Aritmética

Por Heinrich Grothendieck

         Este libro de texto fue desarrollado para un primer curso de matemáticas en el nivel medio superior. Ésta basado en los planes y programas de estudio del Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México.

         La matemática siempre ha sido una asignatura complicada para la mayoría de los estudiantes. Este fenómeno, en general, es debido a que en los primeros años de estudio se recurre a la mecanización de los contenidos. En este libro se pretende cambiar dicha forma de enseñanza. La matemática se debe entender como el arte de comprender y resolver problemas, así que a los estudiantes se les debe enseñar cómo es dicho arte, pero, sobre todo, a disfrutar de la resolución y comprensión de los problemas.

          Desde esta idea, los programas deberían enfocarse al estudio y solución de cierto tipo de problemas. Lastimosamente, no se puede presentar todo de esta forma, pues luego de los estudios del nivel medio superior, el estudiante debe ingresar al nivel superior, y las instituciones les exigen manejar cierto tipo de conocimientos. Este hecho, acota el tipo de problemas que se pueden presentar. Por el mismo motivo, es que los problemas que se presentan en este libro están dispuestos en términos de los contenidos previstos en un programa que incluye números naturales, números enteros, introducción a la teoría de números e introducción a polinomios.

         A pesar de todo, el propósito de la enseñanza de las matemáticas se mantiene y en este primer curso se enfoca, en particular, a una cualidad que se debe desarrollar a lo largo de la estancia en el nivel medio superior, me refiero a la expresión simbólica y el razonamiento ordenado. Para los matemáticos, es claro que una de las principales herramientas para la resolución de los problemas es el lenguaje apropiado. En ocasiones, un lenguaje equivocado evita la comprensión y por la tanto, evita dar con la solución. Así que es de suma importancia que el estudiante aprenda a utilizar esta herramienta que le permitirá introducirse a este hermoso arte: las matemáticas.

• Idioma: Español
• Editorial: Heinrich Grothendieck
• Fecha de lanzamiento: 29 jun 2023
• ISBN: 9798223006497

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Introducción

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Este libro de texto fue desarrollado para un primer curso de matemáticas en el nivel medio superior. Ésta basado en los planes y programas de estudio del Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México.

La matemática siempre ha sido una asignatura complicada para la mayoría de los estudiantes. Este fenómeno, en general, es debido a que en los primeros años de estudio se recurre a la mecanización de los contenidos. En este libro se pretende cambiar dicha forma de enseñanza. La matemática se debe entender como el arte de comprender y resolver problemas, así que a los estudiantes se les debe enseñar cómo es dicho arte, pero, sobre todo, a disfrutar de la resolución y comprensión de los problemas.

Desde esta idea, los programas deberían enfocarse al estudio y solución de cierto tipo de problemas. Lastimosamente, no se puede presentar todo de esta forma, pues luego de los estudios del nivel medio superior, el estudiante debe ingresar al nivel superior, y las instituciones les exigen manejar cierto tipo de conocimientos. Este hecho, acota el tipo de problemas que se pueden presentar. Por el mismo motivo, es que los problemas que se presentan en este libro están dispuestos en términos de los contenidos previstos en un programa que incluye números naturales, números enteros, introducción a la teoría de números e introducción a polinomios.

A pesar de todo, el propósito de la enseñanza de las matemáticas se mantiene y en este primer curso se enfoca, en particular, a una cualidad que se debe desarrollar a lo largo de la estancia en el nivel medio superior, me refiero a la expresión simbólica y el razonamiento ordenado. Para los matemáticos, es claro que una de las principales herramientas para la resolución de los problemas es el lenguaje apropiado. En ocasiones, un lenguaje equivocado evita la comprensión y por la tanto, evita dar con la solución. Así que es de suma importancia que el estudiante aprenda a utilizar esta herramienta que le permitirá introducirse a este hermoso arte: las matemáticas.

Mat. Félix Enrique González Solano.

Docente Tutor e Investigador del

Instituto de Educación Media Superior.

Ciudad de México, julio de 2018.

Ahora es cuando todo comienza,

estoy en un camino que,

irremediablemente, me lleva hasta ti.

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Para Araceli, Sofía y Emily.

Para mi madre y a la memoria de mi padre.

Razonamiento ordenado y expresión simbólica

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En este capítulo se presentan diferentes actividades que puede desarrollar el docente al interior del Aula, o bien, el estudiante puede tratar de resolver por cuenta propia. Pero no sólo se queda en la resolución del problema, el estudiante debe desarrollar un lenguaje apropiado para dar la solución del ejercicio. En este punto será necesaria la guía del docente para el desarrollo de tal lenguaje.

Comenzamos con varios juegos clásicos.

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Actividad. Juego con fichas

Comencemos con varias fichas ordenadas como sigue:

El juego consiste en mover todas las fichas de un color al otro lado, para quedar de la siguiente forma:

Claro que siguiendo las reglas que listamos a continuación:

Las fichas azules se mueven a la derecha y las negras a la izquierda;

En cada movimiento solo se puede mover una ficha a la vez y se mueve al espacio vacío;

Ninguna ficha puede regresar;

Se puede brincar a una ficha contraria y sólo a una, y si el siguiente lugar está vacío;

Fichas del mismo color no pueden brincarse.

De las reglas se sigue que al empezar el juego sólo hay dos movimientos posibles, mover la ficha azul a la derecha:

O bien, mover la ficha negra a la izquierda:

En el primero de los dos casos anteriores tenemos dos opciones para el siguiente paso del juego, el primero es mover la siguiente ficha azul a la derecha:

O que la ficha negra salte a la ficha azul:

El juego continuará de esta forma hasta lograr el objetivo. Puede ser que en determinado momento ya no se puedan mover más fichas y no se haya logrado resolver el juego, en este caso, se deberá volver a empezar.

