Mecatrónica: modelado, simulación y control de sistemas físicos

Por Luini Leonardo Hurtado Cortés

Este libro está dirigido a estudiantes de carreras de ingeniería. Proporciona un panorama interdisciplinario en el campo del modelado, la simulación y el control de sistemas físicos presentes en los equipos mecatrónicos. Desarrolla una metodología para la comprensión de diferentes sistemas físicos, su representación matemática, el análisis y el posterior diseño de controladores y compensadores monovariables o reguladores y observadores multivariables. Cada temática va acompañada de ejemplos solucionados para afianzar el aprendizaje, igualmente, cuenta con novedosas ilustraciones. Como soporte para el desarrollo de los ejemplos se utiliza la herramienta computacional Matlab®, que facilita la simulación y el análisis de diferentes sistemas físicos. Como complemento, el texto tiene un apéndice con la síntesis de los conceptos matemáticos previos para abordar las temáticas de modelado, análisis y diseño de sistemas físicos y su control.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad Distrital Francisco José de Caldas
• Fecha de lanzamiento: 13 jul 2020
• ISBN: 9789587874433

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1. Introducción

Los ingenieros, independientemente de su especialidad, deben estar en capacidad de conocer el comportamiento de los sistemas físicos, porque se presentan de manera frecuente en varias situaciones durante el ejercicio de la profesión. Ello implica la utilización de las matemáticas para la construcción de modelos de sistemas físicos y de herramientas de simulación, para analizar la dinámica deseable, de lo contrario tomar las medidas para lograrlo.

Aunque este texto se limita únicamente al estudio de los sistemas físicos en ingeniería, es viable su aplicación a otras áreas como las ciencias biológicas, ambientales, de la salud, económicas, sociales, entre otras, pero será recomendable un conocimiento básico de mecánica de sólidos y de fluidos, termodinámica, electricidad elemental y tópicos de cálculo diferencial e integral y de ecuaciones diferenciales.

En este primer capítulo se abordarán las bases conceptuales referentes a sistemas, modelos, leyes físicas de equilibrio y sistema de unidades, en general, la terminología necesaria para el desarrollo temático del texto.

1.1 El concepto de sistema y su clasificación

Establecer la definición del término sistema, es una tarea complicada, debido a que existen diversas connotaciones e interpretaciones que dependen del campo de aplicación. Sin embargo, para el objeto de este texto se puede presentar la siguiente definición: un sistema es un conjunto de elementos que tienen relación causa-efecto, las causas se denotarán como variables de entrada y los efectos como variables de salida.

Para clasificar los sistemas, se debe tener en cuenta las características que poseen los modelos matemáticos empleados para describir su comportamiento, con el fin de ubicarlos donde mejor convenga. Así, entonces, se considera que existe un universo de sistemas en el que se incluyen, incluso, los sistemas que están representados por modelos matemáticos que no tienen restricción alguna.

Una primera división se puede hacer con base en el principio de causalidad, el cual establece que todo efecto es siempre el resultado de una causa, por lo que se puede tener básicamente dos tipos:

a) Causales: son sistemas en los que la salida producida depende de la entrada presente o pasada. En otras palabras, los sistemas causales son aquellos donde, para que la salida producida por un sistema cambie de un estado a otro, se requiere que la entrada aplicada a este cambie con anterioridad. Esto permite afirmar que todo sistema físico es un sistema causal.

b) No causales: son sistemas en los que la salida producida depende exclusivamente de la entrada futura, sin depender de causas o valores de entrada ocurridos con anterioridad. Los sistemas no causales por tener variable independiente referenciada a tiempo futuro, no se pueden implementar en tiempo real.

