Cuatro estudios didácticos para la formación de docentes de Matemática

Por Rosa Ana Ferragina, Leonardo J. Lupinacci, Victoria P. Güerci y Fernando J. Bifano

Este libro es el resultado de una reflexión sobre la enseñanza de la Matemática a través de ejemplos de secuencias de enseñanza y métodos de análisis didáctico, e intenta ser un puente entre la formación inicial del profesor de Matemática y el ejercicio de la reflexión sobre su accionar. Su función principal es la de permitir discutir y decidir, con criterio, sobre un itinerario en un determinado espacio de formación.

La propuesta de los autores sigue un hilo tan sutil como potente: la reflexión sobre la práctica. El lector ideal que se tuvo en mente durante el proceso creativo se transforma en el lector real: el docente que enseña Matemática en la escuela y aquel que se forma para hacerlo. Para lograr este propósito, el libro pone en diálogo a lectores y autores. Autores que enriquecen cada texto de esta obra desde su propio rol docente y proporcionan explicaciones que muestran con claridad las relaciones entre hechos, conceptos, teorías y contextos de observación u ocurrencia.

• Idioma: Español
• Editorial: Miño y Dávila
• Fecha de lanzamiento: 13 oct 2021
• ISBN: 9788418095696

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CAPÍTULO 1

Entre el pizarrón y la pantalla: el lugar geométrico bisectriz como constructo teórico mediado por un software de geometría dinámica

por Rosa A. Ferragina

1. De la geometría sintética a la analítica

Entre todas estas vicisitudes que a grandes rasgos presiden la evolución de la matemática, que considero de interés y actualidad y que se refiere en particular al campo de la geometría. Se trata de una lucha periódica, con períodos variables y alternativos de triunfo y derrota para ambas partes, entre la llamada geometría analítica y la geometría sintética.

Santaló, L., 1960: 10

Las palabras de Santaló nos permiten repensar cómo se conforman estos dos pilares del estudio de la geometría, con avances, relaciones, preferencias, en cuanto a caminos y desarrollos en ambas perspectivas. Es por eso que se hace necesario contar con los aportes de una bibliografía que dé cuenta de estas posiciones a través de los años y, que la conforme como fundante en el recorrido que propondremos. El análisis de fuentes históricas-epistemológicas, nos posibilitará realizar un replanteo de la relación actual entre estas dos perspectivas geométricas y, cómo puede ser influenciada cuando incorporamos en el análisis un software de geometría dinámica (SGD).

Historiadores como Rey Pastor y Babini (1980), Boyer (1994) y Collette (1980) sostienen un carácter práctico como origen de la Geometría, ya que su nombre alude a medir la tierra y a lo que medían: longitudes, ángulos, superficies y volúmenes de los utensilios que fabricaban. De ese modo, las comunidades descubrían relaciones entre sus elementos, que hoy llamaríamos fórmulas, con las que planteaban y resolvían problemas que hacían referencia a cuestiones particulares que necesitaban. Las relaciones que encontraron fueron basales para la conformación de la obra Elementos, escrita por Euclides (300 a.C., aprox.). Este es un texto que compendia toda la matemática elemental de la época: la aritmética o teoría de números, la geometría sintética (de puntos, rectas, planos, círculos y esferas) y el álgebra (como una interpretación de relaciones geométricas).

Tenemos, entonces, una primera caracterización de la geometría sintética como la que utiliza los métodos de los Elementos de Euclides para resolver problemas de construcción geométrica con regla y compás. Un gran número de esas construcciones no hacen referencia a las medidas de los elementos (lados, ángulos, radios, medianas, bisectrices, etcétera) que caracterizan a las figuras geométricas.

El surgimiento de otra perspectiva geométrica tuvo que esperar años, más exactamente siglos. El siglo XVII pone en contacto los antiguos problemas griegos de la mano de traducciones árabes, la consolidación de los avances algebraicos y la reinterpretación de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, le otorgan a la geometría un método de generalidad que no tenía. Descartes (1596-1650) y Fermat (1661-1665), con la Geometría e Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales, respectivamente, dan inicio a lo que actualmente se conoce como una rama de la matemática, la geometría analítica. Estos trabajos tienen basamentos en la geometría griega, pero plantean como premisa principal encontrar nuevos métodos que sean más simples, operativos y, sobre todo, más generales.