En todas las actividades que se presenten en este texto, es importante que el lector, además de resolver el ejercicio, deba escribir la solución de éste. No existe un método para resolver los problemas, siempre se debe buscar la forma de usar un lenguaje adecuado para expresar el problema y buscar con ello su solución.

En ocasiones sirve tratar de resolver el problema con casos más sencillos. Por ejemplo, podría tratar de resolver el problema con menos fichas, digamos, con dos fichas azules y dos negras:

Una vez resuelto para este caso particular, deberá buscar la solución para el caso de tres fichas azules y tres negras tratando de adaptar su solución al nuevo caso, y seguir generalizando para casos con más fichas.

A veces, es tan difícil usar un lenguaje adecuado para expresar la solución de un problema, como el problema mismo, sin embargo, cada intento dará una mejor forma de expresar la solución. Para el caso que tenemos, como en la explicación misma, se podría expresar ilustrando cada paso en la solución del juego. Con dos fichas azules y dos negras el juego empieza así:

Ahora el primer movimiento puede ser el pasar la ficha azul al espacio vacío:

En seguida, movemos la ficha negra, saltando la azul y llegando al espacio vacío:

Y luego, movemos la última ficha negra a la izquierda:

Continuando así sucesivamente. Nótese que como las fichas azules solo se pueden mover a la izquierda y las negras a la derecha, podría expresar la solución en términos de la dirección del movimiento, por ejemplo, los mismos movimientos ilustrados con las fichas de cada color los podemos expresar como:

Mover a la derecha;

Mover a la izquierda;

Mover a la izquierda;

Incluso la notación anterior se puede simplificar más y sólo poner el movimiento. Luego entonces, si con D expresamos el mover a la derecha y con I el mover a la izquierda, los pasos anteriores los podemos reescribir como:

IDD

Es decir, movemos a la izquierda y después movemos dos veces hacia la derecha. Es un ejercicio que el lector continúe hasta encontrar la solución. 

Ejercicio. Escribir la solución del juego para el caso general de fichas azules y fichas negras.

Ejercicio. Determine el menor número de pasos en los que se resuelve el problema del ejercicio anterior.

Ejercicio. A parte de la solución del juego existe una ≪estrategia≫ para poder resolver el juego. Expresa con tus propias palabras dicha estrategia.

Actividad. Torres de Hanói.

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Tenemos tres puntos diferentes. Colóquese sobre uno de ellos una cantidad de fichas de diferentes tamaños, ordenadas de mayor a menor:

El objetivo del juego es pasar las fichas de un punto a otro siguiendo las siguientes reglas:

Sólo se puede mover una ficha a la vez a cualquiera de los puntos restantes;

No se pueden mover las fichas que están debajo de otras;

Una ficha no puede quedar encima de una más pequeña.

Veamos como son los primeros movimientos. Para comenzar, denotemos los puntos con los números 1,2 y 3; a las fichas las denotamos con las letras mayúsculas A, B, C, D, ... bajo el entendido de que A es la más pequeña, luego sigue B y así sucesivamente:

En la situación del dibujo anterior, es claro que la ficha A sólo tiene dos opciones: moverla al punto 2 o al punto 3:

Una vez que movemos la primera ficha, la segunda solo tiene una opción, por ejemplo, si movemos la ficha A a 2, entonces la ficha B sólo se puede mover al 3, pues si la colocamos en el 2 tendríamos una ficha encima de otra más pequeña, lo cual contradice la tercera regla:

Una vez que movemos B al punto 3 tenemos sólo dos opciones: mover la ficha A al punto 1 o al punto 3. No podemos mover la ficha C pues quedaría encima de fichas más pequeñas, tampoco se puede mover la ficha B, pues la regresaríamos al lugar donde se encontraba originalmente:

El juego continúa de esta forma hasta que logramos pasar la pila completa de fichas a otro punto. Se deja como ejercicio al lector terminar el juego y escribir la solución de este, con un lenguaje apropiado. Como en el caso anterior, se recomienda resolver primer el juego con pocas fichas y luego aumentar el grado de dificultad.

Por ejemplo, la solución de nuestra actividad la podemos poner usando las letras y ponemos flechas para indicar a qué punto movemos nuestra ficha. Entonces, como empezamos moviendo la ficha A al punto 2, la solución comienza así:

Luego, el siguiente movimiento fue mover la ficha B al punto 3, entonces los pasos quedan así:

De nuevo, para entender mejor lo que sucede veamos con un caso sencillo, digamos que solo tenemos dos fichas:

Luego, tenemos de opciones mover la ficha A al punto 2 o 3, digamos que lo movemos al 2:

Ahora, como vimos, la ficha B no se puede mover al punto 2, así que la única opción es moverlo a la ficha 3:

Ahora el siguiente paso es sencillo, pues muevo la ficha A al punto 3 y ya habré movido toda la torre de fichas al punto 3:

Ejercicio. Determinar el menor número de pasos para resolver el juego en el caso de 3, 4, 5 y 6 fichas. Además, encontrar el menor número de pasos para el caso general con fichas, donde representa un número natural.

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Actividad. Cruzando el rio.

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Este problema aparece en diferentes textos cambiando los elementos. Es bastante viejo, aparece incluso, en antiguos textos chinos. Sin ir tan lejos, aparece en la afamada serie de Los Simpson.

Una familia va de paseo, pero necesitan cruzar un rio y por desgracia sólo había un bote. El dueño les dijo que el bote no estaba diseñado para soportar mucho peso. Sólo