En este texto, se tratarán solamente los sistemas causales. La siguiente división se hace teniendo en cuenta las características dinámicas de los sistemas, donde se pueden tener básicamente dos tipos:

a) Estáticos: son aquellos en donde la salida producida en un tiempo determinado depende en forma única de la entrada aplicada en ese mismo tiempo; es decir, el estado de los sistemas estáticos depende de las condiciones presentes y no de las pasadas. Este tipo de sistemas también se conocen como sistemas algebraicos o sistemas sin memoria y se representan mediante ecuaciones algebraicas.

b) Dinámicos: son aquellos en los que la salida en un tiempo determinado depende de la entrada aplicada en ese mismo tiempo y tiempos anteriores; es decir, el estado de los sistemas dinámicos depende de lo que haya sucedido en el pasado. Estos sistemas también se conocen como sistemas con memoria y se representan por ecuaciones diferenciales o en diferencias.

En este texto, el interés es en los sistemas dinámicos; por tanto, la siguiente división tiene en cuenta las características de correspondencia entre las entradas y las salidas, donde resultan básicamente dos tipos:

a) Determinísticos: son aquellos en los que la salida producida por el sistema depende de su entrada correspondiente, para dos entradas diferentes el sistema producirá dos salidas distintas. Este tipo de sistemas se representa por medio de ecuaciones diferenciales.

b) No determinísticos: son aquellos en los que la salida producida depende de una o más entradas; es decir, al aplicar a este tipo de sistemas dos o más entradas distintas, la salida será la misma. Los sistemas no determinísticos también se conocen como sistemas estocásticos y se representan mediante ecuaciones diferenciales que incluyen variables o funciones aleatorias o probabilísticas .

Este texto tiene como alcance solo a los sistemas determinísticos, que a su vez se pueden dividir con base en las características de los modelos matemáticos empleados para describir su comportamiento, en este caso se tienen dos:

a) De parámetros concentrados: son aquellos en los que el número de variables que intervienen en el modelo matemático es finito y se representan mediante ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias ordinarias.

b) De parámetros distribuidos: en estos sistemas interviene un número infinito de variables en los modelos matemáticos empleados para describir su comportamiento. Este tipo de sistemas se representa mediante ecuaciones diferenciales parciales.

Los sistemas de interés en este texto son los de parámetros concentrados, que a su vez se pueden clasificar en dos:

a) Lineales: son aquellos que se representan mediante modelos matemáticos que se rigen bajo el principio de superposición , el cual establece que la salida producida por un sistema que obedece a varias entradas simultáneamente, es igual a la suma de las salidas que produce el sistema cuando se aplican las entradas en forma individual. Su comportamiento se describe empleando ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

b) No lineales: son aquellos en los que sus modelos matemáticos no cumplen con el principio de superposición . Este tipo de sistemas se representa por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

En este texto, solo se hace referencia a los sistemas lineales, que a su vez se pueden dividir teniendo en cuenta las características de tiempo de los parámetros que intervienen en los modelos matemáticos empleados para representar su comportamiento; por tanto, se tienen dos tipos de sistemas:

a) Invariantes con el tiempo: son aquellos en donde los parámetros que intervienen presentan características estáticas o fijas; es decir, no dependen del tiempo y se representan por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes .

b) Variantes con el tiempo: son aquellos en donde los parámetros que intervienen presentan características dinámicas; es decir, son funciones del tiempo y se representan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes variables .

En este texto se consideran únicamente los sistemas invariantes con el tiempo, que a su vez se pueden dividir considerando las características que poseen las variables que intervienen para describir su comportamiento, de esta manera se tienen los siguientes dos tipos de sistemas:

a) Continuos: son aquellos en donde las variables que intervienen son funciones del tiempo continuo; es decir, la variable tiempo puede tomar todos los valores del conjunto de los números reales, y se representan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

b) Discretos: son aquellos en donde las variables que intervienen son funciones del tiempo discreto; es decir, la variable tiempo puede tomar todos los valores del conjunto de los números naturales, y se representan mediante ecuaciones en diferencias lineales.

En este texto se consideran tanto los sistemas en tiempo continuo como los sistemas en tiempo discreto. A manera de síntesis, se presenta en la figura 1.1 la clasificación general de los sistemas físicos en forma esquemática.

