Introducción a la estadística matemática

Por Humberto Llinás Solano

Este manual fue desarrollado a partir de las notas de clases de la asignatura Estadística Matemática, impartida por el autor en los programas de postgrados de Estadística e Ingeniería de la Universidad del Norte (Colombia). Consta de cinco capítulos: Preliminares, Distribuciones muestrales, Estimación, Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis; al final de cada capítulo se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los estudiantes afianzar sus destrezas frente a los temas tratados.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad del Norte
• Fecha de lanzamiento: 21 may 2018
• ISBN: 9789587419221

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CAPÍTULO 1

Preliminares

1.1 Algunas distribuciones de probabilidad

Je reviens actuellement au cas où les chances p et q de deux événements E et F sont constantes, et je vais considérer la probabilité que dans un nombre μ on m + n d’épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. Cette probabilité ... la désignant par P ... Je suppose que q soit une très petite fraction, ou que ce soit l’événement F qui ait une très faible probabilité. Dans¹ une très grand nombre μ d’épreuves, le rapport du nombre de fois que F arrivera à ce nombre μ sera aussi une très petite fraction; ... faisant qμ = ω, ... par conséquent, ...

, pour la probabilité qu’un événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite , arrivera pas plus de n fois dans un très grand nombre μ d’épreuves. (POISSON [80, págs. 189,206])

1.1.1 Distribuciones especiales

1. Distribuciones especiales discretas :

Uniforme discreta, de Bernoulli, binomial, de Poisson, hipergeométrica, binomial negativa, geométrica, de Polya, multinomial, etc.

2. Distribuciones especiales continuas :

Uniforme continua, normal, gamma, exponencial, t de Student, chicuadrada, F de Fisher, Cauchy, Beta, de Laplace, Log-normal, de Rayleigh, Weibull, de Maxwell, del valor extremo, etc.

En las tablas 7 y 8 del apéndice se presenta un resumen detallado de las distribuciones discretas y continuas, respectivamente, más importantes. De todas formas, presentamos algunas de las distribuciones discretas y continuas más relevantes². Por ejemplo, una de las distribuciones discretas más importantes es la binomial.

Definición 1.1.1 Una variable aleatoria X tiene distribución binomial con parámetros n y p, en símbolos , si su función de probabildiad es

Ejemplo 1.1.2 Una moneda no falsa es lanzada 10 veces. Consideraremos el evento cara como un éxito y sello como un fracaso. Es claro que p = 0.5, n = 10 y las condiciones básicas que caracterizan a la distribución binomial se satisfacen; por consiguiente,

•La probabilidad de tener éxito exactamente 7 veces es P ( X = 7) ≈ 0 . 1172.

•La probabilidad de tener por lo menos 7 éxitos es P ( X ≥ 7) ≈ 0 . 171875.

•La probabilidad de tener a lo más 7 éxitos es P ( X ≤ 7) ≈ 0 , 945313 .

•La probabilidad de ningún éxito es P ( X = 0) ≈ 0 . 0009766.

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Cuando n = 1, la distribución binomial coincide con la distribución de Bernoulli B(1, p). La distribución binomial se debe a JACOB BERNOULLI (1654-1705;51), uno de los primeros matemáticos que trabajaron en la teoría de la probabilidad. J. BERNOULLI y su hermano JOHANN BERNOULLI (1667-1748;81) fomaron parte de los famosos alumnos de G.W. LEIBNIZ (1646-1716;70). A J. BERNOULLI se le debe el Ars Conjectandis, una de las primeras obras sobre cálculo de probabilidades. Dicha obra contiene afirmaciones esenciales, en especial sobre la distribución binomial. Por esta razón, la distribución binomial a menudo se encuentra en la literatura bajo el nombre de distribución de Bernoulli.

Figura 1.1: Gráfica de f para la distribución binomial para varios valores de n pero fijo np = 3

Otra distribución discreta importante en la estadística es la distribución de Poisson.

Definición 1.1.3 Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson con parámetro α > 0, en símbolos, , si su función de probabildiad es

La distribución de Poisson se debe a S.D. POISSON (1781-1840;59), uno de los matemáticos franceses extraordinariamente productivos, cuyo nombre está asociado a numerosos conceptos de la matemática (por ejemplo, integral de Poisson, igualdad de Poisson en la teoría de potenciales).

Figura 1.2: Distribuciones de Poisson para varios valores de α

POISSON [80, pág. 206] encontró esta distribución en su forma cumulativa como un límite de la distribución binomial cuando el chance de un suceso es muy pequeño. Esta distribución aparece en una sola página de toda su obra (más exactamente en la página 206). El matemático y economista francés ANTOINE-AUGUSTIN COURNOT (1801-1877;76) la volvió a publicar en 1843 (ver [15, págs. 331-332]) con cálculos que demostraban la efectividad de la aproximación.

Como la distribución de Poisson es la distribución límite de la distribución binomial cuando n es grande y p pequeño, es conocida también con el nombre de DISTRIBUCIÓN DE LOS EVENTOS RAROS.

Ejemplo 1.1.4 Cierta compañía electrónica produce un tipo especial de tubo al vacío. Se ha observado que, en promedio, 3 tubos de 100 son defectuosos. La companía empaca los tubos en cajas de 400. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja de 400 tubos haya (a) 8, (b) a lo más 8, (c) por lo menos 8 tubos defectuosos?

SOLUCIÓN

Puesto que n = 400 es grande y p = 0.03 es pequeño, estas posibilidades pueden ser aproximadas usando la densidad de probabilidad de Poisson con λ = np = 12. Las respuestas a las preguntas formuladas serán P (X = 8) = 0, 0655233; P (X ≤ 8) = 0, 155028 y P (X ≥ 8) = 0, 910496, respectivamente.

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La distribución normal es la distribución de las variables continuas que se utiliza con más frecuencia en las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Constituye la base la base para el desarrollo de muchos de los métodos de la teoría estadística.

Definición 1.1.5 Una variable aleatoria tiene DISTRIBUCIÓN NORMAL con los parámetros

, en símbolos , si su función de densidad está dada por

.

Ejemplo 1.1.6 Suponga que los diámetros de bolas de golf producidas por una compañía están normalmente distribuidas con μ = 1.96 y σ = 0.04 pulgadas. Una bola de golf se considera defectuosa si su diámetro es menor que 1.90 pulgada o más grande que 2.02 pulgadas. El porcentaje de bolas defectuosas fabricadas por la compañía estará dado por

Por consiguiente, la compañía fabrica aproximadamente 13.4 % bolas de golf defectuosas.

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Figura 1.3: Gráfica de f en la distribución normal

Ahora presentamos las propiedades más importantes de la densidad normal:

Teorema 1.1.7 Sea

a para todo y todo y σ² > 0. Entonces:

(a) f ( x ) > 0 para todo y

, es decir, en realidad, f es una densidad de probabilidad.

(b)

(c) f ( x ) es simétrica con respecto a μ, es decir, f ( x + c ) = f ( x − c ) para todo c ∈ ℝ