Mecánica Cuántica Relativista y No Relativista: las dos a la vez: Parte I: Estados estacionarios

Por Luis Grave de Peralta, Hira Farooq, Maricela Fernández Lozada y 3 más

Este libro es un primer intento de presentar la mecánica cuántica relativista a aquellos interesados en la mecánica cuántica, pero sin conocimientos previos de ella. Actualmente, la mecánica cuántica relativista se considera un tema avanzado al que sólo pueden acceder aquellos que ya han recibido una formación considerable en mecánica cuántica no relativista. Sin embargo, los autores creen haber encontrado un excelente enfoque pedagógico para introducir simultáneamente los temas de la mecánica cuántica relativista y no relativista.

Este libro es el resultado de una investigación que comenzó en el otoño del año 2019. En última instancia, estos estudios cristalizaron en la publicación de los artículos titulados "¿Tenía Schrödinger otras opciones?" por L. Grave de Peralta en European Journal of Physics, 41, 065404 (2020); "Simplificando la mecánica cuántica relativista", por L. Grave de Peralta, L. A. Poveda y B. Poirier, en European Journal of Physics, 42, 055404 (2021); y "Un enfoque no relativista de la mecánica cuántica relativista: el caso del oscilador armónico", por L. A. Poveda, L. Grave de Peralta, J. Pittman y B. Poirier en Foundations of Physics 52, 29 (2022). Recientemente, se han publicado otros 11 artículos sobre este tema.

Por razones pedagógicas, hemos evitado la utilización de las ecuaciones más conocidas de la mecánica cuántica relativista. Sólo nos referimos a las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac para justificar el uso de las ecuaciones de Poveda-Poirier-Grave de Peralta (PPGP). Las ecuaciones de PPGP son las ecuaciones en las que se basa este libro. Sin embargo, para evitar complicaciones innecesarias en un libro introductorio, nos referimos esporádicamente a resultados bien conocidos obtenidos mediante el uso de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac.

• Idioma: Español
• Editorial: BookBaby
• Fecha de lanzamiento: 24 may 2023
• ISBN: 9798350901382

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Title

Este libro es la traducción al español del libro titulado "Relativistic and Non-Relativistic Quantum Mechanics," escrito por los mismos autores y publicado en el año 2023 por la editorial Springer Nature en la serie Undergraduate Lecture Notes in Physics (https://www.springer.com/series/8917). Copyright© 2023, todos los derechos reservados.

ISBN: 979-8-3509013-8-2

Prefacio

Este libro es un primer intento de presentar la mecánica cuántica relativista a aquellos interesados ​​en la mecánica cuántica, pero sin conocimientos previos de ella. Actualmente, la mecánica cuántica relativista se considera un tema avanzado al que sólo pueden acceder aquellos que ya han recibido una formación considerable en mecánica cuántica no relativista. Sin embargo, los autores creen haber encontrado un excelente enfoque pedagógico para introducir simultáneamente los temas de la mecánica cuántica relativista y no relativista.

Este libro es el resultado de una investigación que comenzó en el otoño del año 2019. En última instancia, estos estudios cristalizaron en la publicación de los artículos titulados ¿Tenía Schrödinger otras opciones? por L. Grave de Peralta en European Journal of Physics, 41, 065404 (2020); Simplificando la mecánica cuántica relativista, por L. Grave de Peralta, L. A. Poveda y B. Poirier, en European Journal of Physics, 42, 055404 (2021); y Un enfoque no relativista de la mecánica cuántica relativista: el caso del oscilador armónico, por L. A. Poveda, L. Grave de Peralta, J. Pittman y B. Poirier en Foundations of Physics 52, 29 (2022). Recientemente, se han publicado otros 11 artículos sobre este tema.

Por razones pedagógicas, hemos evitado la utilización de las ecuaciones más conocidas de la mecánica cuántica relativista. Sólo nos referimos a las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac para justificar el uso de las ecuaciones de Poveda-Poirier-Grave de Peralta (PPGP). Las ecuaciones de PPGP son las ecuaciones en las que se basa este libro. Sin embargo, para evitar complicaciones innecesarias en un libro introductorio, nos referimos esporádicamente a resultados bien conocidos obtenidos mediante el uso de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac.

