El pensamiento lógico-matemático: Elementos de heurística y apodíctica demostrativa

Por José Miguel Sagüillo Fernández-Vega

El pensamiento lógico-matemático reúne una serie de aspectos recurrentes que son identificables a lo largo de su historia. Desde los resultados incipientes de la aritmética pitagórica y de la geometría euclídea, hasta los desarrollos modernos de los correspondientes sistemas abstractos de la aritmética de Peano-Gödel y de la geometría de Hilbert, las ciencias deductivas exhiben una tradición de pensamiento sólidamente fundada en el valor epistémico de la prueba clásica. Esta progresión no ha estado exenta de crisis abruptas y convulsas derivadas de la tensión que origina el intento de expandir el conocimiento, como cuando un nuevo descubrimiento matemático pone en entredicho lo que hasta entonces era considerado verdadero. Paradojas tales como la derivada del descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado en los tiempos pitagóricos, o las derivadas del descubrimiento de algunas contradicciones en la moderna teoría de conjuntos, dan cuenta también de esta tensión.

• Idioma: Español
• Editorial: Ediciones Akal
• Fecha de lanzamiento: 17 jul 2014
• ISBN: 9788446040439

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Akal / Hipecu / 73

José Miguel Sagüillo Fernández-Vega

El pensamiento lógico-matemático

Elementos de heurística y apodíctica demostrativa

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ISBN: 978-84-460-4043-9

Introducción1

El pensamiento lógico-matemático reúne una serie de aspectos recurrentes que son identificables a lo largo de su historia. Desde los resultados incipientes de la aritmética pitagórica y de la geometría euclídea, hasta los desarrollos modernos de los correspondientes sistemas abstractos de la aritmética de Peano-Gödel y de la geometría de Hilbert, las ciencias deductivas exhiben una tradición de pensamiento sólidamente fundada en el valor epistémico de la prueba clásica. Esta progresión no ha estado exenta de crisis abruptas y convulsas derivadas de la tensión que origina el intento de expandir el conocimiento, como cuando un nuevo descubrimiento pone en entredicho lo que hasta entonces era considerado verdadero. Paradojas, tales como la derivada del descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado en los tiempos pitagóricos, o las derivadas del descubrimiento de algunas contradicciones en la moderna teoría de conjuntos, dan cuenta también de esta situación.

Comencemos indicando que el pensamiento lógico-matemático clásico se articula presuponiendo una cierta metafísica realista o del sentido común. Los hechos lógico-matemáticos constituyen una realidad objetiva que las ciencias lógico-matemáticas describen mediante sus proposiciones. Así, desde un punto de vista ontológico, toda proposición pertinente a un dominio de investigación lógico-matemático es verdadera o es falsa en virtud de cómo son los hechos. Este principio ontológico fundamental se denomina principio de tercio excluso. Por supuesto, desde un punto de vista epistemológico, no es cierto que toda proposición se sepa como verdadera o se sepa como falsa. En efecto, hay muchas ciencias no suficientemente desarrolladas todavía. Más aún, entre las ciencias más desarrolladas, no es cierto que tengamos respuestas para todas las preguntas susceptibles de ser coherentemente formuladas. De este modo, no hay un principio análogo de tercio excluso epistémico. Basta con recapacitar sobre nuestras capacidades finitas de conocimiento frente al número infinito de proposiciones lógico-matemáticas que hay. En la práctica, ni quiera es cierto que toda proposición lógico-matemática sea creída como verdadera o sea creída como falsa. Es obvio que hay proposiciones que no son objeto de nuestra consideración intelectual y sobre las cuales –a fortiori– no hemos desarrollado ningún tipo de creencia. Si consideramos argumentos compuestos por un conjunto de proposiciones en su rol de premisas y por una proposición en su rol de conclusión, y atendemos a las relaciones lógicas fundamentales entre proposiciones, tales como la implicación y la inconsistencia, o la independencia y consistencia, tenemos un principio de tercio excluso ontológico y un principio de no-tercio excluso epistémico análogos a los previos: Todo argumento es válido o inválido, pero no es el caso que todo argumento se sepa como válido o se sepa como inválido. El análisis de las relaciones lógicas fundamentales que sustentan nuestros métodos es el contenido del capítulo primero.

Continuemos indicando que el pensamiento lógico-matemático clásico se articula también presuponiendo ciertas capacidades epistémicas de los seres humanos. Ciertamente la historia de las ciencias deductivas proporciona muestras sobradas de que existe conocimiento de la realidad lógico-matemática y de que este conocimiento es abundante aunque muy a menudo resulte muy difícil de obtener. La expresión ‘conocimiento’ del castellano es ambigua en el sentido de que se emplea con al menos dos sentidos asociados. Uno es el sentido fuerte de saber y el otro es el sentido más débil de creer. Podemos fijar aquí el uso estricto de la expresión ‘saber’ en su sentido incorregible o no revisable. Si una determinada proposición se sabe verdadera, entonces es verdadera. Por supuesto, ya debe quedar claro que la conversa no es cierta; es decir, no es el caso que si una determinada proposición es verdadera, entonces se sabe verdadera. Como queda expresado más arriba, el conocimiento en este sentido fuerte es difícil de obtener y frecuentemente requiere de esfuerzos intelectuales individuales y colectivos. También fijamos el uso de la expresión ‘creer’ en su sentido corregible o revisable. No es el caso que si una determinada proposición se cree verdadera entonces es verdadera. En efecto, las creencias son revisables como muy a menudo nuestra práctica tanto científica como ordinaria nos demuestra.

