Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas

Por Carlos Prieto de Castro

El protagonista de este libro, Sarando, es un duende de jardín que ha sido atrapado por el misterioso mundo de las matemáticas y nos invita a convertirnos en sus compañeros de aventura por los muy variados rincones de los conocimientos que constituyen el mundo de las matemáticas: conceptos de gran actualidad como la teoría de nudos o la prueba del teorema de Fermat, pero también otros consolidados por la tradición como la historia del propio teorema de Fermat o los cinco sólidos platónicos. Sarando nos lleva a conocer parte de la vida de algunos de los matemáticos que han participado en la creación del mundo que va descubriendo.

• Idioma: Español
• Editorial: Fondo de Cultura Económica
• Fecha de lanzamiento: 21 ene 2013
• ISBN: 9786071612984

Vista previa del libro

http://www.matem.unam.mx/cprieto.

La primera aventura

I. Los sólidos platónicos: son sólo cinco

Era otoño y llovía profusamente en la calle Albatros. Sarando, un duende que recién había elegido su nueva morada, se resguardaba dentro de su cueva subterránea en el jardín de la familia Portes. Don Joaquín Portes, un matemático que trabaja para Delta-Mat, empresa que produce juegos matemáticos en CD-ROM para niños, se cubría aquella tarde de otoño con una gabardina y su paraguas azul mientras bajaba del coche al regresar de su oficina, cuidando que no se mojaran los libros que había recogido de la biblioteca. Estos libros los había seleccionado para buscar nuevas ideas para los juegos que programa en Delta-Mat.

Sarando, apenas asomado desde su cueva, alcanzó a distinguir la portada de uno de aquellos libros y con dificultad leyó una frase incompleta en el título de uno de ellos: …son sólo cinco…. La portada tenía una ilustración muy vistosa que mostraba objetos pintados con brillantes colores, objetos con los que se antojaba jugar. Sarando, de naturaleza curiosa y juguetona, se quedó muy inquieto por averiguar qué maravillosos cinco juegos contendría aquel libro.

El estudio del señor Portes tiene una ventana con vista al jardín; las otras paredes están cubiertas de libreros con toda clase de libros de matemáticas, así como de física y de biología, y de muchos otros temas que lo apasionan, especialmente cuando logra comprender cómo las matemáticas pueden vincularse con otras ciencias.

Al cruzar aquella tarde el umbral de su casa, don Joaquín Portes fue alegremente recibido por sus tres perros miniatura que, contentos por el regreso de su amo, le brincaban gozosos. Después se dirigió a su estudio y colocó sobre su mesa de trabajo, junto a la computadora, los libros que traía consigo. Aún llovía fuertemente y los truenos y relámpagos impedían a Sarando salir de su cueva para satisfacer su ansia por enterarse del contenido de aquel libro que había traído don Joaquín.

No dejó de llover sino hasta después de las dos de la madrugada. Ya hacía dos horas de que se había apagado la luz del estudio, y un poco después también la del dormitorio de don Joaquín y su esposa, doña Violeta. Dione, Beverly y Jerome, que así se llaman sus perritos, ya dormían en sus cojines al pie de la cama del señor Portes. En la casa reinaba un absoluto silencio, era el momento ideal para que Sarando satisficiera la curiosidad que las largas horas de espera habían acrecentado aún más. Salió de su cueva, que se encontraba muy cerca de una magnolia en el jardín y cuya entrada se disimulaba tras un macizo de hortensias que todavía florecía esplendorosamente. Caminó sigilosamente hacia la ventana del estudio y pronto encontró el camino hacia el interior.

Sarando, como todos los duendes, era pequeño: su altura no rebasaba el medio metro; tuvo que treparse en una silla para poder brincar al escritorio y con avidez revisó los libros que se encontraban en éste. Pudo ver la portada que tanto había llamado su atención. Tenía ilustraciones de unos juguetes con formas muy regulares y colores vistosos; parecían objetos de armar: tres estaban hechos con triángulos, otro con cuadrados y otro más con pentágonos, y tenían un aspecto muy regular y simétrico. El libro se titulaba Los sólidos platónicos: son sólo cinco. Veamos qué fue lo que Sarando descubrió en aquel libro que lo hizo comenzar cuanto antes su lectura. En primer lugar encontró el retrato de alguien llamado Leonhard Euler; al verlo, su curiosidad se despertó aún más: detectaba en él un cierto aire familiar.

LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS: SON SÓLO CINCO

Tal vez todos hayamos escuchado en determinada ocasión algo sobre los sólidos platónicos; tal vez también sobre el número de Euler. Pero, ¿qué relación guardan ambos conceptos?

Comencemos recordando que los sólidos platónicos son los únicos cinco poliedros regulares que es posible construir. Un poliedro regular es un sólido cuyas caras poligonales son todas iguales. Platón descubrió que sólo hay cinco de ellos. Antes de enumerarlos, veamos que, en efecto, sólo hay cinco de ellos. Para esto haremos uso de ese numerito conocido como número de Euler.

A cada poliedro, aunque no sea regular, le asoció Euler un número denotado por la letra griega c, el cual definió mediante la fórmula

χ = V – A + C,

en la que V representa el número de vértices, A el número de aristas, y C el número de caras del poliedro.

Euler demostró que este número, sea cual fuere el poliedro de que se trate, regular o no, ¡es siempre igual a 2!

