinoamericano de Lógica Matemática, el 11o. Encuentro University of Texas-UNAM, el taller Philosophical Aspects of Modality, el 2nd International Colloquium on Colours and Numbers How Colour Matters for Philosophy, el IV Middle Wittgenstein Symposium, el Seminario Permanente del Área de Filosofía del Centro de Investigaciones María Saleme Burnichon de la Universidad Nacional de Córdoba, el Seminario de Epistemología Naturalizada y Ciencias Cognitivas de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos, el ciclo de conferencias Lógica Clara, el taller El Color y el Lenguaje del Color, el Taller Internacional sobre Relativismo, el Coloquio Internacional ¿Qué es el Análisis?, el coloquio Idealization, Abstraction, and Scientific Models, el XIV Congreso Internacional de Filosofía Identidad y Diferencia, el Primer Encuentro de Filosofía y Ciencias Cognitivas entre la Universidad de Costa Rica y la UNAM, el congreso Wittgenstein en Español, las VIII Jornadas Juan José Rivaud Morayta de Historia y Filosofía de las Matemáticas, las Reflexiones en Torno al II Encuentro Iberoamericano de Estudiantes de Filosofía Desafíos Actuales del Quehacer Filosófico, el II Encuentro Iberoamericano de Estudiantes de Filosofía Desafíos Actuales del Quehacer Filosófico, el coloquio La Herencia Filosófica de Bertrand Russell: A Cien Años de On Denoting, el coloquio Álgebra y Ciencia Analítica en los Siglos XVII y XVIII, Arche’s Philosophy Party, el XXVI Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, las Quintas Jornadas de Historia y Filosofía de las Matemáticas del Centro de Investigaciones Avanzadas y el Centro de Investigación en Matemáticas, el XXI Congreso Mundial de Filosofía La Filosofía frente a los Problemas Mundiales, el XX Simposio del Instituto de Investigaciones Filosóficas, el Tercer Coloquio Lenguaje, Mente y Mundo, el Segundo Taller de Lenguaje y Lógica del Instituto de Investigaciones Filosóficas, 16th. Annual Symposium LOGICA 2002, el taller Didáctica de la Lógica, el Homenaje a Raúl Orayen, el Encuentro Internacional de Computación 2001, la Sociedad Argentina de Análisis Filosófico, el Coloquio de Lógica y Argumentación del XI Congreso Nacional de Filosofía, el Seminario de Razonamiento Humano en la Interface de la Filosofía, la Computación y la Psicología Cognitiva, Indiana University Applied Logic Lunch, el diplomado Desarrollo de Habilidades del Pensamiento Lógico Aplicado, además del curso Abstracción, Análisis y Estructura y varias conferencias que dicté en la Universidad Autónoma de Zacatecas y la Universidad Nacional de Colombia, y un curso de licenciatura en el que revisamos una versión completa preliminar de este volumen.

También quiero agradecer el apoyo de varios proyectos colectivos de investigación: Representación y Cognición (PAPIIT IN 401611–3), Problemas Conceptuales de las Bases Biológicas de la Mente y del Lenguaje (PAPIIT IN 401707), Razonamiento, Lógica y Epistemología, Términos Numéricos e Implicatura Escalar (PAPIIT IN 401115), Epistemología y Metafísica de la Modalidad (PAPIIT IA 400412), Lenguaje y Cognición (Conacyt 083004), Mejoramiento de la Calidad de Aprendizaje en Lógica (PAPIME 403111), Los Problemas del Conocimiento y la Comprensión en Matemáticas (Conacyt 105949), Significado y Comunicación (PAPIIT IN 401909), ¿Qué es el Análisis? (PAPIIT IN 401106), El Desarrollo del Análisis, 1736–1905: La Reorganización del Análisis Real, la Aparición del Análisis Complejo y el Nacimiento de la Mecánica Analítica (ANUIES-ECOS 2004–2006), Filosofía de las Prácticas Científicas (Conacyt 41196H), Explicaciones Teleológicas y Evolucionistas de la Mente y del Lenguaje, (Conacyt 40582H), Lenguaje y Mundo: Estructuras Semánticas, Razonamiento Humano en la Interface de la Filosofía, la Computación y la Sicología Cognitiva, Gentzen’s Sequential Logic y Problemas Filosóficos de la Forma Lógica.

