Introducción al análisis de sistemas dinámicos

Por Gonzalo Edwards

Este libro brinda herramientas matemáticas utilizadas para modelar y analizar la evolución de sistemas que varían en el tiempo. Trata en profundidad la teoría de ecuaciones de diferencias y diferenciales, tanto para una como para múltiples variables.
La teoría se presenta a través de numerosos ejemplos y problemas propuestos, principalmente del área económica, que persiguen desarrollar la capacidad matemática y de modelamiento del lector. Especial énfasis se ha puesto en el planteamiento de problemas económicos y en el análisis de las soluciones, sin descuidar sus métodos.

• Idioma: Español
• Editorial: Ediciones UC
• Fecha de lanzamiento: 1 ene 2013
• ISBN: 9789561414365

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES

El objetivo principal de la primera parte de este libro es presentar una metodología para representar y analizar sistemas dinámicos uniecuacionales. Para lograr dicho objetivo se trabajará con sistemas planteados tanto en tiempo discreto como en tiempo continuo. En el primer caso, el instrumento matemático que se desarrollará es el de ecuaciones de diferencias, mientras que en el segundo habrá que estudiar el tema de ecuaciones diferenciales.

En este primer capítulo se introducen algunos modelos simples que tratan de desarrollar la capacidad de planteamiento del problema, que tiene que ver con cómo se representa la realidad en términos de ecuaciones; de solución del problema y de análisis de la solución, típicamente en términos de tasas de crecimiento, equilibrio y estabilidad.

Crecimiento geométrico y crecimiento exponencial

Tiempo discreto

Dentro de los modelos dinámicos en tiempo discreto, el más clásico es el modelo de crecimiento geométrico. El supuesto básico es que el valor de una variable en un período determinado, o período k, es igual al valor de dicha variable en el período anterior multiplicado por un factor a. Este fenómeno dinámico podría entonces describirse matemáticamente como

X(k+1) = a X(k)

Esto significa que

X(1) = a X(0)

X(2) = a X(1) = a² X(0)

X(3) = a X(2) = a³ X(0)

y en general

X(k) = ak X(0).

Ejemplo 1.1

Una situación típica donde se aplicaría el modelo de crecimiento geométrico anterior es cuando se deposita un monto X(0) en un banco a una tasa de interés constante e igual a r, durante varios períodos. En este caso, el saldo en la cuenta en los distintos períodos seguiría la relación X(k+1) = (1 + r) X(k) y la solución sería X(k) = X(0) (1 + r)k.

Ejemplo 1.2

El modelo anterior también se aplica cuando, por ejemplo, se sabe que la población de un país se duplica cada 20 años y se desea determinar el tiempo que demoraría en quintuplicarse. En este caso, si se supone que la tasa de crecimiento anual de la población a es constante, se tiene que X(k+1) = (1+a) X(k) y que X(20) = 2X(0). De aquí se desprende que

X(20) = (1+a)²⁰ X(0) = 2X(0)

con lo que a debe ser igual a 0,03526. Una vez obtenida la tasa anual de crecimiento, se debe encontrar k tal que

X(k) = (1+a)k X(0) = 1,03526k X(0) = 5 X(0)

Al despejar se obtiene que el tiempo que demorará la población en quintuplicarse es de aproximadamente 46,4 años.

Tiempo continuo

En tiempo continuo, el modelo de crecimiento exponencial es análogo al modelo de crecimiento geométrico recién visto. Lo que se postula es que el cambio experimentado por una variable X por unidad de tiempo es proporcional al valor de dicha variable.

En términos matemáticos, esto quiere decir que

donde dX(t)/dt es la derivada respecto al tiempo de la variable X(t).

Así, a es una constante que mide el cambio porcentual en la variable X(t) por unidad de tiempo.

La solución a esta ecuación diferencial es:

X(t) = X(0)eat

tal como se demuestra al derivar esta expresión respecto al tiempo

y al comprobar que X(0) = X(0) ea0.

Esta solución también se puede encontrar viendo que si

entonces

Si se integran ambos lados de la ecuación, se obtiene que

con lo cual,

In X(t) = at + c

X(t) = beat

Si se obliga a satisfacer la condición inicial, entonces la solución al sistema completo, incluida dicha condición, es X(t) = X(0)eat

Ejemplo 1.3

Suponga que la población de un país crece a una tasa anual de 5% a partir de una población inicial de 1 millón de personas, entonces al cabo de 4 años habría un total de personas igual a

Esta respuesta difiere de aquella que se derivaría de trabajar en tiempo discreto donde X(4) sería igual a X(4)=(1,05)⁴ 1.000.000 ≈ 1.215.506. La razón para esta diferencia es que el modelo discreto supone que el crecimiento ocurre una vez al año, mientras que el modelo continuo supone que esto ocurre en forma continua y permanente.