—Esto no es difícil de imaginar—reflexionó Sarando—. Antes que nada observó que si inflaba el poliedro como si fuera un globo, éste se convertiría en una esfera subdividida en regiones poligonales, como si fuera un balón de futbol. Si agregamos una nueva arista entre dos de los vértices ya existentes en una cara de esta esfera, esta arista parte la cara en dos, de modo que se incrementa el número de aristas en 1, y el número de caras también se incrementa en 1. Como el número de aristas se resta y el de caras se suma en la fórmula de Euler, el valor de ésta se mantiene igual. De modo similar, si eliminamos una arista, las dos caras contiguas se juntan para convertirse en una sola.

Con los vértices le costó más trabajo su reflexión a Sarando, mas no tardó en ver que al eliminar un vértice, o bien eliminaba con él todas las aristas que en él inciden, y con ellas igual número de caras, creando así una sola cara en vez de todas las incidentes en el vértice, de modo que todo se compensa, o bien solamente eliminaba un vértice en el que sólo dos aristas inciden, eliminando así una arista. Reflexionó aún más, preguntándose qué pasaría si iba eliminando vértices y aristas hasta llegar a una configuración singular: un vértice y una cara, sin ninguna arista.

—¡Fantástico!—exclamó—. La suma es igual a 2.

Analicemos un ejemplo: En el cubo, vemos que su número de vértices V es 8, su número de aristas A es 12 y su número de caras C es 6; así, tenemos que 8 – 12 + 6 = 2, lo cual concuerda con la fórmula de Euler (véase la figura I.1).

El libro que Sarando tenía en sus manos proponía ahora un juego.

Veamos qué ocurre si al cubo (también llamado hexaedro, del griego ἕξ, seis, y ἕδϱα, cara) le agregamos alguna arista. Por ejemplo, si agregamos la arista marcada con rojo, la cual es una diagonal de la cara de enfrente del cubo que se muestra en la figura I.1, no se aumenta el número de vértices pero sí se agrega una cara. Luego, ya que el número de aristas se resta y el de caras se suma en la fórmula de Euler, tenemos que el resultado final sigue siendo el mismo, es decir, 2. Análogamente, si ahora agregamos la arista marcada con verde en la figura I.1, creamos 2 vértices más, 3 aristas más (la verde y las medias aristas verticales en la cara donde se agregó la arista verde) y 1 cara más. Como 2 – 3 + 1 = 0, lo que agregamos contribuye con 0, resultando que la suma final no se altera y sigue siendo 2.

De este modo podemos entender que sin importar cómo descompongamos nuestro poliedro, la fórmula de Euler siempre da 2.

FIGURA I.1.

—¡Caramba!—exclamó Sarando—. Justo fue esto lo que yo pensé cuando vi la fórmula de Euler.

Y continuó su lectura.

¿Qué implicaciones tiene el número de Euler?

La regularidad de un poliedro implica, entre otras cosas, que todas sus caras son iguales, las cuales pueden ser triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. Para cada vértice, podemos tener un número distinto de caras que incidan en él; sin embargo, por la regularidad del poliedro, este número es siempre el mismo para cada vértice y tiene que ser al menos 3, ya que nunca son sólo 2 los polígonos que inciden en un vértice. Llamemos n a este número.

Analicemos, en primer lugar, el caso en el que las caras son triángulos. Si C es el número de caras, tenemos que cada cara tiene 3 vértices, es decir, si tomamos las caras por separado, tendríamos 3C vértices; pero como estamos suponiendo que son n caras las que inciden en cada vértice, debemos dividir 3C entre ese número n, es decir, debemos tener 3C/n vértices. Cada cara tiene 3 aristas, por lo que, si tomamos las caras por separado, tendríamos 3C aristas; pero en cada arista inciden exactamente 2 caras (no pueden ser más, ni menos, ¿verdad?), por lo que debemos tener 3C/2 aristas. Así, la fórmula de Euler, que exige que χ sea igual a 2, implica que

De lo cual se obtiene que, cuando las caras son triángulos, el número de ellas está dado por

Así, deducimos que como (6 – n) no puede ser cero ni negativo, n puede ser a lo más 5; es decir, los posibles valores de n son 3, 4 o 5.

Para n = 3, es decir, si inciden tres triángulos en un vértice, tenemos que la fórmula nos da

es decir, tenemos 4 caras; por lo que se trata de un tetraedro (del griego τέτϱα, cuatro, y ἕδϱα, cara). En este caso, según nuestras fórmulas, el número de vértices es

y el de aristas,

lo cual podemos confirmar a partir de la figura I.2

Para n = 4, esto es, si inciden cuatro triángulos en un vértice, tenemos que la fórmula nos da

FIGURA I.2.

es decir, se trata de un octaedro (del griego, ὀϰτώ ocho, y ἕδϱα, cara). En este caso, según nuestras fórmulas, el número de vértices es

y el de aristas,

según se ve en la figura I.3.

FIGURA I.3.

Para n = 5 (cuando inciden cinco triángulos en un vértice), tenemos que la fórmula nos da

en este caso, se trata de un icosaedro (del griego εἲϰοσι, veinte, y ἕδϱα, cara). Según nuestras fórmulas, el número de vértices de un icosaedro es

y el de aristas,

como se muestra en la figura I.4.

Tenemos que con caras triangulares sólo hay tres poliedros regulares: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.

Analicemos ahora el caso en el que las caras son cuadrados. Si C es el número de caras, tenemos que cada cara tiene 4 vértices; es decir, si tomamos las caras por separado, tendríamos 4C vértices; pero como estamos suponiendo