Por último, agradezco a mis amigos y familia, a mi novia y a todos los que me apoyaron emocionalmente para poder realizar este trabajo de investigación. En verdad, me considero muy afortunado.

INTRODUCCIÓN

1. Sobre el análisis

El análisis lógico de un concepto o proposición no puede reducirse a su mera descomposición, sino que es necesario tomar en cuenta sus relaciones lógicas con proposiciones o conceptos que no están contenidos en él. Ésta es la tesis central del presente libro. No puedo decir que es la que defiendo, ni siquiera que es la que propongo. Después de todo, la tesis es bastante vieja y es una de las pocas tesis sustanciales en la historia de la filosofía occidental que, pese a ser poco intuitiva y revolucionaria en su tiempo, ha dejado de ser muy controversial. Es consecuencia directa de la doctrina de las relaciones externas propuesta y defendida por Bertrand Russell a principios del siglo pasado. No es sólo una de las consecuencias de esta doctrina, sino su consecuencia fundamental, la que motivó a Russell a criticar la doctrina entonces reinante de las relaciones internas. Por lo tanto, sería inútil ofrecer una nueva defensa de la tesis. A lo más, lo que propongo en este libro es una revaluación de lo que he llamado la concepción externista del análisis. Esta concepción se basa en la tesis afirmada al principio de este párrafo, según la cual la estructura lógica y conceptual que revela el análisis no es interna al objeto de análisis, sino que incluye de manera esencial relaciones externas con entidades similares.

Tanto en el habla común como en las jergas científicas y filosóficas, las palabras análisis y estructura casi se han convertido en términos vacuos. A cualquier estudio mínimamente cuidadoso, metódico o detallado, se le llama análisis, y a cualquier conjunto de rasgos importantes de un objeto o fenómeno se le llama su estructura. Analizar se ha vuelto sinónimo de teorizar y estructura ha reemplazado a la caduca esencia. Si vamos al diccionario, el resultado tampoco es alentador. Metafóricamente, el análisis se caracteriza como una reducción o descomposición de lo complejo en sus partes simples, caracterización extraña si se toma en cuenta que lo que comúnmente se analiza en filosofía no tiene partes en un sentido literal. Por ejemplo: ¿en qué sentido puede decirse que la justificación es parte del conocimiento? ¿Estar justificado es conocer parcialmente? Dada la heterogeneidad del análisis contemporáneo, ¿tiene sentido seguir manteniendo la metáfora de la descomposición como caracterización del análisis? ¿O debemos conformarnos con la concepción vacua imperante?

Siglos de metafilosofía han tratado de sustituir esta metáfora por una teoría sustancial del análisis: explicando, por ejemplo, en qué sentido un concepto puede estar contenido y ser parte de otro, cómo distinguimos un concepto complejo de uno simple, etc. Durante siglos se ha buscado ofrecer una caracterización sustancial del análisis que vaya más allá de la caracterización metafórica en términos de las partes y el todo y que, al mismo tiempo, explique por qué no cualquier estudio puede llamarse análisis. El objetivo de este libro es precisamente ir más allá de esta metáfora y ofrecer una revisión teórica de las herramientas de análisis necesarias para dar cuenta de la estructura lógica de nuestros conceptos y proposiciones. Para ello, contaré un poco la historia del análisis filosófico, presentando algunos de los argumentos y consideraciones fundamentales que dieron forma a la concepción moderna del análisis, además de proponer algunos nuevos;¹ por último, propondré mi propia concepción del análisis y la aplicaré en el diagnóstico y resolución de diversos problemas provenientes de varias áreas de la filosofía.

