Cálculo integral de una variable

Por Wilson J Pinzón C, Wilson Gordillo T y Orlando Riaño Melo

En la formación ingenieril, el cálculo integral es una herramienta indispensable para el análisis y solución de diversas situaciones profesionales, razón por la cual se propone esta obra para ser tomada como base del estudio del cálculo integral en una variable. Se espera contribuir al mejoramiento de la calidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje del cálculo por parte de los ingenieros en formación, de tal manera que logren establecer con precisión los diversos métodos que se deben utilizar para dar solución a una problemática real.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad Distrital Francisco José de Caldas
• Fecha de lanzamiento: 18 mar 2015
• ISBN: 9789587873757

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CAPÍTULO 1

Integración

Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido más por tener paciencia que cualquier otro talento.

Isaac Newton (1642-1727)

1.1. Breve reseña histórica

Se puede considerar que el cálculo integral comienza cuando se empieza a emplear el método de exhaución que permitió a Arquímedes hallar integrales definidas. En lo que se refiere a los métodos integrales, la geometría de los indivisibles era la más famosa en el siglo XVII, creada por Cavalieri, concebida como un método universal de la geometría; planteado para ser utilizado en la determinación de las medidas de figuras planas y de sólidos, elementos representados por la conformación de unidades de dimensión menor. Por lo tanto, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los sólidos de planos paralelos. Sin embargo, con este método no es posible medir longitudes curvas, puesto que los correspondientes indivisibles no poseen dimensión. No obstante la integración a partir de cuadraturas geométricas permitió solucionar gran cantidad de problemas, desde la primera mitad del siglo XVIII.

A lo largo del siglo, se acumuló una cantidad de recursos considerable para la solución de problemas actualmente divisibles mediante la diferenciación. No obstante, muchos años antes ya se conocía cómo se hallaban tangentes y áreas bajo algunas curvas. Fermat, por ejemplo, no solo supo cómo hallar las tangentes a una curva de la forma y = xm, sino que además desarrolló un método para calcular el área encerrada bajo dicha curva, aplicable tanto a valores enteros como a fraccionarios del exponente m, pero no se prestó ninguna atención a la relación que conocemos hoy como teorema fundamental del cálculo Boyer [2].

El término integral aparece por primera vez en el Acta Eurditorum de Jacques Bernoulli (1690), quien lo explícito en el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. No obstante, Euler trabajo en la integración hasta establecer métodos de integración indefinida, en un nivel prácticamente igual al actual. El cálculo de integrales de tipos espaciales a comienzos del siglo, provocó el descubrimiento de resultados básicos para la teoría de funciones especiales, como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.

1.2. Antiderivadas o primitivas

Las operaciones suma y resta, multiplicación y división y diferenciación e integración son inversas una de la otra. Razón por la que no se puede hablar de cálculo diferencial y cálculo integral de manera separada, sino de un solo cálculo. Es aquí donde la derivada despliega toda su fuerza y se alía con la integral. Al resolver ecuaciones que contienen derivadas se necesitan sus inversas, llamadas antiderivadas o primitivas. Gracias a esto se puede predecir qué tan rápido se llena un tanque, conocer la época de un fósil, la pérdida de calor de un cuerpo, el número de individuos de una población en cualquier instante, etc.

Definición 1. Una función F(x) recibe el nombre de antiderivada o primitiva de f en un intervalo I si F'(x) = f(x) para todo x en I.

Ejemplo 1. Observe que:

F(x) = x², F(x) = x² + 3, F(x) = x² – 2 y F1(x) = x² – 4

son todas antiderivadas de f(x) = 2x.

De hecho, cualquier función de la forma F(x) = x² + C, donde C es una constante, es una antiderivada de f(x) = 2x.

Es decir, si una función f tiene una antiderivada, tendrá una familia de ellas, en donde cada miembro de la familia se puede obtener mediante la suma de una constante adecuada. A esta familia de funciones F(x) se le llama la antiderivada general de f(x).

Teorema 1. Si F es una antiderivada de f en un intervalo [a, b], entonces G es una antiderivada de f en el intervalo [a, b] si y solo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en [a, b], donde C es una constante.

Demostración. Se tiene que F'(x) y G'(x) para todo x en [a, b]. Sea h(x) = F(x)–G(x), entonces h'(x) = F'(x) – G'(x) = 0 para todo x en [a, b] dado que F'(x) = G'(x).

