Álgebra en todas partes

Por José Antonio Peña

Aunque algunos temas de álgebra le serán ya familiares al lector, como el teorema de Pitágoras, otros constituirán una novedad, y así encontrará, entre otros apasionantes temas, un estudio de la teoría de los autómatas y la relación que esto guarda con la derrota del campeón de ajedrez Kasparov "a manos" de una computadora; y una explicación de la demostración del último teorema de Fermat, acerca de la que escribieron todos los periódicos del mundo en 1994, entre otros apasionantes temas.

• Idioma: Español
• Editorial: Fondo de Cultura Económica
• Fecha de lanzamiento: 24 ene 2019
• ISBN: 9786071634634

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BORGES

I. De los dedos de las manos

a las computadoras

Dios hizo los números naturales,

lo demás es creación de los hombres.

GIUSEPPE PEANO

LAS dos primeras preguntas que hace un adulto a un niño que se encuentra por primera vez son: ¿Cómo te llamas? y ¿cuántos años tienes?

Generalmente, si el niño puede contestar la primera pregunta también podrá contestar la segunda, aunque sea indicando la respuesta con los dedos.

En efecto, el primer contacto de un niño con las matemáticas se da muy pronto en su vida. El pequeño aprende su edad y a contar algunos de los objetos que le rodean. Al menos hasta el diez, el número de dedos de las manos.

Los primeros hombres, como todavía lo hacen algunos pueblos primitivos, sólo necesitaban números pequeños y los formaban con los dedos de la mano. A medida que la sociedad fue evolucionando, hubo que hacer cálculos más complicados. Lo primero que se tuvo que hacer es encontrar la forma de indicar números mayores que diez. Por ejemplo, usando los dedos y otras partes del cuerpo, los miembros de la tribu sibiller de Nueva Guinea, cuentan hasta el 27. En la figura I.1 se ve un niño que imita la manera de contar de esta tribu y utiliza su índice derecho para señalar los dedos de la mano izquierda para contar del 1 al 5. Después usa su muñeca izquierda, antebrazo, codo, bíceps, clavícula, hombro, oreja y ojo para contar del 6 al 13. La nariz es el 14, luego señalando con el índice izquierdo baja del ojo hasta el meñique para los números del 15 al 27.

Figura I.1. Niño imitando la forma de contar en la tribu sibiller.

Un pueblo tan avanzado como el de los romanos tenía un sistema de numeración bastante primitivo y poco práctico. Todos conocemos los números romanos I, II, III, IV, V… Para convencerse de lo poco práctico de este sistema de numeración basta tratar de efectuar una suma como XLI + XCIX. En la figura I.2 se puede comparar cómo se escriben los primeros numerales en diferentes culturas.

Figura I.2. Los numerales en diferentes sistemas de numeración.

Se cree que la notación que usamos para los numerales —1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9— tiene origen hindú. Alrededor del siglo X los árabes tomaron estos conocimientos de los hindúes e introdujeron su uso en España, de donde posteriormente pasaron a toda Europa. La forma de nuestros números nos es tan familiar que no estamos conscientes de la lenta evolución por la que pasaron a lo largo de siglos. En la figura I.3 podemos ver algunos pasos de esta evolución.

Figura I.3. La evolución de los números arábigos.

Parece que el sistema posicional en base 10 que usamos comenzó a usarse en la India alrededor del año 500 de nuestra era. Una vez conocido este sistema, los únicos dígitos importantes son los que denotan del 1 al 9 y el 0, que son los que se conservaron y evolucionaron hasta llegar a los números actuales. Pero la notación posicional no se popularizó sino hasta el siglo IX, después de que el matemático Al-Juarizmi de Bagdad (Mohamed ibn Musa) escribió un tratado de aritmética dirigido a los comerciantes donde recomendaba el uso de este sistema. Luego, poco a poco, el sistema decimal fue siendo aceptado en Europa. Es interesante saber que en el siglo XIII el gobierno de Florencia dictó leyes contra este sistema, pues se decía propiciaba la falsificación de billetes de banco, que podían ser fácilmente alterados para tener otra denominación.

SISTEMAS POSICIONALES

Considere un número positivo en nuestro sistema de numeración, como por ejemplo el 23 107. Sabemos desde la primaria que el primer dígito a la derecha (en este caso, el 7) corresponde a las unidades, el siguiente hacia la izquierda (el 0) a las decenas, luego (el 1) a las centenas y así sucesivamente. De esta manera tenemos que 23 107 es una abreviatura de la expresión:

23 107 = 2 × 10 000 + 3 × 1 000 + 1 × 100 + 0 × 10 + 7 × 1

= 2 × 10⁴ + 3 × 10³ + 1 × 10² + 7 × 10⁰

donde usamos la convención de que 10m = 10 × 10 × … × 10 (m veces) representa un 1 seguido de m ceros. Mas en general, cualquier entero positivo n puede representarse en notación decimal como:

n = arar–1 … a0

donde cada letra ai es un dígito entre 0 y 9, de forma que la expresión de n en notación decimal es una abreviatura de:

n = ar · 10r + ar−1 · 10r−1 + ··· a0.