Para narrar la historia del análisis es necesario contar también la de la estructura. Ambos conceptos están íntimamente ligados. El objetivo del análisis es revelar la estructura de las cosas. Cualquier cambio en nuestra concepción del análisis implica un cambio en nuestra concepción de la estructura y viceversa: están asociadas mediante la misma metáfora de las partes y el todo. La estructura es el orden y distribución de aquellas en éste. Determina de qué partes está constituido un ente complejo y cómo se combinan para formarlo.

La misma metáfora de las partes y el todo vincula el análisis y la estructura con el tercer concepto central de este libro: la abstracción. A grandes rasgos, abstraer es representarse de una manera más simple y general las cosas, sin todo el detalle de una representación completa. Por lo tanto, qué entendamos por abstracción dependerá de manera directa de qué entendamos por simple y complejo, y ello a su vez dependerá de cómo entendamos la metáfora de las partes y el todo que subyace en la dualidad simple (sin partes) y compleja (con partes). Cuando se nos pide considerar algo en abstracto, se nos solicita ignorar o eliminar ciertos aspectos de las cosas. Al abstraer, necesitamos separar los aspectos relevantes de los que no lo son. La abstracción, por lo tanto, está íntimamente ligada al análisis: en ambos casos, hay una descomposición de las partes de un todo.²

Después de muchos años de relativo abandono, el tema del análisis ha vuelto a ocupar la atención de los filósofos contemporáneos. Varios factores han contribuido a este regreso. Por un lado, historiadores de la filosofía como Michael Beaney 2002, 2003 y 2007 han renovado el interés por el estudio histórico de los diferentes métodos filosóficos conocidos con el nombre de análisis. En este punto, Marco Panza 2006 y (manuscrito), al igual que Beaney 2002, 2003 y Barceló 2004 identificamos tres importantes revoluciones en el desarrollo histórico de la noción de análisis en filosofía y matemáticas: (1) su surgimiento como método geométrico en la Grecia clásica; (2) su algebrización a inicios de la era moderna y, por último, (3) su expansión entre los siglos XIX y XX.³ Como resultado de esta larga historia, el análisis ha recogido múltiples connotaciones y adoptado diferentes formas y modalidades; por ejemplo, Beaney 2002, 2003 ha distinguido cinco modalidades de análisis. Si bien anteriormente he estudiado (Barceló 2004) lo que Beaney llama el aspecto transformacional del análisis, en este volumen decidí concentrarme en lo que él nombra la dimensión descomposicional del mismo método. En otras palabras, me interesa la manera como la metáfora de las partes y el todo ha condicionado la forma en que pensamos y practicamos el análisis.

Más allá de su dimensión histórica, Jackson 1998 y el resto de seguidores del Plan de Canberra han tratado de revivir el análisis conceptual como método filosófico viable. Además de Jackson, neorracionalistas como Peacocke 2004, Boghossian 1996 y otros han tratado de rescatar alguna versión de la analiticidad para defender el conocimiento a priori de los embates del empirismo radical, sin renunciar a algún tipo de naturalismo. En consecuencia, por primera vez desde hace décadas usar y recomendar el uso del análisis filosófico ha dejado de ser herejía. De acuerdo con tal panorama, no he creído necesario incluir en este volumen una defensa detallada de la viabilidad del análisis como método filosófico, aunque sí he añadido al final del segundo capítulo un esbozo de lo que considero la diferencia fundamental entre los defensores del análisis filosófico y sus antagonistas, tanto naturalistas como antipositivistas.

2. ¿Es éste un texto de metafísica u ontología?