Figura 1.1: Primitivas de f(x) = 2x

Si x1 y x2 son números tales que a ≤ x1 < x2 ≤ b, por el teorema del valor medio, existe un número k en (x1, x2) para el que:

O equivalentemente: h(x2) – h(x1) = h'(k)(x2 – x1). Pero h'(x) = 0 para todo x en [a, b], en particular h'(k) = 0, luego h(x2) – h(x1) = 0 y como por hipótesis x1 ≠ x1 en el intervalo y h(x1) = h(x2), se puede concluir que la función h(x) es una constante C. Así que h(x) = C implica que F(x) – G(x) = C o equivalentemente F(x) = G(x) + C

En otras palabras, el teorema establece que dos primitivas de una misma función difieren en una constante.

Ejemplo 2. Encuentre la antiderivada general de cada una de las siguientes funciones:

a) f ( x ) = 1

b) f ( x ) = cos x

Solución:

a) Si F ( x ) = x entonces F' ( x ) = 1 de manera que la antiderivada de 1 es x . Por el teorema 1 , la antiderivada más general es G ( x ) = x + C .

b) Recuerde que Por tanto, la antiderivada general de f ( x ) = cos x es G ( x ) = sen x + C .

Una ecuación que contiene las derivadas de una función se llama ecuación diferencial. Estas se estudiarán en detalle en el curso de ecuaciones diferenciales. Por el momento se resolverán algunas de ellas, muy elementales.

1.2.1. Notación para las antiderivadas o primitivas

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente dy = f(x)dx.

La operación para encontrar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integración) y se denota mediante una s alargada, ∫ dx, notación creada por Leibniz. La solución general se denota así:

La expresión ∫ f(x)dx se lee la antiderivada o primitiva de f(x) con respecto a x o integral indefinida de f(x) con respecto a x. De esta manera, la diferencial dx sirve para identificar a x como la variable de integración. Así, el término integral indefinida es sinónimo de antiderivada.

1.2.2. Propiedades de la integral indefinida

De las reglas de derivación del producto de una constante por una función, de una suma de funciones y de una diferencia de funciones se deducen las siguientes propiedades de la integral indefinida:

I) La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.

II) La integral de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales de las funciones.

La variable x es muda, es decir,

1.2.3. Fórmulas básicas de integración

Considérense a c y a k como constantes

Cuadro 1.2: Fórmulas básicas de derivación e integración

Ejemplo 3. Encuentre la antiderivada o primitiva de

Solución:

Ejemplo 4. Halle la antiderivada o primitiva de

Solución:

Ejemplo 5. Halle la integral indefinida de

Solución:

Ejemplo 6. Determine la antiderivada de

Solución:

1.2.4. Análisis gráfico de antiderivadas o primitivas

Deducir hechos referentes a la antiderivada o primitiva a partir de la información concerniente a su derivada es dar solución a varias aplicaciones del cálculo. A continuación se explica cómo se puede obtener la antiderivada f(x) a partir f'(x).

1. Si f' ( x ) = 0, entonces la antiderivada o primitiva f ( x ) es una constante, es decir,

a) f' ( x ) = 0, entonces f ( x ) C < 0

Figura 1.2: Antiderivada constante C < 0

b) f' ( x ) = 0, así f ( x ) = C < 0

Figura 1.3: Antiderivada constante C > 0

2. Si f' ( x ) = C > 0, entonces la antiderivada o primitiva f ( x ) es creciente y lineal.

Figura 1.4: Antiderivada creciente

3. Si f' ( x ) = C < 0, entonces la antiderivada o primitiva f ( x ) es decreciente y lineal.

Figura 1.5: Antiderivada decreciente

4. Si f' ( x ) < 0 y decreciente, de esta forma la antiderivada o primitiva f ( x ) es cóncava hacia abajo y decreciente.

Figura 1.6: Antiderivada cóncava hacia abajo y decreciente

5. Si f' ( x ) < 0 y creciente, entonces la antiderivada o primitiva f ( x ) es cóncava hacia arriba y creciente.

Figura 1.7: Antiderivada cóncava hacia arriba y decreciente

6. Si f' ( x ) > 0 y creciente, entonces la antiderivada o primitiva f ( x ) es cóncava hacia arriba y creciente.

Figura 1.8: Antiderivada cóncava hacia arriba y creciente

7. Si f' ( x ) > 0 y decreciente, entonces la antiderivada o primitiva f ( x ) es cóncava hacia abajo y creciente.

Figura 1.9: Antiderivada cóncava hacia abajo y creciente

Ejemplo 7. En la figura se da la gráfica de f'(x). Bosqueje las gráficas de f(x) si es continua