Topología y geometría diferencial con aplicaciones a la física

Por Eduardo Nahmad-Achar

El libro presenta, los fundamentos de la topología diferencial y la geometría diferencial junto con aplicaciones esenciales a muchas ramas de la física. En particular, y a pesar de que sólo se requieren para su lectura conceptos de álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral, se llega a demostrar el Teorema de Stokes en variedades, a entender las expresiones fundamentales del cálculo avanzado en términos de formas diferenciales, a tocar brevemente las fronteras con la topología algebraica y, por el lado de la física, a formular la Teoría Newtoniana, la Teoría de Maxwell, y la Teoría de Einstein en un lenguaje geométrico (además de algunas aplicaciones a la mecánica, la dinámica de fluidos y la termodinámica). Para la parte de la física se presupone que el lector conoce los fundamentos de la relatividad especial.

• Idioma: Español
• Editorial: UNAM, Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial
• Fecha de lanzamiento: 8 jun 2023
• ISBN: 9786073062282

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Capítulo 1

Sinopsis de relatividad general

En este capítulo motivaremos la necesidad de estudiar la geometría de espacios curvos, la manera de medir en ellos, y la dinámica de dicha medición. En capítulos subsecuentes construiremos las herramientas analíticas necesarias para dicho estudio, a la vez que daremos varias aplicaciones.

La teoría de la relatividad general surge de extender la relatividad especial a sistemas de referencias acelerados. Los experimentos de Galileo muestran que la aceleración de un campo gravitacional sobre un objeto es independiente del objeto. Para cualquier observador, un sistema de referencia acelerado es entonces equivalente a un sistema inercial en presencia de un campo gravitacional. En otras palabras, para un observador arbitrario es indistinguible estar parado sobre la Tierra o estar en un cohete que viaja con una aceleración equivalente ( ), y es quivalente a flotar en el espacio lejos de todo objeto o estar en caída libre bajo el campo gravitacional de la Tierra, como muestra la figura a continuación.

De aquí que la relatividad general se convierta en una teoría de gravitación, y el concepto de sistema inercial pierda significado.

Si ya no tenemos sistemas de referencia privilegiados, la física estudiada en cualquier sistema debe ser equivalente y sus ecuaciones (si se escriben adecuadamente, es decir, independientemente de coordenadas) deben ser las mismas. Por lo tanto es necesario extender el grupo de transformaciones de Lorentz (que describen, de acuerdo con la teoría de la relatividad especial, la manera en que se relacionan las coordenadas espacio-temporales de dos observadores incerciales), al grupo de todas las transformaciones continuas de coordenadas (lineales y no lineales). En otras palabras, las ecuaciones que expresan fenómenos naturales deben ser covariantes con respecto a todas las transformaciones continuas de coordenadas. A este enunciado se le conoce como el Principio de Relatividad.

Bajo este grupo de transformaciones, lo único que queda invariante es el hecho de que dos puntos muy cercanos tengan coordenadas muy parecidas:

Supongamos que se envía un rayo de luz de P1 a P2. La relatividad especial nos dice que la velocidad de la luz, c, es constante independientemente del observador. Entonces,

es decir, c²dt² − dx² − dy² − dz² = 0, que es la relación que debe cumplirse entre dos puntos cercanos. La cantidad

es entonces invariante ante transformaciones de coordenadas, porque c es la misma constante en todos los sistemas de referencia. Este resultado se obtiene en relatividad especial y por lo tanto es válido localmente en cualquier sistema de referencia.

τ es análogo al parámetro s de longitud de arco para un curva en ³: dada una curva como xi = xi(s), i ∈ {1, 2, 3}, la longitud de arco ∆s entre dos puntos cercanos xi y xi + ∆xi en la curva está dada por:

∆s²=(∆x¹)² + (∆x²)² + (∆x³)²en coordenadas cartesianas

∆s²=∆r² + r²(∆θ² + sin θ²∆ϕ²)en coordenadas esféricas

como veremos en el capítulo 2. También veremos que una curva parametrizada por su longitud de arco tiene una rapidez unitaria, es decir, s puede pensarse como su tiempo propio. Ello motiva la siguiente definición:

1.1.Definición (Tiempo propio)

τ se llama tiempo propio de la trayectoria de P1 a P2.

Si una partícula viaja de P1 a P2, es el parámetro natural de tiempo que leería un reloj montado en la partícula. Definido así, tiene que ser invariante porque se ha introducido sin referencia a un sistema de coordenadas. Ya hemos visto que si la partícula viaja a lo largo de un haz de luz, ∆τ = 0; sobre otras trayectorias tendrá distintos valores.

1.2.Observación

La ecuación (1.1) es bastante poderosa; de hecho, podemos tomarla como la base de la relatividad especial, derivando de ella las transformaciones de Lorentz y otras consecuencias (cf. Ejemplos 1.3 y 1.5).