Figura 1.1. Clasificación de los sistemas físicos

Figura 1.1. Clasificación de los sistemas físicos

1.2 Estudio de los sistemas físicos mediante el modelado

El estudio de los sistemas físicos tiene principalmente dos objetivos, el de diseño del sistema y el de control del sistema. De acuerdo con ciertos criterios, el diseño del sistema está orientado a la selección de uno o varios elementos del sistema. Por otro lado, y también bajo ciertos criterios, el control del sistema está orientado a la selección de una o varias variables de entrada.

Para el cumplimiento satisfactorio de los objetivos de diseño y de control, se llevan a cabo dos pasos previos: el modelado y el análisis. El modelado consiste en la formulación de un modelo matemático que representa o se aproxima al sistema real para que sea manejable (para el análisis), y el análisis consiste en la extracción de información del sistema a partir de su modelo.

Dentro del modelado se llama representación a la forma del modelo matemático, por ejemplo, ecuaciones lineales o ecuaciones no lineales, y se denomina identificación a la determinación experimental de los valores específicos que entran en dicha forma, por ejemplo, los coeficientes de las ecuaciones. Dentro del análisis, se denomina simulación a la determinación de la evolución en el tiempo de un sistema por medio de un computador en el que se encuentra el modelo matemático.

Tanto para el diseño como para el control, se llama optimización al proceso por el cual se escogen los elementos del sistema o las variables de entrada de forma óptima de acuerdo con un criterio cuantitativo de satisfacción.

Resumiendo, el modelado es la formulación de un modelo matemático que representa las principales características y propiedades de un sistema físico que se emplea para describir y, en algunos casos, predecir su comportamiento, con la finalidad de estudiarlo. Para el ingeniero, un modelo es un mecanismo mediante el cual se pueden aplicar técnicas analíticas en la solución de un problema práctico.

Uno de los más importantes resultados de la evolución de los modelos matemáticos en la ingeniería, es que permiten comprender mejor los sistemas físicos. Sin embargo, en la práctica, los modelos matemáticos no son únicos y la selección final usualmente se hace con base en la conveniencia; es decir, la selección del modelo que se va a emplear dependerá del tipo de sistema que se pretenda estudiar, además del tipo de análisis que se desee practicar sobre este.

Este texto solo está relacionado con el objetivo de control de sistemas físicos, incluyendo el modelado y el análisis. Para ello, el proceso de simulación se llevará a cabo con la ayuda del software Matlab® y algunas de sus herramientas como Simulink® y Simscape®, que se mencionan a continuación:

1.2.1 Matlab ®

Matlab® es un lenguaje de alto nivel y un entorno interactivo para el cálculo numérico, la visualización y la programación. Facilita el uso de funciones matemáticas de cálculo, álgebra lineal, análisis numérico, desarrollo de algoritmos y permite la creación de modelos o aplicaciones, incorporando representaciones gráficas con un lenguaje de programación sencillo que permite simular sistemas físicos. Sus componentes fundamentales son:

•Entorno interactivo para la exploración, diseño y solución de problemas. Amplia librería de funciones para cálculo científico que permiten trabajar de forma natural con problemas de álgebra lineal, estadística o cálculo numérico.

•Biblioteca de funciones gráficas para la visualización en 2D y 3D de datos. Incluye herramientas que permiten la generación de gráficos personalizados.

•Lenguaje de programación de alto nivel.

•Una gran variedad de librerías adicionales (o toolboxes ) especializadas en campos específicos de la ingeniería y la ciencia.

Uno de los campos mayormente explotados por Matlab® de gran aplicación en la ingeniería, es la simulación. Para ello, dispone de varias librerías específicas denominadas toolbox, algunas son las siguientes:

1.2.2 Simulink ®

Esta herramienta es un entorno gráfico que ofrece librerías de bloques personalizables y solucionadores (Solvers) interactivos para el modelado, análisis y simulación de una gran variedad de sistemas físicos mediante la utilización de diagramas de bloques (Apéndice A.8). Soporta diseño de sistemas de alto nivel, simulación, generación automática de código, comprobación continua y verificación de sistemas embebidos.

Simulink® permite modelar sistemas físicos lineales y no lineales (Apéndice A.3), ofrece una amplia biblioteca de bloques predefinidos. Es posible construir modelos arrastrando bloques desde la biblioteca a un lienzo, después se conectan los bloques con líneas de señales para establecer relaciones matemáticas entre los componentes del sistema. También, permite crear modelos jerárquicos, es decir, se pueden encapsular grupos de bloques en subsistemas, para ver el sistema en un alto nivel y después abrir subsistemas individuales para ver más detalles. Esto permite construir componentes separados que reflejan el sistema como en la realidad y simulan la interacción de sus componentes. De igual modo, las herramientas gráficas sirven para controlar la apariencia del modelo y su construcción, ayudando a entender y depurar los resultados de las simulaciones.

Uno de los componentes con que cuenta Simulink® es Simscape™; esta herramienta es de gran utilidad para construir modelos de sistemas físicos sin considerar el modelo matemático que lo representa, como se describe a continuación.

1.2.3 Simscape™

Simscape™ proporciona un entorno para el modelado y simulación de sistemas mecánicos, eléctricos, hidráulicos, térmicos y de otros dominios. Esta herramienta provee bloques fundamentales que se pueden acoplar para crear modelos más complejos, integrando así componentes como transmisiones, motores eléctricos, amplificadores operacionales, válvulas hidráulicas y generadores de energía. Dado que los componentes de Simulink® utilizan conexiones físicas, sus modelos se ajustan a la estructura del sistema que se esté desarrollando.

Los modelos de Simulink® pueden ser utilizados para desarrollar sistemas de control y pruebas de funcionamiento sobre el sistema. Se puede parametrizar modelos usando las variables y expresiones de Matlab® y diseñar sistemas de control para el sistema físico con la ayuda de Simulink®. Para implementar los modelos a otros entornos de simulación, incluyendo los sistemas Hardware-In-the-Loop (HIL), Simscape™ admite la generación de código C.

1.3 Sistema internacional de unidades

El Sistema Internacional de Unidades (SI) establece las unidades que deben utilizarse internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia y definió siete magnitudes fundamentales y otras derivadas con los patrones para medirlas. El comité se encarga de asegurar la uniformidad mundial de las unidades de medida.

Además, cada cuatro años se reúne la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), en las instalaciones de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas ubicada en París y tiene a su cargo la toma de decisiones en materia metrológica y en lo que concierne al Sistema Internacional de Unidades. A continuación, se relacionan las unidades básicas y las unidades derivadas, que serán de utilidad al momento de resolver problemas de sistemas físicos.

1.3.1 Unidades básicas

La división de las unidades del Sistema Internacional en dos clases es arbitraria y no impuesta por la física. A pesar de ello, la Conferencia General tomó en consideración las ventajas que presenta la adopción de un sistema de unidades, único y práctico, para las relaciones internacionales, la enseñanza y la investigación científica y decidió fundar el Sistema Internacional sobre la elección de siete unidades básicas y dos suplementarias, presentadas en la tabla 1.1, bien definidas que conviene considerar como independientes desde el punto de vista dimensional.

Tabla 1.1. Unidades SI básicas

1.3.2 Unidades derivadas

Son las que están formadas combinando las unidades básicas. Los nombres y los símbolos de estas unidades están expresados con la ayuda de los nombres y símbolos de las unidades básicas, como se muestra en la tabla 1.2. Algunos de ellos pueden ser sustituidos por nombres y símbolos especiales que pueden utilizarse para expresar los nombres y símbolos de otras unidades derivadas, como se aprecia en la tabla 1.3.

Tabla 1.2. Unidades SI derivadas

Tabla 1.3. Unidades SI derivadas que tienen nombres especiales

2. Modelado y simulación de sistemas físicos con ecuaciones algebraicas

Como se mencionó en la introducción, un modelo es la representación de un sistema físico, particularmente un modelo matemático. Los modelos matemáticos tienen unos elementos básicos que se rigen por leyes físicas y que se representan por relaciones entre las variables asociadas a cada elemento; dichas relaciones se denominan leyes del elemento. Y las relaciones matemáticas de las variables de diferentes elementos que forman parte de un sistema, se denominan leyes de conjunto.

Al aplicar las leyes físicas para obtener modelos matemáticos, es necesario establecer un equilibrio entre la sencillez y la exactitud; por ello, es muy común no tener en cuenta algunas propiedades propias del sistema que no afecten su comportamiento. Al final, se obtienen modelos matemáticos convenientemente simplificados, si los efectos que estas propiedades tienen sobre la respuesta del sistema físico son mínimos, se obtiene una buena aproximación entre los resultados del análisis de un modelo matemático y los resultados del estudio experimental del sistema físico.

En este capítulo se abordará el modelado de sistemas físicos mediante ecuaciones algebraicas, comúnmente denominadas funciones de transferencia.

2.1 Elementos básicos de modelado

Existe una gran variedad de sistemas con los que un ingeniero interactúa cotidianamente: eléctricos, electrónicos, neumáticos, hidráulicos, mecánicos, químicos, térmicos, biológicos, entre otros, que de acuerdo con los principios físicos tienen relaciones directas entre sus variables y sus parámetros.

Las variables son magnitudes cambiantes con el tiempo, las cuales determinan el estado del sistema, mientras que los parámetros reflejan las propiedades o características inherentes de los componentes, por tanto, permanecen constantes (no es una regla, pero para este texto así se tratará). De este modo, en las ecuaciones de equilibrio, las variables muestran su dependencia con el tiempo, mientras que los parámetros aparecen como coeficientes.

A continuación, se presentan en detalle los elementos básicos para el modelado de sistemas físicos.

2.1.1 Variables de sistemas físicos

Una variable representa la magnitud que determina el estado de un componente, su valor normalmente cambia con el tiempo y puede ser expresado por una función temporal. Se distinguen tres tipos básicos de variables:

a) Potencial p ( t ): son las variables generadoras de todos los fenómenos, como el potencial eléctrico o tensión V ( t ), la presión P ( t ), la temperatura T ( t ), la fuerza física F ( t ) y el par mecánico T ( t ).

b) Flujo f ( t ): son las variables generadas por las variables del tipo potencial p ( t ), como el caudal Q V ( t ), la corriente eléctrica i ( t ), el flujo de calor Q T ( t ), la velocidad de desplazamiento v ( t ) y la velocidad angular ω ( t ).

c) Carga c ( t ): son las variables que se generan como consecuencia de la acumulación en el tiempo de las variables del tipo flujo f ( t ), esta acumulación infinitesimal se representa por una integral c ( t ) = ∫ f ( t ) dt . Son de este tipo el nivel h ( t ), la carga eléctrica q e ( t ), la cantidad de calor q T ( t ), el desplazamiento traslacional x ( t ) y el desplazamiento rotacional θ ( t ).

Además, se pueden considerar unas variables derivadas como la potencia, que es el producto de un flujo por el potencial bajo el que opera, y la energía, que es el producto de una carga por el potencial al que está sometido.

2.1.2 Parámetros de sistemas físicos

Los parámetros corresponden a los componentes físicos que forman parte de un sistema y se representan mediante la relación causa-efecto de las variables de entrada y salida del componente, de acuerdo con la siguiente igualdad:

Donde:

•g : es el parámetro.

•x ( t ): es la variable de entrada.

•y ( t ): es la variable de salida.

Dado que en este texto solo serán considerados los sistemas lineales invariables con el tiempo y con el estado del sistema, los parámetros se expresan a través de valores constantes. Al igual que las variables, se distinguen tres tipos de parámetros:

a) Resistencia R: es la característica que tienen aquellos componentes que poseen una relación proporcional entre la diferencia de potencial p(t) a la que se encuentran sometidos y el flujo circulante f(t). Los elementos resistivos se caracterizan principalmente por su propiedad o capacidad para disipar energía. La expresión matemática de la resistencia es:

O bien:

p(t) = Rf(t)

Donde:

•R : es la resistencia.

•f ( t ): es el flujo.

•p ( t ): es la diferencia de potencial.

Son de este tipo la resistencia eléctrica R, la resistencia mecánica B (o fricción), la resistencia ante el paso de un fluido Rh, la resistencia ante el paso de un gas Rn, la resistencia ante el paso de un flujo de calor RT. El inverso de la resistencia se denomina conductancia, así:

b) Capacitancia C: es la propiedad que tienen ciertos elementos para almacenar carga c(t) como consecuencia de la acumulación del flujo circulante f(t). Este almacenamiento se transforma en una diferencia de potencial p(t). La expresión matemática de la capacitancia es:

Como la carga c(t) es la integral del flujo:

Entonces:

O bien:

Donde:

•C : es la capacitancia.

•f ( t ): es el flujo.

•p ( t ): es la diferencia de potencial.

Son parámetros de este tipo, la capacitancia eléctrica Ce, la capacitancia mecánica Cm, la capacitancia hidráulica Ch, la capacitancia neumática Cn y la capacitancia térmica CT.

c) Inertancia I: es la propiedad que tienen ciertos elementos para almacenar carga c(t), pero la forma de almacenarla es diferente y se transfiere a otros elementos del sistema de manera instantánea. La expresión matemática de la inertancia es:

Como la carga q(t) es la integral del potencial:

Entonces:

O bien:

Donde:

•I : es la inertancia.

•p ( t ): es la diferencia de potencial.

•f ( t ): es el flujo.

Pertenecen a este tipo de parámetros la inertancia eléctrica L, la inertancia mecánica traslacional M, la inertancia mecánica rotacional J, la inertancia hidráulica Ih, la inertancia neumática In y la inertancia térmica IT.

2.1.3 Leyes de equilibrio

Científicos como Isaac Newton, Gustav Kirchhoff, Charles-Agustín de Coulomb, Georg Simón Ohm, Antoine Lavoisier, Mijaíl Lomonósov, Robert Boyle, Edme Mariotte, Jean le Rond D’Alembert, Daniel Bernoulli, Nicolas Léonard Sadi Carnot, y otros, conllevaron la formulación de las distintas leyes de equilibrio y de conservación.

Las leyes físicas de equilibrio se expresan de forma matemática mediante ecuaciones, ya sean de forma integral o diferencial; específicamente, las leyes de conservación se enuncian mediante ecuaciones de continuidad. Algunas de las leyes de equilibrio y conservación más importantes para el estudio y modelado de sistemas físicos son las Leyes de Newton, Leyes de Kirchhoff, Ley de Ohm, Ley de Coulomb, Ley de Boyle, Ley de conservación de la energía, Ley de conservación de la materia, Principio de Bernoulli, Principio de D’Alembert, Primera ley de la termodinámica, entre otras.

A continuación, se verá la aplicación de los elementos básicos de modelado y las leyes de equilibrio para obtener modelos matemáticos de sistemas físicos comunes.

2.2 Modelado y simulación de sistemas de nivel de líquidos

a) Resistencia hidráulica Rh: es la oposición que presentan las tuberías y sus accesorios de conexión al paso de un fluido; por ejemplo, cuando un líquido fluye a través de una válvula (figura 2.1(a)). Este elemento usualmente obedece a una relación algebraica no lineal entre el caudal y la diferencia de presión. Se puede representar por medio del símbolo mostrado en la figura 2.1(b).

Figura 2.1. (a) Válvula. (b) Representación

Figura 2.1. (a) Válvula. (b) Representación

De acuerdo con la definición de resistencia y asumiendo que las variables asociadas a este elemento son la presión P(t) y el caudal QV(t), se tiene la siguiente relación:

Donde:

•∆ P ( t ): es la diferencia de presión a través de la resistencia hidráulica, (Pa).

•Q V ( t ): es el flujo a través de la resistencia hidráulica, (m ³ /s).

•R h : es el valor de la resistencia fluídica o hidráulica que presentan las paredes de la tubería o accesorios, (Pa·s/m ³ ).

Un ejemplo de un elemento que actúa como una resistencia hidráulica es una válvula y su función está influenciada por el tipo de fluido y la velocidad con que este fluye. Por ello, el flujo de los fluidos puede tener un comportamiento laminar, turbulento o la combinación de los dos. En el flujo laminar, el movimiento del fluido es ordenado, estratificado y suave, las partículas siguen una trayectoria ordenada llamada línea de corriente. En el flujo turbulento, el movimiento del fluido se da en forma caótica, las partículas se mueven desordenadamente y sus trayectorias se encuentran formando pequeños remolinos periódicos, no coordinados. Si el flujo es laminar, una resistencia hidráulica presenta una relación presión-flujo proporcional; pero si el comportamiento del fluido es turbulento, es necesario usar otras técnicas para su análisis. La expresión es una buena aproximación para un flujo turbulento, donde k es una constante que depende de las características de la tubería, válvula u orificio.

b) Capacitancia hidráulica Ch: cuando un líquido es almacenado en un recipiente abierto o bajo presión atmosférica (figura 2.2(a)), existe una relación algebraica entre el volumen del líquido V(t) o el nivel h(t) y la presión en el fondo P(t); esta relación puede ser representada por medio del símbolo mostrado en la figura 2.2(b).

Figura 2.2. (a) Tanque. (b) Representación

Figura 2.2. (a) Tanque. (b) Representación

De acuerdo con la definición de capacitancia y asumiendo que las variables asociadas a este elemento son la presión P(t) y la carga hidráulica o el nivel h(t), se tiene la siguiente relación:

Pero la carga hidráulica h(t) es la integral del flujo:

Entonces:

Donde:

•P ( t ): es la presión en el fondo del tanque, (Pa).

•Q V ( t ): es el flujo a través del aforo del tanque, (m ³ /s).

•C h : es el valor de la capacitancia hidráulica, (m ³ /Pa).

Para el caso de recipientes con área transversal constante A, la capacitancia hidráulica tiene una relación presión-flujo proporcional y se puede definir mediante la expresión Ch = A/ρg, donde ρ es la densidad del líquido y g es la constante gravitacional. Si el área del recipiente es variable, el modelo del sistema será nolineal, y por tanto se debe linealizar en torno a un punto de operación, definiendo las variables de desviación correspondientes (véase Apéndice A.3).

a) Inertancia hidráulica Ih: Físicamente representa el fenómeno conocido como golpe de ariete, que se presenta en tuberías ante el cierre brusco de una válvula o por el encendido y apagado repentino de una bomba. Existen bombas que utilizan este efecto para su funcionamiento, como la mostrada en la figura 2.3(a) que presenta una relación algebraica entre la presión y la razón de cambio del caudal. Se puede representar mediante el símbolo expuesto en la figura 2.3(b).

Figura 2.3. (a) Bomba de ariete. (b) Representación

Figura 2.3. (a) Bomba de ariete. (b) Representación

De acuerdo con la definición de inertancia y asumiendo que las variables asociadas a este elemento son la presión P(t) y el caudal QV(t), se tiene la siguiente relación:

Como la carga qh(t) es la integral del potencial:

Entonces:

Donde:

•P ( t ): es la presión a través de la inertancia hidráulica, (Pa).

•Q V ( t ): es el flujo a través de la inertancia hidráulica, (m ³ /s).

•I h : es la inertancia fluídica o hidráulica, (Pa·s ² /m ³ ).

La inertancia hidráulica tiene una relación presión-flujo proporcional y se puede definir mediante la expresión Ih = ρl/A, donde ρ es la densidad del líquido, l es la longitud del