Introducción a la teoría de la probabilidad

Por Humberto Llinás Solano

Este libro, dirigido a un público amplio, surge a partir de las notas de clases de la asignatura Teoría de la Probabilidad, impartida por el autor en los programas de posgrados de Estadística y de Ingeniería de la Universidad del Norte (Colombia). Contiene citas originales e información clave acerca del devenir histórico de esta materia, y desarrolla matemáticamente los aspectos más importantes relacionados con la Teoría de la Probabilidad. Todo ello le permitirá al lector tener un enfoque general de los avances teóricos de esta materia, conocer biografías breves de algunos de los matemáticos que contribuyeron significativamente a su desarrollo y ejercitar, mediante la resolución de problemas, la comprensión de los contenidos.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad del Norte
• Fecha de lanzamiento: 21 may 2018
• ISBN: 9789587419252

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CAPÍTULO 1

Probabilidad

1.1 Experimentos y espacios muestrales

Die Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematische Disziplin soll und kann genau in demselben Sinne axiomatisiert werden wie die Geometrie oder die Algebra. Das bedeutet, daß, nachdem die Namen der zu untersuchenden Gegenstände und ihrer Grundbeziehungen sowie die Axiome, denen diese ¹ Grundbeziehungen zu gehorchen haben, angegeben sind, die ganze wietere Darstellung sich ausschließlich auf diese Axiome gründen soll und keine Rücksicht auf die jeweilige konkrete Bedeutung dieser Gegenstände und Beziehungen nehemen darf. (A.N KOLMOGOROV [41, pág.1])

La validez de la mayoría de las teorías científicas está basada, en gran parte, en que los experimentos sobre los cuales se fundamentan las teorías suministran esencialmente el mismo resultado cuando estos se repiten. Por lo tanto, los llamamos EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS. Un ejemplo de la física es la ley de la caída libre , Sin embargo, hay experimentos cuyos resultados no son determinados si las condiciones de los intentos se mantienen constante; a estos se les llama EXPERIMENTOS ALEATORIOS o ESTOCÁSTICOS.

Definición 1.1.1 Ω, el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, se llama ESPACIO MUESTRAL. Los elementos ω ∈ Ω (también las posibles salidas) se llaman PUNTOS MUESTRALES.

Definición 1.1.2 El espacio muestral Ω se llama DISCRETO si es finito o numerable. Un experimento aleatorio se llama FINITO (DISCRETO) si su espacio muestral es finito (discreto). El espacio muestral se llama CONTINUO si es un intervalo.

1.2 σ- álgebras

Dieser Name [es decir, el nombre cuerpo] soll, änhlich wie in den Naturwissenschaften, in der Geometrie und im Leben der menschlichen Gesellschaft, auch hier ein System bezeichnen, das eine gewisse Vollständigkeit, Vollkommenheit², Abgeschlossenheit besitzt, wodurch es als ein organisches Ganzes, als eine natürliche Einheit erscheint. (R. DEDEKIND en la página 452 del suplemento XI del libro de DIRICHLET Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Auflage (1894), sección 160)

Es importante resaltar que no todo subconjunto de un espacio muestral es un evento. Para que pueda ser catalogado así, dicho evento debe ser un elemento de un conjunto que tiene la estructura de σ-álgebra, concepto que se explicará a continuación.

Definición 1.2.1 La dupla (Ω, ) se llama ESPACIO MEDIBLE si Ω ≠ ∅ y una σ-ÁLGEBRA (en Ω), es decir, un sistema de subconjuntos de un conjunto que posee las siguientes propiedades:

(a) Ω ∈

(b) Si A ∈ , entonces Ā := Ω \ A ∈

(c) Si A 1 , A 2 ,… ∈ , entonces

Los elementos de se llaman CONJUNTOS MEDIBLES o EVENTOS. Todo evento con un solo elemento se llama EVENTO ELEMENTAL.

Observación

Obviamente, se cumple que . Con A1, A2,… ∈ , la intersección = también está en . Con A, B ∈ , los conjuntos A ∩ B, A ∪ B, y la conocida diferencia simétrica A△B := (A \ B) ∪ (B \ A) también están en .

Ejemplo 1.2.2 Sea Ω ≠∅ dado.

(a) El conjunto potencia (Ω) := { A/A ⊆ Ω } de Ω es la σ- álgebra más grande en Ω. También se llama la " σ- ÁLGEBRA TOTAL ".

(b) Sea Ω un espacio discreto y una σ- álgebra en Ω que una contiene a todos los subconjuntos unitarios. Entonces debe ser el conjunto potencia de Ω, ya que para cada A ⊆ Ω se tiene (ya que con Ω también A es discreto)

(c) El conjunto {∅ , Ω } es la σ- álgebra más pequeña en Ω. También es conocida como " σ- ÁLGEBRA TRIVIAL " o VACÍA .

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1.2.1 σ- álgebra