Diversos autores (Kline, 1999; Courant y Robbins, 1996; Puig Adam, 1976)¹ concuerdan acerca de que el nombre apropiado para los avances propuestos por Descartes y Fermat sería geometría de coordenadas. Entonces, ¿por qué transcendió con la palabra analítica? Este término, desde Platón, es considerado como el proceso deductivo que se realiza partiendo desde lo que se quiere probar hasta llegar a una verdad conocida. Descartes consideraba que análisis era la palabra apropiada porque el álgebra servía para analizar el problema de construcción geométrico considerado. Luego, con el avance algebraico, se dejó de considerarla solo como una herramienta aplicable a la geometría para ser un método de estudio de las curvas. Por lo que, geometría analítica hace referencia tanto al proceso de demostración como a la aplicación del método algebraico.

Acordamos con la posición de Collette (1980), puesto que no se refiere a uno de los dos matemáticos, Descartes o Fermat, como descubridor de la geometría analítica. Collette analiza sus trabajos como una caracterización de sus posturas, que consideramos relevantes en el desarrollo de este capítulo:

-Cada uno contribuyó, de un modo independiente, en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana, con respecto a un sistema de coordenadas.

-Cada uno, con métodos algorítmicos propios, intenta vincular estrechamente la ecuación y la curva correspondiente.

-Fermat tiene como idea fundamental el logro de la ecuación de la curva de un modo más claro que Descartes.

-Descartes cubre problemas de un campo más amplio y general que el de Fermat, quien trabajó casi específicamente sobre las ecuaciones de primero y segundo grado.

-Ambos autores continuaron los trabajos de Vieta en direcciones diferentes. Descartes trabaja sobre la construcción geométrica de las raíces de ecuaciones algebraicas, dotándola de un simbolismo más apropiado. Fermat, conserva la notación de Vieta y la aplica a otro tema, el estudio de los lugares geométricos.

-En general, se puede decir que Descartes comienza con un problema de lugar geométrico a partir del cual obtiene una ecuación del lugar, mientras que Fermat se preocupa más de partir de una ecuación y de deducir las propiedades de su curva (Collette,1980: 27).

Rescatamos las palabras de Kline (1999), en consonancia con lo propuesto por Collette en el último párrafo, puesto que se refieren a cómo cada matemático realiza la asociación de curvas y ecuaciones:

Aunque la idea sobresaliente para el futuro de las matemáticas era la de asociar ecuación y curva, para Descartes esto no era más que un medio para un fin, a saber, la resolución de problemas de construcciones geométricas. El énfasis de Fermat en las ecuaciones de lugares geométricos es, desde el punto de vista moderno, más oportuno (Kline, 1999: 419).

Esta asociación curva-ecuación puede darse de dos maneras diferentes.² Construimos una curva mediante propiedades geométricas (Descartes). Esa curva tiene asociada su propia ecuación, que la caracteriza a ella y no a otra. Partimos desde la ecuación de una curva y explorando el comportamiento algebraico de la misma, podemos descubrir las propiedades geométricas que la constituyen (Fermat). Pero, ¿qué es la ecuación de una curva? Es la relación que se obtiene entre uno o varios valores de ordenada para una misma abscisa. Y esa curva trazada no es otra cosa que la solución geométrica de un problema indeterminado, es decir, que tiene una infinidad de soluciones: es lo que los antiguos llamaban lugar geométrico.

Jourdain (1919) en su libro La naturaleza de la matemática, suscribe que hay dos ramas de la matemática que actúan como conectores entre la esencia de la matemática antigua y la moderna: el método del análisis geométrico y el álgebra griega de los tiempos de Diofanto. Además, postula que el proceso del descubrimiento matemático es algo vivo y en desarrollo. En ese proceso, el autor asigna a los lugares geométricos (loci en el original) un lugar preponderante porque la cuestión de los lugares geométricos está relacionada con el análisis geométrico, y difícilmente puede disociarse esa noción de la imagen mental de un punto en movimiento. Imagínese un punto obligado a moverse solo según cierta curva. Es claro cómo el imaginarnos el locus que puede describir un punto resultará útil para la resolución de problemas (Jourdain,