1.3.Ejemplo (Dilatación del tiempo)

Consideremos dos eventos sobre la trayectoria de un cuerpo que se mueve a velocidad v con respecto a un sistema de coordenadas. Entonces |∆r| = v∆t, donde ∆r es la distancia recorrida y ∆t es el tiempo transcurrido.

De la ecuación (1.1)

es decir,

Pero ∆τ es el tiempo transcurrido en el reloj que viaja con la partícula. Por lo tanto, el intervalo de tiempo coordenado ∆t medido en un sistema de referencia con respecto al cual la partícula se mueve es mayor que el intervalo de tiempo propio ∆τ medido por un reloj en reposo con respecto a la partícula: los relojes en movimiento caminan más lento.

1.4.Distancia propia

Si |∆r| > c∆t, entonces ∆τ² < 0 y, por lo tanto, ∆τ sería imaginario (∆τ ∈ ). Esto significa que dos eventos para los que |∆r| > c∆t en un sistema de referencia tendrían un intervalo de tiempo propio imaginario (es decir, para una partícula que vaya de un evento al otro transcurriría un intervalo de tiempo imaginario). Para ello se tendría que mover a v > c, lo que es imposible. Por lo tanto, estos eventos no pueden pertenecer a la trayectoria de una partícula.

Ahora bien, y tiene unidades de distancia. A se le llama distancia propia entre los eventos. Es la distancia que mediría una barra estandard en un sistema de referencia donde los eventos ocurren simultáneamente, porque si ∆t = 0 entonces |∆r²| = −c²∆τ², es decir, .

1.5.Ejemplo (Contracción de Lorentz)

Supongamos que un sistema de referencia F′ se mueve con respecto a otro, F, a una velocidad v en dirección x, como muestra la figura a continuación.

Consideremos dos eventos:

•Evento A: coincidencia de O y O′

•Evento B: coincidencia de L y O′

¿Cuál es la relación entre A y B?

En F:

En F′ ambos eventos ocurren en el origen O′: ∆r′ = 0 y, por lo tanto,

donde es la distancia de O a L medida en F′ dividida entre la velocidad a la que pasa O′ por O y por L. Igualando:

En otras palabras, una barra aparenta estar contraída (L′ < L) si su longitud se mide en un sistema en el que no está en reposo.

1.6.Transformación de coordenadas

Bajo una transformación general de coordenadas tenemos: (t, x, y, z) (x⁰, x¹, x², x³)

t=t(x⁰, x¹, x², x³)

x=x(x⁰, x¹, x², x³)

y=y(x⁰, x¹, x², x³)

z=z(x⁰, x¹, x², x³)

Sustituyendo en la ecuación (1.1) y poniendo c = 1

es decir,

donde

Es común utilizar la notación de Einstein, en la cual índices repetidos implican una suma:

Podemos escribir, entonces,

gab encierra el hecho de que puntos cercanos en un sistema de referencia se mantengan cercanos bajo una transformación de coordenadas. Nos dice entonces cómo medir en un sistema de referencia dado: en particular (cf. ecuación (1.2)) nos indica cómo obtener el tiempo propio entre 2 puntos a partir de la diferencia de coordenadas entre los puntos. Este intervalo, ∆τ, es invariante, pero no la diferencia de coordenadas.

1.7.Efecto Doppler

En la figura siguiente ondas viajan de izquierda a derecha. Un detector en reposo mide su frecuencia, f, al medir el número de crestas que pasan en un tiempo t. Con líneas marcadas se muestran las crestas que pasan por el detector al tiempo t = 0 y a un tiempo t posterior. Si N crestas pasaron por el detector durante un intervalo de tiempo t, tendremos .

Para un detector que se mueve hacia la derecha con velocidad v, sólo N′ crestas pasan por el detector durante el intervalo de tiempo t.

Como

por lo que el detector que se aleja de la fuente mide un frecuencia menor. A este efecto se le llama efecto Doppler o corrimiento hacia el rojo, porque la luz roja es de menor frecuencia con respecto al punto medio del espectro visible.

1.8.Corrimiento gravitacional hacia el rojo

A t = 0 se emite un fotón de frecuencia f0, hacia arriba, desde la base de un edificio. Un observador A se deja caer desde la azotea del edificio, con velocidad inicial v = 0, en ese instante. Otro observador, B, está parado en la azotea del edificio.

A está en caída libre (que es equivalente a estar flotando en el espacio), y por lo tanto mide fA = f0. Con respecto a A, B se mueve alejándose de la fuente. Por lo tanto, .

El fotón sube una altura h en un intervalo de tiempo . En ese tiempo, y con aceleración g, A adquiere una velocidad . Por lo tanto,

1.9.Espacio curvo, argumento de Schild

Considérense ϑ1, ϑ2 observadores en reposo con respecto a la Tierra y uno con respecto al otro. ϑ1 está a una altura z1 sobre la superficie terrestre. ϑ2 está a una altura z2 = z1 + h(h > 0) sobre la superficie terrestre.