Existe una ecuación de PPGP que coincide con la ecuación de Schrödinger en el límite no relativista. Las soluciones de esta ecuación de PPGP tipo Schrödinger son idénticas a las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon asociadas con energías cinéticas positivas. Por lo tanto, en ocasiones cuando esto no afecta la comprensión de un tema, en lugar de resolver la ecuación de PPGP similar a la ecuación de Schrödinger nos referimos a resultados bien conocidos que son comúnmente obtenidos mediante el uso de la ecuación de Klein-Gordon.

También existe una ecuación de PPGP que coincide con la ecuación de Pauli en el límite no relativista. Las soluciones de esta ecuación de PPGP tipo Pauli son idénticas a las soluciones de la ecuación de Dirac asociadas con energías cinéticas positivas. Al igual que en el caso anterior, a veces nos referimos a resultados bien conocidos que son comúnmente obtenidos mediante el uso de la ecuación de Dirac, en lugar de resolver la ecuación de PPGP tipo Pauli.

Además, existen dos ecuaciones de PPGP complementarias de tipo Schrödinger y Pauli. Las soluciones de estas ecuaciones son idénticas a las respectivas soluciones de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac asociadas con energías cinéticas negativas, las cuales no se estudian a profundidad en esta introducción a la mecánica cuántica relativista. No obstante, se discute su relación con la existencia de antipartículas.

El programa de este libro es el siguiente, los Capítulos 1 y 2 proporcionan una introducción rápida y tradicional a la mecánica cuántica no relativista. En el Capítulo 3, este libro se aparta de una introducción tradicional a la mecánica cuántica. Es aquí donde las primeras ideas propuestas acerca de la mecánica cuántica relativista se presentan para dar una idea general de lo que este libro quiere perseguir. Esto incluye la introducción de la ecuación de PPGP tipo Schrödinger y su uso para resolver problemas unidimensionales simples.

El Capítulo 4 contiene un estudio novedoso y ambicioso acerca de las consecuencias de la teoría especial de la relatividad para la mecánica cuántica. Esto incluye el estudio del oscilador armónico relativista y una presentación pedagógica de la paradoja de Klein basada en resolver la ecuación de PPGP para un potencial escalón.

En el Capítulo 5 se resuelven problemas tridimensionales más realistas. En el Capítulo 6 se introducen el espín y la ecuación de PPGP tipo Pauli. Se presenta la descripción relativista del átomo de hidrógeno y se compara con resultados experimentales. Además, se comparan las descripciones relativistas de una partícula de espín-(s=0) y de espín-(s=1/2) que se mueven en un potencial de Coulomb. El Capítulo 7 proporciona una breve descripción general del problema de cómo describir sistemas con más de una partícula cuántica. Esto incluye la aplicación del principio de exclusión de Pauli para describir átomos, una visita precisa pero breve a un gas de Fermi relativista y la discusión sobre la importancia de incluir la relatividad para describir la formación de agujeros negros en Cosmología.

La mayoría de los resultados que se presentan en este libro son resultados ampliamente conocidos propuestos por una multitud de físicos. Sin embargo, presentamos algunos temas controvertidos pero interesantes en el último capítulo. Solo el tiempo y los experimentos juzgarán la validez de las ideas discutidas en el Capítulo 8. Estos temas se incluyeron para celebrar el primer siglo de la mecánica cuántica, para ilustrar que la mecánica cuántica relativista sigue siendo un campo abierto de investigación, y para enfatizar que el placer de descubrir y las habilidades de pensamiento crítico deben ser cultivadas sistemáticamente.

Los autores

Contenidos

1. Necesidad de la Mecánica Cuántica

2. Ecuación de Onda

2.1 Ecuación de Schrödinger

2.2 Interpretación Estadística de la Función de Onda

2.3 Operadores

2.4 Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo

2.5 Pozo Unidimensional Infinito

2.6 Partícula Libre

2.7 ¿Satisface la Ecuación de Schrödinger las Expectativas?