En el ejemplo de arriba, tenemos que a0 = 7, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 3 y a4 = 2 para formar el número 23 107. Todo esto puede generalizarse tomando un entero positivo cualquiera b > 1 como base. Cualquier número n puede escribirse como:

n = br · br + br−1 · br−1 ··· + b0

con br, br−1, …, b0 números enteros entre 0, 1, …, b−1. La expresión obtenida de esta manera:

n = brbr−1 … b0

se llama la representación posicional de n en base b.

Por ejemplo, el número 23 107 se escribiría en base 8 de la siguiente manera: 55 103, ya que:

5 × 8⁴ + 5 × 8³ + 1 × 8² + 0 × 8¹ + 3 × 8⁰

= 20 480 + 2 560 + 64 + 3 = 23 107.

Donde, por supuesto, 8⁴ = 8 × 8 × 8 × 8, 8³ = 8 × 8 × 8, etc. En base 16, este mismo número 23 107 se escribiría 5 a43, donde la letra "a" denota el número 10 correspondiente a la base 16, esto es:

5 × 16³ + 10 × 16² + 4 × 16 + 3 = 23 107.

Varios sistemas posicionales con diferentes bases han sido usados a lo largo de la historia, aunque la base 10 ha sido la dominante. Por ejemplo, los mayas usaban base 20, los babilonios usaban base 60. Para indicar la hora, nuestros relojes hoy en día usan todavía una combinación de base 12 y base 60 (si decimos que son las 2 horas 23 minutos y 11 segundos de la mañana, queremos decir que han transcurrido 2 × 60² + 23 × 60 + 11 = 8 591 segundos del día).

El sistema posicional de base 2 se llama sistema binario y es el sistema que utilizan las computadoras electrónicas. Nuestro número 23 107 se escribe como 101101001000011 en sistema binario. (¿Por qué?)

La razón por la que el sistema binario se utiliza en las computadoras es la siguiente: podemos pensar en una fila de focos que pueden estar apagados o prendidos. Si un foco está apagado indica que en ese lugar el dígito correspondiente es 0, si está prendido el dígito es el 1. Así nuestro número 23 107 se puede ver como la fila de focos siguiente:

Figura I.4. El número 23 107 en sistema binario.

Una computadora funciona por medio del flujo de la corriente eléctrica. De esta manera, un 1 indica que la corriente pasa por una puerta magnética, mientras que un 0 indica que la corriente no puede pasar por la puerta correspondiente.

ÁBACOS Y COMPUTADORAS

¿Puedes sumar? Preguntó la Reina Blanca.

"¿Cuánto es uno y uno y uno y uno y uno y uno

y uno y uno y uno?"

No sé, dijo Alicia, perdí la cuenta.

No sabe sumar, interrumpió la Reina Roja…

Alicia a través del espejo, LEWIS CARROLL

Contar es el uso más elemental que se da a los números. También se hacen operaciones con ellos: sumar, restar, multiplicar, dividir, y tal vez otras operaciones más complejas.

La mayoría de los sistemas de numeración que se usaron en la Antigüedad no eran muy adecuados para realizar operaciones. Solamente la introducción de los sistemas posicionales (en particular, el de base 10) facilitó las operaciones aritméticas.

Desde tiempos remotos se ha tratado de diseñar aparatos que simplifiquen y hagan más rápidas las cuentas aritméticas. Tal vez uno de los más antiguos es el ábaco, que es un invento simple y eficiente que aún se usa en muchos países. Aparentemente fue inventado en Babilonia hace más de 5 000 años, pero son los chinos los que lo llevaron a la forma en que se usa actualmente.

El ábaco tiene fichas móviles colocadas en filas en un tablero. Cada fila tiene 5 fichas divididas en 2 grupos: un grupo tiene 4 fichas, el otro sólo una. La primera fila indica las unidades, la segunda las decenas, la tercera las centenas y así sucesivamente. La ficha aislada de la primera fila vale 5, todas las otras valen 1; la ficha aislada de la segunda fila vale 50, las otras 4 valen 10 cada una, etc. Para escribir un número se hace en sistema decimal pegando las fichas necesarias al travesaño intermedio del ábaco. En la figura I.5 indicamos cómo se escriben algunos números en el ábaco.

Sumar con el ábaco es sencillo. Por ejemplo, consideremos la suma de 347 y 282. Escribimos el primer número en el ábaco. En seguida tratamos de agregar el segundo número con las fichas. Comenzamos por las centenas: agregamos 2 fichas. Seguimos con las decenas: debemos agregar 8 fichas, pero no las hay disponibles. Pero 80 = 100 − 20, entonces si agregamos una ficha en la fila de las centenas y quitamos 2 en la fila de las decenas, habremos sumado 80. Sumar 2 unidades es sencillo. El resultado de la suma queda escrito en el ábaco. En la figura I.6 ilustramos los pasos anteriores.