Ejemplo 1.4

El ejemplo siguiente sirve para clarificar el punto anterior. Suponga que usted deposita $ 1.000 en un banco al 12% anual. Si los intereses se calculan una vez al año, usted obviamente tendría $ 1.120 al cabo de un año.

El problema es determinar cuánta plata tendría usted en el banco si los intereses se calculan cada 6 meses, por ejemplo. En este caso, en el segundo semestre no solo habrá que calcular el interés sobre el monto inicial de $ 1.000, que sería de $ 60, al igual que en el primer semestre, sino que además habrá que calcular el interés sobre los $ 60 obtenidos en el primer semestre. Dicho de otra forma, la tasa de interés semestral es 12/2 = 6%. Sin embargo, al capitalizarse los intereses, al cabo de un año usted tendría $ 1.000 (1,06)2 = $ 1.123,6.

En términos generales, si los intereses se calculan n El Cuadro 1.1 muestra lo que ocurriría con su depósito al cabo de un año para distintos valores de n. Se puede ver que si el interés se calcula en forma continua, usted tendría $ 1.127,50 al cabo de un año. Este valor corresponde a

Debe señalarse que la tasa de interés en todos estos casos es de 12% anual. Lo que varía es la tasa de rendimiento. En general, la diferencia entre la tasa de interés y la tasa de rendimiento será mayor mientras más seguido se apliquen los intereses y mientras mayor sea la tasa de interés.

Cuadro 1.1

Rendimiento anual de un depósito de $ 1.000 en función de la periodicidad en la aplicación de intereses

Ejemplo 1.5

Suponga que ha decidido modelar la evolución del Producto Interno Bruto de Chile de acuerdo con la ecuación

Esto quiere decir que ha decidido suponer que la tasa de crecimiento es constante e igual a a. La solución, como ya se vio, es

X(t) = X(0) eat

El problema es estimar dicha tasa de crecimiento. Suponga que para hacerlo, en primer lugar linealizó la ecuación. Así,

ln X(t) = ln X(0) + a t

En segundo lugar, suponga que estimó esta ecuación usando el método de mínimos cuadrados ordinarios y la evolución del Producto Interno Bruto, PIB, de Chile en el período 1986-2010.

La evolución del PIB se presenta en el Cuadro 1.2.

Cuadro 1.2

Evolución del Producto Interno Bruto de Chile en el período 1986-2010 (en millones de pesos del año base 2003)

Fuente: Banco Central de Chile. Cuentas Nacionales de Chile, 1986-2010.

La ecuación estimada fue

ln X(t) = 16,8855 + 0,0518 t.

Como dln X(t)/dt = 0,0518, se desprende que

X(t) = A e⁰,⁰⁵¹⁸t

La tasa de crecimiento estimada es una tasa continua, con lo cual si el ingreso en un período es de 1.000, el Producto Interno Bruto estimado para el período siguiente no es de 1.051,8, sino de 1.000 e⁰,⁰⁵¹⁸ = 1.053,2.

Crecimiento con entradas o salidas

Tiempo discreto

Los modelos anteriores pueden ser modificados para incorporar la posibilidad de entradas o salidas al sistema. Para ello se verá, en primer lugar, el sistema dinámico en tiempo discreto con entrada constante. Así,

X(k+1) = a X(k) + b

Claramente, si b es igual a cero, no habría diferencia con el modelo de crecimiento geométrico anterior. Sin embargo, el caso más general es cuando b, llamado entrada del sistema, es distinto de cero. Este sería el caso, por ejemplo, de un modelo de población que incluyera inmigraciones o emigraciones. La evolución de este sistema puede describirse de la siguiente forma:

X(1) = a X(0) + b

X(2) = a X(1) + b = a² X(0) + ab + b

X(3) = a X(2) + b = a³ X(0) + a² b + ab + b

y en general

X(k) = ak X(0) + ak-1 b + ak-2 b + … + ab + b

= ak X(0) + [ak-1 + ak-2 + … + a + 1] b

Ahora bien, si a es igual a 1, es claro que

X(k) = X(0) + kb

Un ejemplo de esta situación podría ser el de una cuenta corriente, cuyo saldo solo depende de los abonos o giros que se realicen, b.