De este modo, en su sentido fuerte de saber, el conocimiento es definitivo y no revisable. Ejemplos sencillos de proposiciones sabidas como verdaderas son el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales, el teorema de Cantor, etc. Por contrapartida, en su sentido débil de creer, el conocimiento no es definitivo, sino más bien revisable. En el discurso de esta obra se emplea la palabra ‘conocimiento’ en su primer sentido fuerte de saber no revisable. La experiencia y la historia de las disciplinas deductivas proporcionan amplia base y multitud de ejemplos de conocimiento sólidamente establecido.

El conocimiento de una determinada proposición de un dominio lógico-matemático se cimienta en métodos que los seres humanos han desarrollado en la práctica de la matemática. Este libro proporciona un análisis conceptual de dichos métodos que subyacen a la práctica exitosa de la matemática. Sin embargo, su autor también ha querido extender sus explicaciones no sólo al ámbito de la apodíctica estricta, sino también al ámbito de su heurística asociada. Es decir, es importante evitar una visión parcial del pensamiento lógico-matemático. Para ello, es imprescindible prestar atención tanto a los aspectos que tienen que ver con el descubrimiento de problemas interesantes como a los aspectos que tienen que ver con los métodos para resolver dichos problemas. Así, es importante distinguir entre el descubrimiento de una determinada proposición y el descubrimiento de que dicha proposición sea verdadera. Por ejemplo, podemos descubrir la proposición «Ningún número cuadrado es primo», donde un cuadrado es un número natural que resulta de multiplicar un número por sí mismo y donde un primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores, sin descubrir que sea el caso que ningún número cuadrado es primo; es decir, sin descubrir si dicha proposición es verdadera o es falsa. La conversa no es cierta puesto que no podemos descubrir que sea el caso que ningún número cuadrado es primo sin descubrir la proposición «Ningún número cuadrado es primo».

Una parte fundamental del pensamiento lógico-matemático consiste en descubrir en primer lugar proposiciones que no se saben verdaderas ni se saben falsas. Estas proposiciones que no se sabe que sean verdaderas ni se sabe que sean falsas se denominan hipótesis y son el objeto del capítulo segundo. Reiterando este punto, una cosa es descubrir una hipótesis y otra muy distinta es descubrir que dicha hipótesis es verdadera o que dicha hipótesis es falsa. En las ciencias lógico-matemáticas, para obtener conocimiento de que una hipótesis es verdadera es suficiente con probar dicha hipótesis desde otras proposiciones que se toman como premisas y que ya se saben verdaderas. Asimismo, para obtener conocimiento de que una hipótesis es falsa es suficiente con deducir a partir de la hipótesis una conclusión que se sabe falsa. Ello constituye respectivamente, la base del éxito de los métodos deductivo e hipotético-deductivo que se desarrollan en el capítulo tercero.

Quizá la mejor razón que se puede aportar de que existe saber lógico-matemático sea justamente que, aunque los métodos deductivo e hipotético-deductivo son demostrativos o apodícticos, su aplicación por parte de seres inteligentes no siempre resulta exitosa. Es decir, las personas cometemos errores. El capítulo tercero también analiza algunos aspectos de la práctica metodológica donde podemos identificar ciertos errores más o menos recurrentes algunos, más o menos previsibles otros. Escenarios éstos donde la razón se extravía y se sale de lo que de ser omniscientes sería una trayectoria siempre exitosa. Se examinan así con mirada crítica los mecanismos subyacentes a algunas falacias de razonamiento y a algunas paradojas. Se trata de dos ámbitos fundamentales donde se hace patente las dificultades que tenemos para desarrollar ciencia deductiva como diferenciada de la mera conjetura u opinión. Explorando estos asuntos se detecta la presencia de la falibilidad humana y es aquí donde precisamente la actitud crítica del pensador o del filósofo lógico-matemático se centra, en primer lugar, en identificar la dificultad de que se trate, y, segundo lugar, en diagnosticar y así abrir la etapa de superación del error, para finalmente proponer su eventual corrección. Esto no es decir que todos los extravíos de la razón lógico-matemática sean identificables primero y solubles después. Pero esto tampoco es decir que no haya conocimiento lógico-matemático. Nuestras capacidades cognitivas y los métodos que articulan la epistemología lógico-matemática son suficientes para que podamos afirmar con pleno sentido que al menos con respecto a ciertos ámbitos deductivos sabemos y que construimos ciencia.

Por supuesto, la práctica de la matemática, en particular la práctica de la prueba, precede históricamente al surgimiento de la lógica como ciencia, y la lógica como ciencia precede también a su vez a la ciencia matemática de la lógica. La lógica matemática contemporánea es el resultado de la reducción por un lado, y expansión por otro, de la lógica a los lenguajes y métodos de la matemática. Esta triple relación juntamente con el estudio de los resultados paradigmáticos de la lógica matemática contemporánea constituye el contenido del capítulo cuarto.

La aplicación de los modernos métodos matemáticos de la lógica a los dominios de investigación de la matemática ha dado lugar a la moderna metodología deductiva, dos de cuyos ejemplos paradigmáticos son la aritmética de Peano-Gödel