Figura I.5. Contando con el ábaco.

Figura I.6. Sumando 347 + 282.

Hasta hace unos 20 años eran frecuentes los torneos aritméticos en que se enfrentaban personas que usaban el ábaco hábilmente (generalmente orientales) en contra de personas con calculadoras electrónicas. El resultado era que el ábaco se imponía siempre. No sé cuán verídicas sean estas historias, pero es cierto que en algunos países, como China y Japón, hay una gran tradición del uso del ábaco y algunas personas lo saben usar con habilidad sorprendente.

Muchas han sido las máquinas que los hombres han inventado para facilitar las operaciones. Es sorprendente que, en 1900, unos pescadores encontraron en el mar Egeo parte de un mecanismo con engranajes que parece datar de la Grecia clásica. Aparentemente este mecanismo formaba parte de una calculadora que permitía hacer operaciones aritméticas. En tiempos más cercanos, en el siglo XVII, John Napier construyó una calculadora de bolsillo para multiplicar. Blaise Pascal, en Francia, construyó una máquina que permitía sumar y restar mecánicamente. Ciertamente el tamaño de esta máquina era mucho mayor que el de una moderna calculadora de bolsillo.

Alrededor de 1830, el matemático e inventor inglés Charles Babbage diseñó una máquina programable, el ingenio analítico, que es el precursor de las modernas computadoras digitales. Babbage quería que su máquina tuviera la capacidad de realizar cualquier operación aritmética con base en instrucciones de tarjetas perforadas, una unidad de memoria en donde se almacenaran números, una unidad de control secuencial y casi todos los elementos que contiene una moderna computadora. Su máquina nunca pudo funcionar debido a problemas técnicos con la fabricación de piezas delicadas. Sus proyectos fueron olvidados y se volvió a saber de ellos sólo con el descubrimiento de sus diarios en 1937. Sin embargo, las ideas de Babbage eran correctas y él, junto con Ada Lovelace (hija de Lord Byron), fueron los primeros en idear lenguajes de computadora. A Lovelace se atribuye la frase las computadoras sólo saben hacer lo que se les indica que hagan, sin embargo creía que el ingenio analítico podría componer refinadas piezas de música de cualquier complejidad y extensión.

A partir de los años cincuenta, el acelerado crecimiento y desarrollo de la tecnología de las computadoras han tenido gran repercusión en el mundo y lo han modificado de manera permanente. En 1946, la primera computadora electrónica, ENIAC, comenzó a funcionar en la Universidad de Princeton; era capaz de realizar 5 000 sumas por segundo. En la actualidad hay supercomputadoras que pueden efectuar millones de operaciones por segundo. Hoy, prácticamente todas las actividades humanas están relacionadas, controladas o apoyadas por alguna computadora. Pero su uso se masificó hace menos de 15 años, con la llegada de las computadoras personales que han permitido a mucha gente el acceso directo a la computación.

Figura I.7. Componente de una computadora moderna.

ADIVINA EL NÚMERO

QUE ESTOY PENSANDO

One and one and one is three.

Try to be good looking cause you’re so hard to see.

Come together, LOS BEATLES

Hay un juego llamado las Veinte preguntas. Alguien piensa el nombre de un personaje histórico y los demás tienen que adivinar de quién se trata haciendo sólo 20 preguntas que pueden contestarse con sí o no. Proponemos la siguiente variante del juego. Se le pide a alguien que piense un número entre 1 y 1 000 000. Hay que adivinar el número haciendo cuando más 20 preguntas que puedan contestarse con sí o no. ¿Cuáles preguntas hay que hacer para ganar?

Solución. La solución es usar el sistema posicional base 2. Comencemos por números pequeños. ¿Cuántas cifras se requieren para escribir 13 en base 2? En base 2, el número 13 es: 1 101. Se requieren cuatro cifras. Podríamos por tanto saber que la otra persona ha pensado el número 13 haciendo cuatro preguntas. ¿Cuáles? El 1 más a la izquierda de 1 101 quiere decir que nuestro número es mayor o igual que 2³ = 8; el siguiente 1 quiere decir que de los 8 números que quedan entre 2³ = 8 y 2⁴ = 16, nuestro número está en la mitad de más arriba (es decir, es mayor o igual que 2³ + 2² = 12); el siguiente 0 indica que de los números que quedan (12, 13, 14, 15 y 16), el nuestro está en la mitad de abajo (es decir, es menor que 2³ + 2² + 2¹ = 14). El último 1 ubica precisamente al número 13.

Regresemos a la pregunta original. Usando una calculadora sabemos que 2²⁰ = 1 048 576. Por lo tanto, todo número entre 1