Cálculo Diferencial e Integral

Por Heinrich Grothendieck

Una de las mayores cualidades que tiene el concepto de límite de funciones, es que nos permite hacer procesos infinitos de una forma rápida. En particular, el llamado cálculo diferencial e integral viene precisamente de hacer dos tipos de procesos infinitos y calcularlos con ayuda de este concepto.

En este sentido, el primer capítulo del libro esta enfocado en estudiar la idea de límite de una función y de formas de calcular ciertos tipos de límites importantes, así como sus principales propiedades.

En el segundo capítulo, resolvemos el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto de una gráfica de una función. Vemos que es imposible hacerlo directamente, pero podemos dar una serie de aproximaciones infinitas que en el límite nos darán el valor buscado. Este proceso es lo que llamamos derivada de una función en un punto dado. Luego vemos las propiedades de la derivada de una función y desarrollamos técnicas más eficientes para encontrarla.

El tercer capítulo está dedicado a estudiar cómo la derivada de una función nos permite entender su gráfica, en particular nos sirve para determinar los valores máximos y mínimos de una función, lo cual, como vemos, tiene aplicaciones en múltiples campos de estudio como la física, la biología, la economía, entre otras.

En el cuarto capítulo estudiamos otra aplicación del concepto de límite de funciones, que es aplicarlo al cálculo de áreas. Todos sabemos calcular áreas de objetos muy "regulares" como cuadrados, triángulos, círculos, entre otros. Pero ¿Cómo podemos calcular el área de un objeto irregular? Por ejemplo, toma una hoja de un árbol, la cual evidentemente no es una figura geométrica conocida, así que encontrar su área no es tan sencillo. Para esto recurrimos de nuevo a una serie de aproximaciones sucesivas, digamos que primero encontramos un rectángulo en donde quepa la hoja. El área de este rectángulo no es lo que buscamos pero es una aproximación. Luego, en ese rectángulo, metemos otro rectángulo más pequeño, donde no esté la hoja, y al restar estas áreas tendremos una mejor aproximación. Continuar de esta manera infinitamente nos dará en el límite el área que buscamos. Esto es lo que llamamos integral de una función.

El resto del capítulo cuarto y el quinto, están dedicados a entender cómo se puede calcular la integral de una función de una forma más eficiente, desarrollando ciertas técnicas que se conocen como métodos de integración.

Finalmente, quiero precisar que este libro está diseñado para estudiantes de un nivel medio superior, por lo que su rigor matemático esta adecuado para esto, así que muchas ideas se dan de forma intuitiva y no de forma formal como sería en un curso de cálculo avanzado.

• Idioma: Español
• Editorial: Heinrich Grothendieck
• Fecha de lanzamiento: 6 sept 2023
• ISBN: 9798215228562

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Introducción

Una de las mayores cualidades que tiene el concepto de límite de funciones, es que nos permite hacer procesos infinitos de una forma rápida. En particular, el llamado cálculo diferencial e integral viene precisamente de hacer dos tipos de procesos infinitos y calcularlos con ayuda de este concepto.

En este sentido, el primer capítulo del libro esta enfocado en estudiar la idea de límite de una función y de formas de calcular ciertos tipos de límites importantes, así como sus principales propiedades.

En el segundo capítulo, resolvemos el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto de una gráfica de una función. Vemos que es imposible hacerlo directamente, pero podemos dar una serie de aproximaciones infinitas que en el límite nos darán el valor buscado. Este proceso es lo que llamamos derivada de una función en un punto dado. Luego vemos las propiedades de la derivada de una función y desarrollamos técnicas más eficientes para encontrarla.

El tercer capítulo está dedicado a estudiar cómo la derivada de una función nos permite entender su gráfica, en particular nos sirve para determinar los valores máximos y mínimos de una función, lo cual, como vemos, tiene aplicaciones en múltiples campos de estudio como la física, la biología, la economía, entre otras.

En el cuarto capítulo estudiamos otra aplicación del concepto de límite de funciones, que es aplicarlo al cálculo de áreas. Todos sabemos calcular áreas de objetos muy regulares como cuadrados, triángulos, círculos, entre otros. Pero ¿Cómo podemos calcular el área de un objeto irregular? Por ejemplo, toma una hoja de un árbol, la cual evidentemente no es una figura geométrica conocida, así que encontrar su área no es tan sencillo. Para esto recurrimos de nuevo a una serie de aproximaciones sucesivas, digamos que primero encontramos un rectángulo en donde quepa la hoja. El área de este rectángulo no es lo que buscamos pero es una aproximación. Luego, en ese rectángulo, metemos otro rectángulo más pequeño, donde no esté la hoja, y al restar estas áreas tendremos una mejor aproximación. Continuar de esta manera infinitamente nos dará en el límite el área que buscamos. Esto es lo que llamamos integral de una función.

El resto del capítulo cuarto y el quinto, están dedicados a entender cómo se puede calcular la integral de una función de una forma más eficiente, desarrollando ciertas técnicas que se conocen como métodos de integración.

Finalmente, quiero precisar que este libro está diseñado para estudiantes de un nivel medio superior, por lo que su rigor matemático esta adecuado para esto, así que muchas ideas se dan de forma intuitiva y no de forma formal como sería en un curso de cálculo avanzado.

Mat. Félix Enrique González Solano

Docente Tutor e Investigador en el

Instituto de Educación Media Superior

de la CDMX

LÍMITES

El concepto del infinito fue, sin lugar a duda, una de las ideas más difíciles de explicar a lo largo de la historia de las matemáticas. Y es que constantemente se usó la idea de lo infinito, por ejemplo, Euclides en sus axiomas definía el plano como un conjunto infinito de puntos, las rectas y los círculos también estaban formadas por infinitos puntos. Aunque es muy interesante la discusión de lo que es el infinito en matemáticas, mejor lo entenderemos usando el lenguaje de funciones.

Actividad. Subconjuntos.

Tratemos de entender lo que significa ser finito o infinito, para esto, veamos dos casos de conjuntos que «sabemos» son finito e infinito.

Comencemos con el conjunto:

Todos los subconjuntos de este conjunto son:

Nótese que no podemos establecer una función biyectiva entre un subconjunto propio (es decir, quitando el total y el conjunto vacío) y el conjunto total. En efecto, si me tomo uno de los conjuntos con un solo elemento, y doy una función con el conjunto total, está no será suprayectiva:

En el caso anterior, no es suprayectiva, pues tanto el 2 como el 3 en el codominio no están relacionados con nadie del dominio. Lo mismo pasa si tomo funciones entre un subconjunto con dos elementos y el total, digamos:

En este caso, el 2 como elemento del codominio, no está relacionado con nadie del dominio. De hecho, si el lector lo piensa un poco, no se puede establecer una función biyectiva entre conjuntos con diferente cantidad de elementos, pues las biyectivas emparejan un elemento del dominio con uno sólo del codominio y viceversa. Pero esto sólo pasa con estos conjuntos «finitos»

Ahora veamos qué pasa con un conjunto «infinito». Por ejemplo, el conjunto de números naturales se construye tomando cantidades, y siempre podemos formar una cantidad más grande adjuntándole uno a la cantidad anterior. En este sentido, no hay un número que sea más grande que los demás.

Sin embargo, en este caso si hay funciones biyectivas entre un subconjunto y el total, por ejemplo, podemos tomar el conjunto de números pares:

Que se obtienen multiplicando cada número por 2,