3. Introducción de la Relatividad en la Mecánica Cuántica

3.1 Teoría Especial de la Relatividad

3.2 Ecuación de Klein-Gordon

3.3 El mar de Dirac y la Teoría del Agujero

3.4 Ecuación de Poveda-Poirier-Grave de Peralta (PPGP)

3.5 Relación entre las Ecuaciones de PPGP y Klein-Gordon

3.6 Partícula Relativista Atrapada en un Pozo Unidimensional Infinito

3.7 Haz de Partículas Relativistas en un Potencial Constante

4. Otros Problemas Unidimensionales

4.1 Oscilador Armónico

4.2 Haz de Partículas que Arriba a un Potencial Escalón

4.3 Partículas, Antipartículas, y Estados Cuánticos Exóticos con Energía Cinética Negativa

5. Mecánica Cuántica Tridimensional

5.1 Pozo Cúbico Infinito

5.2 El Potencial de Coulomb

5.3 Espectro del Átomo de Hidrógeno

6. Momento Angular

6.1 Momento Angular Orbital

6.2 Espín

6.3 Electrón en un Campo Magnético

6.4 Ecuaciones de PPGP tipo Pauli

6.5 El Átomo de Hidrógeno

7. Partículas Idénticas

7.1 Átomos

7.2 Gas de Fermi

7.3 Sólidos cristalinos

8. Algunas Consecuencias de la Relatividad para la Mecánica Cuántica

8.1 Los Átomos no Pueden Ser Muy Pesados

8.2 Una Posible Frontera entre el Mundo Clásico y el Mundo Cuántico

8.3 Sobre la Asimetría Observada entre Materia y Antimateria

Anexos

Anexo A: Ecuaciones de Onda Relativistas Tipo Schrödinger y Pauli

Anexo B: Ecuación de Dirac

Anexo C: Clásico vs Cuántico

Anexo D: Antipartículas

Anexo E: Una Partícula Cuántica Relativista Confinada en una Pequeña Región Espacial

Anexo F: Formalismo Matemático de la Mecánica Cuántica

Anexo G: Acerca de la No Linealidad de las Ecuaciones de PPGP

Anexo H: El Valor Pedagógico de las Ecuaciones de PPGP

Anexo I: El Valor Heurístico de las Ecuaciones de PPGP

Capítulo 1: Necesidad de la Mecánica Cuántica

La mecánica cuántica fue descubierta en la tercera década del siglo XX. En ese momento, los físicos intentaban explicar fenómenos que involucraban átomos y moléculas. La mecánica cuántica se desarrolló originalmente como la mecánica del mundo submicroscópico. Por lo tanto, el concepto de partículas cuánticas se refería a las moléculas, los átomos y las partículas que forman los átomos. A continuación, se mencionan y explican algunos de los fenómenos que motivaron el desarrollo de la mecánica cuántica.

La Estabilidad de los Átomos

Un gran número de átomos son estables. Un átomo de número atómico Z está formado por un núcleo con carga eZ y Z electrones de carga negativa con carga -e. Los electrones son atraídos por el núcleo, por lo que su aceleración no es nula. El electromagnetismo clásico predice que cualquier partícula cargada que se mueva con una aceleración no nula debe radiar, por lo que finalmente debe perder energía. La física clásica predice que los electrones en un átomo deben perder energía y finalmente caerán hacia el núcleo. Los átomos no deberían ser estables en teoría, pero muchos son estables. Dicho esto, la necesidad de una visión nueva en física era esencial para explicar la estabilidad observada en muchos átomos.

Los átomos absorben y emiten radiación electromagnética y los espectros de absorción y emisión están formados por un conjunto discreto de líneas

Fig. 1.1 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. Existe un conjunto discreto de posibles órbitas electrónicas. La energía del electrón (E) es mayor en las órbitas externas. Se emite un fotón cuando el electrón salta a una órbita interior. La frecuencia de la radiación emitida está determinada por la relación ΔE = hν.

Varias décadas antes del descubrimiento de la ecuación de Schrödinger en 1925, Max Planck y Albert Einstein tenían una propuesta. Esta propuesta establecía que la frecuencia (ν) de la radiación electromagnética que emite o absorbe un átomo es proporcional a la energía interna (ΔE) perdida o ganada por el átomo. Respectivamente, esto está representado por:

En la Ec. (1.1), h representa la constante de Planck. Era conocido experimentalmente a principios del siglo XX que los átomos únicamente absorben y emiten conjuntos discretos de frecuencias. Como resultado, la energía interna de los átomos sólo debería tomar un conjunto discreto de valores. En el año 1913, Niels Bohr propuso que el electrón en un átomo tiene órbitas con un espectro discreto de energía. Esto se representa en la Fig. 1.1 anterior. En el modelo de Bohr, ΔE, es la diferencia de energía de los electrones en diferentes órbitas.

Fig. 1.2 La longitud de una posible órbita electrónica (2πr) debe ser igual a un múltiplo de la longitud de onda de De Broglie (λ) asociada al momento lineal del electrón (p).