Si a es distinto de 1, la expresión ak-1 + … + a + 1 es igual a

Así, la solución general al sistema X(k+1) = a X(k) + b sería

Ejemplo 1.6: Interés y amortización

Suponga que usted tiene D pesos depositados en un banco a una tasa de interés anual, r, y que desea saber cuánto es el máximo que puede retirar al final de cada uno de los próximos n años.

Si se define X(k) como la cantidad que está depositada a comienzos del año k, y b como el monto que se retira al final de cada año, entonces

X(k+1) = (1 + r) X(k) - b.

Esta situación se puede representar como:

La solución a este sistema es, usando los resultados anteriores,

Como se desea determinar el monto máximo que puede retirarse al final de cada uno de los próximos n años (i.e., al final del año 0, 1, 2, …, n-1), debe cumplirse que X(n) = 0. Dado que X(0) = D, se debe cumplir que

o bien

b = Dr/[1-(1+r)-n].

A modo de ejemplo, si se parte con D = $ 100.000, r = 10%, entonces usted podría retirar al final de cada uno de los próximos cinco años un monto igual a $ 26.379,75.

Para terminar este ejemplo, se destaca que en modelos en tiempo discreto, es fundamental definir claramente los supuestos acerca del momento en que se miden las variables, principio o final de período.

Ejemplo 1.7: El modelo de la telaraña

El modelo de la telaraña es un modelo que persigue describir la evolución de los precios en mercados agrícolas, donde la producción tiene un rezago entre el momento de la siembra y el momento de la cosecha. Supone que los productores predicen al momento de sembrar que los precios para su cosecha serán iguales a los de la temporada recién pasada. Como la evolución de los precios es el resultado de un modelo más general de oferta y demanda, a continuación se presenta dicho modelo, para luego deducir la ecuación de diferencias que rige el comportamiento de los precios.

En términos matemáticos, este modelo supone que la demanda por un producto en el período k está dada por

D(k) = d0 - a P(k)

y que la oferta tiene un rezago, y depende del precio esperado E[P(k)] que se supone igual a P(k-1). Con esto,

S(k) = So + b P(k-1).

Ahora bien, si se supone que en cada período la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada, entonces debe cumplirse que

d0 - a P(k) = S0 + b P(k-1)

Esto implica que

Esta es la ecuación que define la evolución de los precios. Es posible comprobar, tal como se desprende al usar la solución general anterior, que la solución en este caso es

En muchos ejemplos que se expresan matemáticamente como ecuaciones de diferencias, lo más importante es saber hacia dónde tiende la variable. En este ejemplo, si b es menor que a, el término (-b/a)k tendería a cero cuando k tiende a infinito y P(k) tendería a(d0 - S0)/(a + b).

Es importante señalar que la expresión (d0 - S0)/(a+b) es un punto de equilibrio del sistema, en el sentido de que si se alcanza dicho precio, este se mantiene para siempre. Esto se puede demostrar usando la ecuación

e igualando P(k) a P(k+1) para ver cuál debe ser el precio en un período, para que al período siguiente el precio sea el mismo. Si se supone que

debe ser igual a (d0 - S0)/(a + b).

Puede concluirse, por lo tanto, que si b < a, el precio tenderá al equilibrio sea cuál sea el precio inicial. Es fácil demostrar también que si b > a, el precio no tenderá al equilibrio. En el primer caso, se habla de equilibrio estable y en el segundo, de equilibrio inestable. Es decir, en el primer caso el sistema converge al equilibrio y en el segundo caso diverge. Si a es igual a b, entonces el sistema no se alejará ni se acercará al equilibrio. El equilibrio sería marginalmente estable. Por último, si el sistema parte en el equilibrio, independiente de si el parámetro a es mayor, menor o igual a b, se quedará en el equilibrio para siempre.

Debe notarse que en este caso a y b representan las pendientes de la demanda y la oferta, respectivamente, con lo que debe quedar claro que cuando la pendiente de la demanda es mayor que la pendiente de la oferta en términos absolutos, el sistema converge y cuando es menor, el sistema diverge¹.

con lo cual, suponiendo que a

Planteada la solución de esta forma, es claro que si a es menor que 1 en valor absoluto, X(k) tenderá a la larga al equilibrio, ya que el primer término del lado derecho tenderá a cero. En este caso se habla de equilibrio estable al igual que en el ejemplo anterior. Por otro lado, si a es mayor que 1 en valor absoluto, la variable X(k) tenderá a alejarse cada vez más del punto de equilibrio. En este caso se habla de equilibrio inestable. Adicionalmente, debe quedar claro que si a es menor que cero, la evolución de X(k) presentará oscilaciones.