La respuesta a esta pregunta no es sencilla. Después de todo, los textos que dieron origen al presente volumen sirvieron previamente como apuntes de clase para el curso Temas Contemporáneos de Metafísica y Ontología que impartí en la carrera de Filosofía de la UNAM en 2006. Estos temas me parecieron adecuados para un curso de ese tipo. Sin embargo, la falta de un criterio claro de demarcación entre ambas disciplinas filosóficas hace muy difícil ofrecer una respuesta definitiva a la pregunta. Por un lado, mis objetivos distan mucho, en varios sentidos, de los de quienes se han acercado a los temas de lo abstracto y su estructura desde un punto de vista explícitamente metafísico y/u ontológico.

En primer lugar, no uso abstracto en el sentido preponderante en metafísica. Para mí, lo abstracto no es aquello que no ocurre en el tiempo ni tiene locación espacial. Tampoco concibo lo abstracto como lo que no tiene causas ni efectos. Me parece que esta manera de entenderlo ha hecho mucho daño a la filosofía contemporánea (en especial a la filosofía de las matemáticas).⁴ Además, tampoco capta lo que tienen de especial objetos tan suigéneris como los números o las proposiciones. Además de Frege 1884, y excepto por Braithwaite 1926 y Strawson 1959 (pp. 160–161), pocos filósofos han defendido en forma explícita la idea de que existe un tipo de objetos que se caracterizan por no ser causales ni espacio-temporales. Además de las fuertes críticas que nominalistas —materialistas, fisicalistas y naturalistas— han lanzado en contra de su existencia, filósofos contemporáneos como Burgess y Rosen 1997 y MacBride 1998, 2001 han cuestionado también su inteligibilidad y utilidad. Por éstas y otras razones expuestas a lo largo del volumen, me parece que es hora de deshacernos, de una vez por todas, de este nefasto resquicio del logicismo y recuperar la concepción empirista estándar de lo abstracto ya mencionada.

Un segundo punto en el que mi análisis diverge de manera sustancial de las discusiones metafísicas contemporáneas sobre lo abstracto es que no me ocuparé en lo absoluto de cuestiones de existencia. Según algunos, esta confesión debe ser suficiente para dejar claro que esta investigación no es metafísica. Por ejemplo, Stephen Laurence y Cynthia Macdonald, en la introducción a su volumen sobre metafísica contemporánea de 1998, caracterizan el objetivo de la metafísica como "determinar lo que se requiere, qué condiciones han de ser satisfechas, para que algo —lo que sea— exista —y añaden que— una de las preguntas centrales de la metafísica es la de qué tipo de cosas o entidades hay" (Laurence y Macdonald 1988, p. 1; traducción y cursivas mías). Tal parece que, si hubiera que definir el objetivo de la metafísica, no sería sino el estudio de la existencia. Así definido, el presente no es un libro de metafísica.

Entre los diferentes tipos de entidades que se han postulado en la filosofía, pocas han recibido tanta atención en la metafísica contemporánea como los entes abstractos. Gran parte de lo que se escribe sobre lo abstracto en filosofía gira hoy en día alrededor de la pregunta de si existen o no los objetos abstractos putativos. El debate entre los que creen que existen —los llamados platonistas (Brown 2008, Katz 1998, Shapiro 1997 et al.)— y los que creen que no —los autodenominados nominalistas (Field 1980, Azzouni 1994, Hellman 1989, 2001, et al.)— ocupa ya cientos de páginas. Nada por el estilo guía esta investigación.

En tercer lugar, para los propósitos de esta investigación, lo abstracto no es una categoría ontológica. Comparto con Puntel 2002 la tesis de que la función filosófica fundamental de las categorías es ayudarnos a estructurar la manera en que pensamos y hablamos —es decir, nos representamos— el mundo. También concordamos en que dicha tarea puede abordarse de dos maneras sustancialmente distintas, una ontológica y otra que Lowe 2002 llama kantiana o semántica:⁵