Posteriormente (Fig. 1.2), utilizando las ideas propuestas en 1924 por Louis De Broglie, se explicó la estabilidad de las órbitas del electrón suponiendo que existe una onda asociada a cualquier partícula con masa. La longitud de las órbitas estables debe ser igual a un múltiplo de la longitud de onda que corresponde a un electrón con una magnitud de su momento lineal (p):

Las Partículas Son de Alguna Manera Ondas

Cuando estas ecuaciones se aplican a los electrones en los átomos, las Ecs. (1.1) y 1.2 mezclan las propiedades de una partícula subatómica con las propiedades de una onda. La frecuencia y la longitud de onda son propiedades de las ondas. Son propiedades de algo que no está espacialmente localizado, sino que está distribuido en una región espacial. Sin embargo, ΔE y p son propiedades de una partícula subatómica, propiedades de algo que está altamente localizado en el espacio o incluso es un punto matemático con masa. Se requería una nueva física para explicar la naturaleza de la relación entre una partícula cuántica y la onda asociada con ella.

Espectro del Átomo de Hidrógeno

El átomo de hidrógeno es el átomo más simple conocido en el universo. Se forma debido a la interacción de un solo electrón con un solo protón. La simplicidad del átomo de hidrógeno ayudó a los físicos experimentales y teóricos a determinar el desarrollo de la mecánica cuántica. A continuación, se resume el espectro del átomo de hidrógeno en relación con los principales resultados experimentales y teóricos.

Series Espectrales del Átomo de Hidrógeno

En 1880, Johannes Rydberg descubrió experimental y empíricamente la fórmula de Rydberg:

Fig. 1.3 (a) Esquema de la estructura del espectro del átomo de hidrógeno, (b) ilustración de las líneas de emisión de la serie Lyman, (c) estructura fina del doblete de la línea Lyman-α.

En la Ec. (1.3), n y nꞌ son números enteros positivos, λ es la longitud de onda de la luz emitida o absorbida por el átomo, y Z es el número atómico de un átomo similar al hidrógeno porque tiene un único electrón. La fórmula de Rydberg es una receta para determinar un conjunto de valores de λ correspondientes a las líneas experimentales en los espectros de átomos similares al hidrógeno. Más tarde, en 1913, el modelo de Bohr proporcionó una explicación semicuantitativa de la fórmula de Rydberg. En 1925, Erwin Schrödinger derivó la fórmula de Rydberg a partir de la solución de la famosa ecuación que hoy lleva su nombre. Teóricamente, Schrödinger obtuvo una fórmula para la constante de Rydberg que se corresponde satisfactoriamente con su valor experimental:

En la Ec. (1.4), me representa la masa del electrón, e la carga de un protón, c representa la velocidad de la luz en el vacío, y εo es la constante dieléctrica del vacío.

La Fig. 1.3(a) muestra un esquema del funcionalismo estructural del espectro del átomo de hidrógeno. Esto se observa y se obtiene utilizando un espectrómetro con una resolución mínima. En el espectro se pueden identificar varias series de líneas. Por ejemplo, la Serie de Lyman corresponde a nꞌ = 1 y n ≥ 2 en la fórmula de Rydberg (Fig. 1.3(b)).

Estructura Fina de las Líneas Espectrales del Átomo de Hidrógeno

Sin embargo, si se utilizara un espectrómetro de mejor resolución para observar el espectro del átomo de hidrógeno, quedaría claro que en muchos casos una única línea espectral está formada por un conjunto de varias líneas próximas entre sí. Por ejemplo, la Fig. 1.3(c) muestra que se observan dos líneas cercanas donde debería aparecer una sola línea correspondiente a la línea Lyman-α. El doblete Lyman-α correspondiente a la transición electrónica de n = 2 a nꞌ = 1 se ejemplifica en la Fig. 1.3(c).

Fig. 1.4 Esquema de la explicación teórica de la estructura fina de la línea Lyman-α.

Como se muestra en la Fig. 1.4, una explicación teórica del doblete Lyman-α incluye la existencia del espín del electrón y la introducción de la teoría especial de la relatividad en la mecánica cuántica. ¿Cómo se puede lograr esto? se discutirá más adelante, comenzando en el Capítulo 3. El resultado neto es que la energía del electrón en el átomo de hidrógeno no depende de uno, sino de dos números cuánticos, el número cuántico principal [n = 1, 2 , …], y el número cuántico de momento angular total [j = 1/2, 3/2,…].

Estructura Hiperfina y Corrimiento Lamb