La Guía Definitiva en Matemáticas para el Ingreso a la Universidad

Por Heinrich Grothendieck

         En este texto se trabajaron los aspectos principales que aparecen en un examen de admisión al nivel superior. En este sentido, no es propiamente un libro de texto para realizar los estudios del nivel medio superior, aunque puede ser usado por el profesor para apuntalar los conocimientos de los jóvenes.

        Hay tres secciones principales de estudio; aritmética, medidas y ecuaciones, en las que se presentan todos los contenidos obtenidos en el nivel medio superior. La forma de llevar a cabo el estudio es a través de problemas cuya posible respuesta se da en opción múltiple. En cada problema se da su solución detallada y un repaso de los contenidos para apuntalar sus conocimientos previos.

         Es muy importante que el estudiante resuelva cada problema por su propia cuenta y que solo después regrese para ver si sus pasos son correctos. Si le cuesta trabajo, puede empezar viendo como se resuelven los primeros problemas y luego intentar resolverlos por su cuenta, para verificar que ha comprendido todo, sin embargo, esto solo lo deberá hacer con los primeros problemas de cada sección, conforme avance, deberá hacer el intento por su cuenta y luego revisar la solución.

         Cada ejercicio a sido cuidadosamente seleccionado de entre aquellos que aparecen en los exámenes de ingreso para diferentes universidades, como la UNAM, la UAM y el IPN, por lo que le resultar de gran utilidad para preparar dicha prueba. Contiene un breve repaso de la teoría, pero siempre enfocado en dar la solución más rápida para la prueba de ingreso.

• Idioma: Español
• Editorial: Heinrich Grothendieck
• Fecha de lanzamiento: 13 jul 2022
• ISBN: 9798201189563

Vista previa del libro

Aritmética en N, Z, Q y R

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Problema 1:

Encontrar dos números cuyo producto sea máximo y la suma sea 12.

a)  3 y 9

b)  5 y 7

c)  4 y 8

d)  6 y 6

Solución:

Para resolver este problema podríamos usar el cálculo diferencial para resolverlo, sin embargo, como ya tenemos las posibles respuestas es algo más fácil, solo debemos determinar, de entre las respuestas, cual me da como suma 12 y su multiplicación es la mayor:

Luego, la respuesta correcta es el inciso d)

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Problema 2:

Al simplificar se obtiene:

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución:

Recordemos que la raíz cuadrada es multiplicativa, es decir;

Ahora en nuestro caso:

Así que la respuesta correcta es la a).

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Problema 3:

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Al simplificar la expresión   se obtiene:

a) 

b) 

c) 

d) 

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Solución:

Comenzamos simplificando:

Por lo que la respuesta correcta es el inciso c).

Aritmética de polinomios

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Problema 1:

El área de un rombo cuya diagonal mayor es y su diagonal menor es es:

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución:

En primer lugar, recordemos que el área de un rombo es la multiplicación de la diagonal mayor por la diagonal menos sobre 2:

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En nuestro caso será:

Ahora recordemos que:

Conocida también como la factorización de la diferencia de cuadrados, entonces:

Por lo que la respuesta correcta es el inciso a).

Problema 2:

La expresión cuadrática que representa el problema dados dos números cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados sea 104 es:

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución:

Como nos piden dos números, entonces debemos comenzar representándolos con letras, digamos que uno es y el otro .

La primera parte del enunciado dice: dados dos números cuya suma sea 12. En nuestro caso, tendremos:

La segunda parte del enunciado dice: la suma de sus cuadrados sea 104. Entonces tenemos:

Ahora, en las respuestas vemos puros polinomios en la letra , así que debemos buscar la manera de que nos quede solo esa letra. Para esto, de la primera ecuación, despejamos la letra :

Ahora, tomamos este valor y lo sustituimos en la segunda ecuación:

Ahora vamos a simplificar la ecuación y la pondremos como aparece en las respuestas, con el valor del lado derecho de la igualdad igual a cero.

Primero, recordemos que:

En nuestro caso:

Sustituimos este valor en nuestra ecuación:

Ahora el número 104 que se encuentra del lado derecho de la ecuación lo pasamos al lado izquierdo, y pasará restando:

Ahora simplificamos las expresiones:

Aunque esta ya es la respuesta, vemos que aun no aparece así en las opciones que tenemos. Pero note que cada término de nuestra ecuación es un múltiplo de 2, por lo que lo podemos dividir todo entre 2:

Ahora simplemente hacemos las divisiones y obtenemos:

Observe que corresponde con el inciso a), salvo el orden de los términos, pero eso no afecta el resultado.

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Problema 3:

Desarrollar la expresión:

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución:

En todo examen de ingreso para la universidad siempre hay una pregunta de este tipo, en donde hay que desarrollar una suma de números a una cierta potencia. Para resolverlo rápidamente hay que usar el Triángulo de Pascal. Hay que comenzar escribiendo un 1, luego en el siguiente renglón colocamos ahora dos números 1, ala izquierda y a la derecha:

En el siguiente renglón, repetimos el proceso, colocamos de nuevo dos números 1 a la izquierda y a la derecha, pero, además, en medio de los números anteriores colocamos el valor de su suma:

Este proceso se repite indefinidamente, se colocan los números 1 a la izquierda y a la derecha y debajo de dos anteriores