ϑ1 envía a ϑ2 una señal electromagnética consistente en un pulso de exactamente N ciclos con frecuencia ν1. El intervalo de tiempo requerido para la emisión es . ϑ2 lo recibe con frecuencia ν2, durante un intervalo . Pero hemos visto que ν2 < ν1, por lo que ∆t2 > ∆t1.

En un espacio plano, aun considerando efectos del campo gravitacional sobre los rayos de luz, las dos trayectorias del inicio y final del pulso tendrían que ser congruentes (ver figura), por lo que tendríamos un paralelogramo con dos lados opuestos desiguales (!). Por lo tanto, si hay un campo gravitacional y ∆t2 > ∆t1, el espacio tiene que ser curvo.

1.10.Sobre la dinámica de gab

Sólo hemos asumido que la aceleración de un campo gravitacional sobre un objeto es independiente del objeto (Principio de Galileo). Bajo esta suposición, estar en presencia de un campo gravitacional g es equivalente a estar en un espacio curvo. gab mide cómo se curva el espacio. Por lo tanto, gab es una medida de g. Es importante entonces preguntar cuál es la dinámica que debe satisfacer gab.

La ecuación diferencial postulada para gab no puede ser menor de segundo orden. Asumiendo que no contiene derivadas (con respecto a las coordenadas) mayores a la segunda, veremos más adelante que el Principio de Relatividad, la teoría métrica de superficies de Gauss, y su extensión a dimensión arbitraria de Riemann, implican

donde Rmabn es la curvatura del espacio-tiempo, Rab = Rmamb, R = Raa, y Tab es el tensor de energía y momento para los campos no-gravitacionales (utilizaremos los términos espacio y espacio-tiempo de manera indistinta).

Veremos también que la ecuación (1.5) se puede obtener de un principio variacional, donde el Lagrangiano toma la forma . Para ello, es necesario introducir suficiente formalismo matemático para hacer análisis en espacios curvos. Eso es lo que haremos en los capítulos que siguen.

1.11.Unidades geométricas

La relatividad general da cuenta de la gravitación en términos puramente geométricos. Es natural, entonces, expresar cualquier cantidad física en unidades de longitud.

Esto se logra tomando un sistema de unidades en el que tanto la velocidad de la luz, c, como la constante Newtoniana de gravitación universal G, sean iguales a la unidad:

c = 1G = 1

Bajo esta convención, ya no hay distinción entre segundos y metros, ni entre metros y kilogramos. Por ejemplo, 1 segundo es equivalente, en metros, a la distancia que recorre un fotón en 1 segundo: 3 × 10⁸m aproximadamente.

Para darnos una idea más clara de estas unidades geométricas, tomamos otros ejemplos:

i)1 metro de tiempo = = 3. 3 × 10−9s = 3. 3 nanosegundos; (el tiempo en el que un haz de luz viaja 1 metro de distancia)

ii)1 centímetro de masa

la masa de la Tierra.

Cuando requiramos usar unidades, a menos que se mencione explícitamente lo contrario, utilizaremos unidades geométricas.

Capítulo 2

Curvas y superficies en ³

I. Curvas

2.1.Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet

Las consideraciones del capítulo 1 sugieren que, si queremos estudiar fenómenos en presencia de campos gravitacionales, tendremos que hacerlo en espacios curvos. La teoría de la relatividad general describe a los fenómenos naturales muy elegantemente en términos de la geometría del espacio-tiempo, una variedad diferenciable Lorentziana de dimensión 4 que representa el continuo en el que suceden todos los eventos espacial- y temporalmente. Antes de construir el concepto abstracto de variedad diferenciable y aprender técnicas analíticas en estos espacios, es recomendable ver cómo se estudia la geometría de curvas y superficies inmersas en un espacio plano tridimensional, ³. Ello nos dará una imagen mental clara del significado de conceptos como curvatura y torsión, que nos ayudará cuando los definamos y estudiemos en dimensiones mayores y en espacios que no vivan dentro de n.

A la disciplina que introduce las herramientas del cálculo diferencial e integral en estos espacios más generales, y estudia sus propiedades geométricas, se le llama geometría diferencial. Esta disciplina ha permitido expresar muchas ideas de la física de una manera más sencilla, llevándonos a un entendimiento más fundamental de las mismas. La construiremos en los capítulos siguientes.

En este capítulo estudiaremos conceptos geométricos de curvas y superficies. Denotamos por ³ al espacio cartesiano × × de ternas (x, y, z) que identificamos con puntos en el espacio y por ³ a este mismo espacio visto como espacio vectorial y provisto de los productos (escalar y vectorial) entre vectores. A ³ le llamamos el espacio Euclideano de tres dimensiones, y nuestras curvas y superficies a estudiar vivirán inmersas en este