Si uno concibe la cláusula acerca del mundo como si tuviera prioridad en el orden del entendimiento y la explicación, esto es, como si fuera la cláusula que determina cómo la otra cláusula nuestras maneras de pensar y hablar debe interpretarse, entonces las categorías tendrán un estatus ontológico, ya que ellas indicarían diferentes tipos de entidades en el mundo [. . .] Pero si entendemos nuestras maneras de pensar y hablar acerca del mundo en el orden inverso y concebimos la cláusula nuestras maneras de pensar y hablar como básica, las categorías se entenderán como si [trataran de] nosotros y nuestras maneras más generales de usar el lenguaje. (Puntel 2002, p. 110; traducción mía)

Siguiendo la distinción de Puntel, no busco elucidar lo abstracto como una categoría ontológica; es decir, como un tipo de entidad en el mundo, sino como fenómeno lógico-semántico, es decir, no como una manera de ser, sino como una manera de representar. En este sentido, nada en esta investigación busca responder a la pregunta ontológica de qué tipo de cosas hay.

En metafísica contemporánea es común hacer una distinción similar entre propiedades y conceptos (Bealer 1998). Las primeras son una categoría ontológica en el sentido de Puntel. Las propiedades son un tipo putativo de entidades en el mundo. En cambio, los conceptos son un tipo de representaciones (justo las que llamo aquí abstractas). Por ello, a lo largo del libro, en vez de hablar de representaciones abstractas en general, suelo usar el término más familiar conceptos.⁶ Así como Puntel piensa que ambos acercamientos (el ontológico y el semántico) no son sino dos caras de la misma moneda (Puntel 2002, p. 111; traducción mía), Bealer sostiene que "cualquier teoría adecuada de los universales debe tratar tanto de propiedades como de conceptos (Bealer 1998, p. 141; traducción mía). Por lo tanto, no es sorprendente que mucho de lo que diga aquí haga eco de lo mucho que se ha escrito sobre estas categorías en metafísica y ontología.

Por último, las teorías sobre la estructura de lo abstracto que reviso a lo largo de este volumen no deben de entenderse como teorías metafísicas en competencia (aunque así hayan surgido históricamente), sino como diferentes modelos explicativos de la estructura de diversos tipos de representaciones. En muchos casos, al análisis filosófico no lo guían cuestiones metafísicas, sino de muchos otros tipos. Diferentes representaciones, inmersas en diferentes prácticas, requerirán diferentes análisis y su estructura deberá concebirse de diferentes maneras (Barceló 2011). En este sentido, mi posición se acerca mucho al pluralismo representacional de pensadores como Barwise 1993. Como él, reconozco que no todo análisis busca descubrir la estructura fundamental del mundo o de nuestras representaciones. Ésta es otra razón por la cual esta investigación no puede enmarcarse dentro de la tradición metafísica contemporánea. Tanto Crane y Farkas 2004, como Lowe 2002 y Puntel 2002 —por mencionar sólo tres introducciones recientes a la metafísica— señalan que toda investigación metafísica tiene como objetivo descubrir la estructura fundamental de la realidad (o de nuestra manera de pensar y hablar de ella). Una vez que abandonamos la búsqueda por la estructura fundamental de lo abstracto, hemos dejado de hacer metafísica.

