Matemáticas para Todos: Teoría de Juegos: Matemáticas para Todos, #1

Por Heinrich Grothendieck

        Los juegos han sido parte de la vida del hombre desde siempre, pero quizá a finales del milenio anterior, nos dimos cuenta de su importancia sobre todo por la política y la economía.

         Cuando dos grandes empresas pelean por ganar compradores establecen un juego. Obviamente, entre más compradores tenga una empresa, mayor será su ganancia. Así que cotidianamente usan estrategias para ganar compradores. Un ejemplo común son las "ofertas" en donde bajan los precios de ciertos productos por un tiempo, buscando atraer más compradores. Pero piense un poco, si una empresa usa esa estrategia, la otra empresa no puede quedarse sin hacer nada, por lo que se verá obligada a contrarrestar la jugada de la empresa contraria. Es decir, se establece un juego entre ellas.

         Lo mismo pasa en la política cuando varios contrincantes buscan que la población voté por ellos, cada uno realiza una estrategia buscando obtener la mayor cantidad de votantes.

         Si lo piensa un poco, verá que los juegos están en su vida diaria. Cuando busca una estrategia para hacer el menor tiempo posible a su trabajo (compite contra otros que buscan lo mismo y pueden afectar su trayecto al trabajo), cuando quiere "obligar" a sus hijos a hacer tareas del hogar, cuando piensa en negociar un aumento salarial, etcétera.

          El propósito de este libro es introducirlo al mundo de los juegos, pero desde una perspectiva formal. Empezaremos por ver ejemplos de juegos y estrategias para ganarlos, y luego formalizaremos estas definiciones en los capítulos 2 y 3.

         Espero que le resulte entretenido conocer esta gran teoría matemática.

• Idioma: Español
• Editorial: Heinrich Grothendieck
• Fecha de lanzamiento: 12 may 2023
• ISBN: 9798223990482

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Introducción

Los juegos han sido parte de la vida del hombre desde siempre, pero quizá a finales del milenio anterior, nos dimos cuenta de su importancia sobre todo por la política y la economía.

Cuando dos grandes empresas pelean por ganar compradores establecen un juego. Obviamente, entre más compradores tenga una empresa, mayor será su ganancia. Así que cotidianamente usan estrategias para ganar compradores. Un ejemplo común son las ofertas en donde bajan los precios de ciertos productos por un tiempo, buscando atraer más compradores. Pero piense un poco, si una empresa usa esa estrategia, la otra empresa no puede quedarse sin hacer nada, por lo que se verá obligada a contrarrestar la jugada de la empresa contraria. Es decir, se establece un juego entre ellas.

Lo mismo pasa en la política cuando varios contrincantes buscan que la población voté por ellos, cada uno realiza una estrategia buscando obtener la mayor cantidad de votantes.

Si lo piensa un poco, verá que los juegos están en su vida diaria. Cuando busca una estrategia para hacer el menor tiempo posible a su trabajo (compite contra otros que buscan lo mismo y pueden afectar su trayecto al trabajo), cuando quiere obligar a sus hijos a hacer tareas del hogar, cuando piensa en negociar un aumento salarial, etcétera.

El propósito de este libro es introducirlo al mundo de los juegos, pero desde una perspectiva formal. Empezaremos por ver ejemplos de juegos y estrategias para ganarlos, y luego formalizaremos estas definiciones en los capítulos 2 y 3.

Espero que le resulte entretenido conocer esta gran teoría matemática.

Félix González.

Enero del 2023.

Capítulo 1. Jugando

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Empezaremos este primer capítulo con varios ejemplos de juegos. Todos estos nos servirán para que en los capítulos siguientes podamos abstraer las ideas fundamentales de la Teoría de Juegos.

Si bien en este capítulo no daremos definiciones formales, creemos que el lector entiende intuitivamente que una estrategia en un juego es una serie de pasos a seguir para jugar, y en ese sentido, una estrategia ganadora son los pasos que se deben seguir para ganar el juego.

Es bastante claro la importancia que tiene el poder desarrollar una estrategia ganadora en un juego, pues, para empezar, podemos ver que en la realidad aplicamos constantemente juegos en diferentes partes. Por ejemplo, cuando usted realiza una negociación está usted realizando un juego, más concretamente, imagine que usted quiere hacer que sus hijos realicen ciertas tareas del hogar. Ellos buscaran argumentos para no hacerlos, mientras usted les dará argumentos para sí hacerlos, entonces se entabla una negociación, un jaloneo buscando cada parte las mejores condiciones para sí mismo. Lo mismo ocurre cuando un patrón negocia con un sindicato un aumento salarial o contractual, incluso cuando usted mismo negocia con su patrón un aumento salarial. Así que saber encontrar estrategias que le permitan ganar estos juegos son de suma importancia en su vida diaria.

El Zorro y el Ganso

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El siguiente juego es para dos personas y se juega en el siguiente tablero:

Donde el punto rojo es una ficha que representa un ganso y el punto azul una ficha que representa un zorro. Un jugador usa la ficha del ganso y el otro la del zorro. Un movimiento consiste en mover una ficha de un punto a otro adyacente deslizándose por las líneas negras del tablero. El zorro tratará de capturar el ganso, quien a su vez tratará de impedirlo. Si el zorro captura al ganso en diez movimientos o menos, ganará, de lo contrario ganará el ganso. Siempre comienza moviendo el zorro.

La pregunta es: ¿habrá una estrategia ganadora para el zorro?

Es muy importante que el lector juegue un rato para entender cómo funciona y ver si es posible encontrar una estrategia ganadora. Simularemos aquí un juego y trataremos de extrapolar una solución.

¡Juguemos! Digamos que yo soy el zorro y usted el ganso.

Comienzo moviendo al zorro así:

Usted solo tiene dos opciones, moverse arriba o a la derecha, digamos que mueve a la derecha:

Parecería lógico que moviera hacía abajo para alcanzar al ganso:

Ahora estoy muy cerca de usted, así que quizá podría pensar en regresar o moverse de nuevo a la derecha, digamos que prefiere lo último:

Ahora, como quiero atraparlo, es natural pensar que debo moverme abajo o a la derecha, juego a la derecha:

Analice sus opciones, si mueve a la derecha, yo podría después mover abajo, pero entonces siempre iría un paso detrás de usted. Lo mismo pasaría si mueve a la derecha y luego yo hacia abajo. Por lo que jugando de esta manera no podré alcanzarlo en diez movimientos.

¿Cuál fue el problema en los movimientos del zorro? Piense usted un poco y verá que parece natural mover al zorro hacia el ganso, pues queremos atraparlo, pero siempre, si el ganso se mueve adecuadamente, estaremos un paso atrás.

Pero hay algo en el tablero que no hemos usado, me refiero a la diagonal en el centro. Juguemos de nuevo y esta vez usare dicha línea. Empiezo moviendo así:

Lo sé, parece que me he alejado de mi objetivo, pero sigamos jugando. Usted tiene dos opciones, mover arriba o a la derecha, digamos que mueve arriba: