Matemáticas discretas: un eslabón tecnológico

Por Juan Manuel Campos Sandoval

Aunque las matemáticas discretas tienen orígenes y usos diversos, este eBook pretende presentar ciertos de sus tópicos fundamentales desde la perspectiva de las Tecnologías de Información, en donde su realc

• Idioma: Español
• Editorial: Editorial Digital del Tecnológico de Monterrey
• Fecha de lanzamiento: 28 abr 2022
• ISBN: 9786075015330

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Introducción del eBook

El área de las matemáticas discretas es un universo vasto en forma y contenidos. El pensamiento humano es, sin duda, eminentemente matemático y éste es un aspecto que no hay que olvidar a la hora de aprender matemáticas. Aún más, con el desarrollo de la ciencia y la tecnología, todo el espectro del saber matemático se ha acrecentado y se ha sistematizado, al abrirse, fusionarse y generalizarse áreas que hasta hace dos siglos eran poco apreciadas o desconocidas.

Si bien la educación general ha favorecido la difusión del análisis matemático, las matemáticas discretas son, hoy día, una herramienta imprescindible en varias áreas de la ingeniería y de la ciencia. Una herramienta que hay que conocer y utilizar adecuadamente.

Aunque las matemáticas discretas tienen orígenes y usos diversos, este eBook pretende presentar ciertos de sus tópicos fundamentales desde la perspectiva de las Tecnologías de Información, en donde su realce y papel son imprescindibles. Este libro prioriza el entendimiento real de los contenidos; para ello, la intención ha sido siempre la de desarrollar los temas de manera simple, clara y detallada hasta lograr la profundidad necesaria en donde el lector pueda darles un significado personal relacionado siempre con las aplicaciones prácticas.

No es éste un libro con una cantidad exhaustiva de problemas, temas y aplicaciones. En el mercado ya existen excelentes libros con tales características que, sin embargo, jamás son plenamente entendidos ni cubiertos en los cursos de un semestre. Creo que el material que se presenta a continuación induce al alumno al conocimiento e interiorización de los conceptos estratégicos de las matemáticas discretas; los problemas propuestos, de diversos grados de dificultad, son esenciales p ara ello. La lectura y estudio de este eBook se traducirá en un entendimiento simplificado de futuros cursos especializados en las diferentes ramas de las matemáticas discretas. Aun así, ciertos profesores podrán pensar en otras opciones como libro de texto principal y utilizar ventajosamente este eBook como libro de apoyo. El autodidacta interesado, podrá también emplearlo para lograr un entendimiento rápido, estructurado e interesante de los tópicos cubiertos (al menos, ésa es mi intención).

Intentando lograr un equilibrio entre cantidad, calidad y profundidad, se trataron de seleccionar, entonces, exactamente los temas, las aplicaciones y los problemas necesarios para desarrollar bases sólidas en nuestros estudiantes de matemáticas discretas de los primeros semestres de Universidad. Creo, sin embargo, que esta primera edición no está exenta de errores y de áreas de oportunidad. Mucho agradecería al amable lector hacerme llegar sus comentarios al respecto.

Finalmente, como autor y profesor, tengo la firme convicción de que el mero hecho de estudiar matemáticas discretas es un privilegio y uno de los más grandes placeres otorgados a la mente humana.

Capítulo 1. Lógica matemática

Organizador temático

Introducción

El común denominador de las personas supone que los procesos lingüísticos y gramaticales propios del lenguaje humano son ajenos a las Matemáticas. De manera sorprendente, Matemáticas, pensamiento y lenguaje están directamente relacionados y, muchas veces, siguen literalmente las mismas reglas.

En este capítulo se pondrá a prueba esta última afirmación y se irá mucho más allá, viendo cómo el propio lenguaje se transforma en un tipo particular de Matemáticas y cómo este tipo de Matemáticas se puede convertir en tecnología.

En principio, presentaremos un nuevo tipo de objeto matemático llamado proposición lógica y veremos cuáles son las operaciones matemáticas realizables con estos objetos, introduciendo sus tablas de valor y viendo las propiedades de las operaciones lógicas que son similares a las propiedades de ciertas operaciones aritméticas.

Posteriormente, se podrá descubrir cómo estas proposiciones lógicas se integran a estructuras más complejas llamadas argumentos que, en realidad, son estructuras utilizadas por nosotros día a día.

Los cuantificadores y los predicados serán tratados como cierto tipo especial de proposiciones lógicas en donde serán incluidas las palabras algunos o todos.

Establecido este marco teórico, se esbozarán los rudimentos del Álgebra booleana y entenderemos cómo la Lógica matemática se relaciona con las propiedades de esta álgebra que contiene sólo dos números: el cero y el uno, es decir, el sistema binario.

En este punto y de manera natural, se llega a la posición de analizar los componentes electrónicos básicos de los sistemas digitales y de las arquitecturas computacionales como, por ejemplo, las compuertas lógicas que siguen las mismas reglas del Álgebra booleana.

Adicionalmente, se observará de qué manera lo aprendido en Lógica matemática se integra a los lenguajes de programación y también se verán algunos ejemplos aplicados a las bases de datos. En particular, se utilizarán dos de los lenguajes estelares de las aplicaciones Web de hoy día como son Javascript y SQL para ilustrar la importancia de la Lógica matemática en ellos.

Espero se pueda apreciar, a lo largo del capítulo, que la Lógica matemática y su hermana, el Álgebra booleana, son dos elementos medulares que han estado y estarán siempre en las tecnologías de información y en la electrónica digital.

1.1 Sintaxis de la lógica proposicional

En primer lugar, vayamos al pasado y recordemos algo de las clases de gramática de la infancia.

1.1.1 Tipos de enunciados

Típicamente, se pueden ubicar las frases en las siguientes categorías:

a) Enunciados interrogativos: cuya intención es preguntar algo a alguien; ejemplos: ¿De qué color es el cielo? ¿Cómo estás? ¿Entienden? Es claro que hay un sujeto al que se dirige la pregunta, pero no se afirma ni se niega nada: al contrario, se pregunta algo. Los enunciados interrogativos se colocan entre signos de interrogación (¿ y ? en lengua castellana).

b) Enunciados exclamativos: expresan un sentimiento respecto a alguna cosa, ente o acción: ¡Qué elegante demostración! ¡París es horrible! Aunque puedan tener la apariencia de enunciados en donde se afirma o se niega algo, la intención principal de ellos es la de expresar un sentimiento y no someter a una prueba de verdad o mentira aquello que se exclama. Los enunciados exclamativos se colocan entre signos de exclamación (¡ y ! en español).

c) Enunciados imperativos: su objetivo es el de ordenar o requerir algo a alguien o a algo: Haz la tarea. Es claro que en ellos tampoco se busca afirmar o negar algo.

d) Enunciados declarativos: afirman o niegan algo de un sujeto al que adjudican un predicado: Londres no es la capital de China, 2+3 = 8, El cielo es azul, El universo no es infinito. En los cuatro ejemplos anteriores, se puede identificar claramente que Londres, 2+3, El cielo y El universo son los sujetos de los que se afirma o se niega algo. Ciertamente, el segundo enunciado de los tres ejemplos anteriores es falso, pero no por ello deja de ser un enunciado declarativo. Al tercer enunciado, El cielo es azul se le puede objetar algo; sería necesario saber la hora del día para saber si es falso o verdadero. Pero aun así, no deja de afirmar algo que puede ser verificado. El cuarto enunciado es declarativo aunque no pueda ser verificada su veracidad.

Esta clasificación de enunciados es gramatical, pero resulta útil para comprender la estructura de los enunciados que serán aceptados en la Lógica matemática. Hay otros tipos de comunicación verbal que no es tan estructurada; por ejemplo, las interjecciones que no afirman ni niegan directamente nada sobre algún particular: ¡ay!, ¡uy! o ¡recórcholis!. Sin embargo, este tipo de estructuras no son enunciados ni presentan un interés particular para la Lógica matemática.

1.1.2 Proposición lógica: concepto y características

En la sección anterior se analizó la clasificación de los enunciados desde un punto de vista gramatical; se estableció entonces que los enunciados podrían ser interrogativos, exclamativos, imperativos y declarativos.

Centraremos nuestro interés en los enunciados declarativos que, como se vio anteriormente, son aquellos que afirman o niegan algo, teniendo en su estructura un sujeto y un predicado.

Una proposición lógica es un tipo de enunciado declarativo muy particular: una proposición lógica es un enunciado declarativo que puede ser calificado de falso o verdadero. Efectivamente, hay enunciados declarativos que, aunque afirmen o nieguen algo, no pueden ser juzgados como falsos o verdaderos dado que no hay suficiente información o el contexto para juzgarlos (por ejemplo, El universo no es infinito, dado que faltan evidencias para verificar que el universo no sea realmente infinito y también para demostrar que lo es).

Las proposiciones lógicas, entonces, son enunciados declarativos que pueden ser sometidos a juicio y su valor de verdad debe ser un valor de verdad universal (es decir, aceptado por todos en un contexto antes establecido).

Dos ejemplos de proposiciones lógicas bien formuladas son:

Como se anticipó, no todos los enunciados declarativos pueden ser calificados de falsos o verdaderos. Por ejemplo, el enunciado declarativo:

no puede ser refutado ni aceptado dado que no se tienen evidencias suficientes de que haya o no vida en otros planetas. Estructuralmente, el enunciado declarativo anterior tiene un sujeto y predicado y afirma algo, pero no es una proposición lógica dado que no es posible conocer su valor de verdad (no hay evidencias contundentes de vida en otro planeta considerando el concepto de vida, aceptado por los científicos; sin embargo, tampoco hay evidencias contundentes de que no haya vida en otros planetas).

Otro ejemplo de enunciado declarativo que no es una proposición lógica es:

Este último enunciado declarativo caería en la categoría de enunciados declarativos subjetivos y que enuncian más bien el gusto de alguien en particular, pero no puede ser calificado de falso o verdadero (al menos no con los criterios que por lo general son aceptados).

1.1.3 Representación formal de proposiciones lógicas

Se acostumbra representar las proposiciones lógicas con las últimas letras minúsculas del alfabeto, típicamente las letras p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z. Aunque se puede aceptar cualquier letra minúscula.

Así, algunos de los ejemplos anteriores se verían de la siguiente manera (nótese el uso de las comillas para encerrar en enunciado):

Este proceso podría parecer insignificante, pero el hecho de asignar el contenido de una proposición lógica a una letra minúscula es un paso de abstracción muy importante que permitirá estudiar de manera generalizada las proposiciones lógicas y sus operaciones. Por primera vez, se está convirtiendo una proposición lógica en una unidad discreta que se está representando con un símbolo.

Actividad de repaso 1.1

I.- Clasifica los siguientes enunciados en interrogativos, imperativos, exclamativos o declarativos.

II.- Selecciona, entre los siguientes enunciados declarativos, aquellos que sean proposiciones lógicas.

III.- Califica de verdaderas o falsas las siguientes proposiciones lógicas (use las referencias comúnmente aceptadas):

IV.- Explica la siguiente frase: el poder representar cualquier proposición lógica con un símbolo (una letra minúscula) fue una parte históricamente importante en su estudio abstracto como objetos matemáticos discretos.

V.- Investiga, ¿qué diferencia existe entre la lógica matemática y la lógica filosófica?

Respuestas

1.2 Proposiciones lógicas

Se ha visto ya que las proposiciones lógicas pueden ser representadas por un símbolo, de la misma manera que los números o que las variables.

A continuación se considerará la manera en la que son calificadas las proposiciones lógicas (falso o verdadero) y cuál es su estructura de acuerdo con su complejidad (proposiciones simples y proposiciones compuestas).

1.2.1 Valores de verdad

Las proposiciones lógicas, según se ha visto, podrán ser falsas o verdaderas. En las tablas de verdad donde se calificará o se evaluará a las proposiciones lógicas, se abreviará la palabra verdadero con V y la palabra falso con F.

A estos valores, falso F y verdadero V, se les conoce como valores de verdad.

Aunque, por el momento, no se entienda cómo se construyó, conviene ver el siguiente ejemplo de tabla de verdad:

Tabla 1.1 Tabla de verdad.

Nota en la tabla precedente, que r y s son dos proposiciones lógicas cualquiera y también observa el uso de V y F para representar valores de verdad.

1.2.2 Proposiciones simples y compuestas

Es momento de afinar un