Mencioné que el análisis, tal como lo concibo aquí, es un instrumento para el estudio de nuestras representaciones abstractas, y que por eso los fines de mi trabajo son más lógicosemánticos que ontológico-metafísicos. De ello surge la pregunta sobre qué tipo de representaciones pretende abarcar mi estudio del análisis. ¿Se ocupa del análisis de los conceptos de nuestro lenguaje y pensamiento de sentido común? ¿O del lenguaje y pensamiento científicos (incluyo aquí a la lógica formal)?⁷ Después de todo, no sólo no es obvio que el análisis de los conceptos de sentido común y los técnico-científicos puede hacerse de la misma manera, sino que una de las discusiones más importantes en la filosofía analítica del siglo XX fue precisamente entre aquellos que pensaban que la filosofía debería dedicarse al análisis de conceptos del primer tipo —los así llamados filósofos del lenguaje ordinario— y los que pensaban que ésta debería ceñirse más bien al análisis de conceptos científicos. La pregunta es muy pertinente, ya que señala una tensión que permea todo el libro, aunque nunca de manera explícita. Un lector atento se dará fácilmente cuenta de que en la primera parte del libro (dedicada a lo que llamaré la concepción clásica del análisis) abundan ejemplos de lógica y ciencia, mientras que en la segunda parte (dedicada a presentar críticas y concepciones alternativas a dicha concepción clásica) abundan más bien ejemplos del lenguaje ordinario. Esto no es accidental, y se debe a que la filosofía del lenguaje ordinario fue uno de los movimientos filosóficos que más contribuyeron a mostrar las limitaciones de la concepción clásica del análisis. En otras palabras, si bien es cierto que la concepción clásica podía dar cuenta de la estructura lógica de muchas de nuestras representaciones científicas, era claro que no podía explicar bien algunos fenómenos endémicos de nuestro uso ordinario de representaciones clásicas —como el de la vaguedad, al que dedico una parte importante del último capítulo—. Sin embargo, no quiero dar la impresión de que las representaciones científicas no constituyen también un problema para la concepción clásica. Como quedará claro en la segunda parte del libro, esta concepción clásica tampoco puede dar cuenta de muchas representaciones científicas muy importantes, como las de medida y, en general, todas las que forman sistemas ordenados (como, por ejemplo, los sistemas numéricos).

En resumen, mi investigación difiere de los enfoques metafísicos y ontológicos tradicionales en que (i) rechazo la idea de que lo abstracto sea contrario a lo causal; (ii) no concibo lo abstracto como una categoría ontológica, es decir, como un tipo de entes en el mundo y, por lo tanto, (iii) ignoro la cuestión de si dichos tipos de objetos existen o no realmente. Por último, (iv) tampoco supongo que la estructura de lo abstracto que me interesa sea fundamental en ningún sentido.

3. Sintaxis filosófica

Por lo tanto, esta investigación puede enmarcarse mejor dentro de la sintaxis lógica en la medida en que su objetivo es estudiar la estructura lógica de lo que llamaré representaciones abstractas.⁸ Desafortunadamente, el término sintaxis lógica ha caído en un desuso (y descrédito) relativo en filosofía. Sin embargo, el concepto le resultará familiar a muchos: la estructura o sintaxis lógica de un concepto de la que hablo está determinada por el conjunto de sus relaciones lógicas o analíticas (uso los dos términos de manera sinónima; espero que a lo largo del libro quede claro por qué) con otros conceptos en el mismo lenguaje o sistema de conceptos. De esta manera, el presente trabajo se ubica en el estudio de los fundamentos de la lógica en el sentido amplio en el que la entienden filósofos como Johan van Benthem 2006, Barwise y Seligman 1997 y Etchemendy 2008, es decir, una lógica filosófica y formal (pero no necesariamente formalizada en un lenguaje matemático).

Esta concepción amplia de la estructura o sintaxis de las representaciones no distingue entre forma lógica y estructura semántica. Por lo común, la lógica y la semántica se diferencian entre sí porque la primera trata con inferencias en algún sentido más fundamentales que las segundas (y la sintaxis o forma lógica aparece, por lo tanto, como una noción de estructura más fundamental que la semántica) (Gómez-Torrente 2000). Sin embargo, una vez que adoptamos una perspectiva más general de la forma lógica y del significado de las representaciones, dicha distinción se vuelve innecesaria. Si ignoramos la pregunta de qué inferencias son las más fundamentales, la diferencia pierde sentido y podemos hablar de manera indistinta de lógica o semántica. Esta perspectiva —adoptada explícitamente por autores como Etchemendy 1999 y van Benthem 2006— es la que adopto en mis investigaciones.