Por último, es importante destacar que en el modelo planteado, el punto de equilibrio depende del nivel de las entradas, pero no así la estabilidad de dicho equilibrio, la cual depende, como se vio, solo del parámetro a.

En el Gráfico 1.1 se presenta en forma esquemática la solución de la ecuación X(k+1) = a X(k) + b para distintos valores de a, b y X(0). En todos los casos se eligió el valor de los parámetros de tal forma que el equilibrio fuera X* = 100.

GRÁFICO 1.1

Solución a la ecuación X(k+1) = a X(k) + b

Tiempo continuo

El modelo de crecimiento exponencial también puede ser modificado, al igual que en el caso discreto, de tal forma de incorporar posibles entradas o salidas del sistema. A continuación se estudia el caso donde el sistema dinámico puede expresarse a través de la relación

Si b es igual a 0, se vuelve al modelo de crecimiento exponencial que postula que el cambio experimentado por una variable X por unidad de tiempo es proporcional al valor de dicha variable. Si b es distinto de 0, lo que se postula es que, además del cambio por unidad de tiempo en la variable X proporcional a su valor, existe una entrada o salida constante y continua por unidad de tiempo. La solución general a esta ecuación es:

X(t) = c eat - b/a.²

Sustituyendo el valor de c en la solución anterior, se tiene que la solución al sistema completo, que incluye la condición inicial X(0), es:

Ejemplo 1.8

Suponga que la población de un país crece a una tasa del 2% anual, pero que hay una emigración neta de mil personas al año. En este caso, el sistema, si se plantea en términos de tiempo continuo y el tiempo se mide en años, sería:

X'(t) = 0,02 X(t) - 1.000

donde X(t) = población.

El problema es ahora poder predecir la población en función de t. Si se usa la solución vista más arriba, es claro que

Puede verse que si X(0) es mayor que 50.000, X(t) tiende a crecer indefinidamente y que si X(0) es menor que 50.000, la población tiende a desaparecer. Este resultado es lógico si se observa que si el país tiene una población mayor que 50.000, el crecimiento natural anual es mayor que la emigración anual, con lo cual la población tiende a crecer indefinidamente. Lo contrario también es válido. La pregunta que surge es: ¿qué ocurre si X(0) = 50.000? En este caso, la población no tiende ni a aumentar ni a disminuir. El crecimiento natural es igual a la emigración; 50.000 es un nivel de equilibrio, en el sentido de que si la población es igual a 50.000 personas, esta no tiende ni a aumentar ni a disminuir.

es de equilibrio si X'(t) = 0. Es decir, si

X'(t) = a X(t) + b = 0

con lo que

es igual a 50.000. Dado que para valores mayores de 50.000, la población tiende a crecer indefinidamente, y que para valores menores de 50.000, esta tiende a desaparecer, se habla de equilibrio inestable. Ello es así porque a = 0,02 > 0. Cualquier desviación del equilibrio, por pequeña que sea, lleva al sistema a alejarse de él.

En este punto es conveniente observar que la solución para la ecuación

X' = aX + b

dada anteriormente puede expresarse, haciendo las sustituciones correspondientes, como

³

Claramente, el equilibrio será estable si y solo si el parámetro a es menor que 0, ya que solo en dicho caso la expresión eat en la solución del sistema tiende a 0 cuando t tiende a infinito y, por lo mismo, únicamente en dicho caso X(t) tiende al equilibrio cuando t aumenta.

Ejemplo 1.9

La Ley de Newton de enfriamiento dice que el cambio de temperatura de un cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo que se enfría y la temperatura del medioambiente. Esto se puede escribir como:

X'(t) = m (X(t) - Ta ) = m X(t) - m Ta

donde

Esto implica que

X(t) = (X(0) - Ta) emt + Ta

A modo de ejemplo, suponga que un cuerpo se enfría en 10 minutos desde una temperatura de 100 °C a una de 60 °C en un medioambiente de 20 °C. En este caso, es fácil determinar cuánto se demorará en alcanzar una temperatura