Por supuesto, se podría decir mucho más sobre conceptos y proposiciones. Un elevado número de las preguntas sobre conceptos y proposiciones que más han intrigado a filósofos y psicólogos no atañe a su sintaxis filosófica. La sintaxis filosófica no nos puede decir, por ejemplo, qué distingue a una proposición verdadera de una falsa y por ello no abordo dicho problema en este libro. En general, tengo muy poco que decir sobre la relación de nuestras representaciones con la realidad, excepto en lo referente a la noción de extensión en el primer capítulo. Pero aun ahí señalo que las entidades que componen la extensión de nuestros conceptos no son todas reales, sino que la mayoría son meramente posibles (así como de los mundos posibles que componen la extensión de nuestras proposiciones, sólo uno suele considerarse el mundo real). Otro debate importante sobre los conceptos del que tengo poco que decir es el del proceso psicológico de aplicación de nuestros conceptos a la realidad —también conocido como el problema de la categorización (cfr. Laurence y Margolis 1999, pp. 9–11)—, aun cuando la teoría de la estructura que desarrollaré en el capítulo cinco está motivada y refleja desarrollos recientes llevados a cabo por Sandeep Prasada y sus colaboradores sobre este tema. También quedará casi por completo fuera de los alcances de este trabajo el tema de la adquisición de los conceptos. En este caso también sólo haré mención de los aspectos del problema que versen directamente sobre el tema central del libro, es decir, su estructura lógica.

4. ¿Es éste un texto de filosofía o historia de la ciencia o de las matemáticas?

Muchos de los temas que trato en este estudio han empezado a ocupar un lugar central en la filosofía de la ciencia y está claro para cualquiera que conozca la discusión actual de esos temas que mi trabajo les debe mucho. Además, desde el planteamiento de este proyecto, uno de mis objetivos fue contribuir a la discusión actual sobre el papel de la abstracción en la ciencia; sin embargo, para lograrlo era necesario hacer algunas precisiones acerca de cómo entiendo la abstracción.

Por lo menos desde Platón se sabe que sustantivos como adición, abstracción o representación⁹ esconden tres sentidos que es importante distinguir: (i) el de la acción, proceso o práctica (de añadir, abstraer o representar); (ii) también se usan las mismas palabras para hablar de los resultados de dichas acciones y, finalmente, (iii) se usan en un tercer sentido normativo, que por lo común se identifica con una regla, concepto o universal que, se supone, determina la corrección de dichas prácticas o acciones.

La diferencia entre estos tres sentidos será más nítida si consideramos un ejemplo sencillo: la suma o adición aritmética de naturales. Por un lado, podemos hablar de la suma como aquello que los alumnos de primaria aprenden a hacer en sus clases de matemáticas, aquello que tienen que realizar para pasar sus exámenes. Ésta es la suma como práctica. Asimismo, podemos hablar de las sumas (en plural) particulares que el alumno realiza. Cada vez que el alumno suma dos números (en el primer sentido), realiza una suma (en el segundo sentido). En este segundo sentido, la suma es el resultado del acto de sumar. Cada acto de sumar resulta en una suma. Aprender a sumar implica, por lo tanto, adquirir la capacidad de realizar un número potencialmente infinito de sumas. Sin embargo, aprender a sumar comúnmente se caracteriza también por la adquisición de un concepto, regla o universal de la suma.

La suma es una práctica normativa; es decir, aprender a sumar no es sino aprender a sumar correctamente. Hay maneras correctas e incorrectas de sumar; o sea, hay resultados correctos e incorrectos, pero por lo común sólo a los primeros se les llama sumas genuinas (cuando alguien comete un error, solemos decir que sumó mal, pero también que "no le salió la suma", o que lo que hizo no fue en realidad una suma, sino otra cosa; que trató de sumar, pero no lo logró). El carácter normativo de la suma se explica habitualmente en términos de una tercera entidad, a la cual también llamamos la suma. Por ejemplo, en este momento, puedo realizar la suma de 1 245 más 378. Como sé sumar, después de aplicar