El Libro de Matemática: Volumen 1

Por Simone Malacrida

La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.
Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.
El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.
Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.
La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.

• Idioma: Español
• Editorial: Simone Malacrida
• Fecha de lanzamiento: 24 ene 2023
• ISBN: 9798215256572

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Vista previa del libro

El Libro de Matemática: Volumen 1

SIMONE MALACRIDA

La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.

Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.

El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.

Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.

La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.

Simone Malacrida (1977)

Ingeniero y escritor, ha trabajado en investigación, finanzas, política energética y plantas industriales.

ÍNDICE ANALÍTICO

––––––––

INTRODUCCIÓN

––––––––

PRIMERA PARTE: MATEMÁTICAS ELEMENTALES

––––––––

1 – LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL

––––––––

2 – OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES

––––––––

3 – TEORÍA DE CONJUNTOS

––––––––

4 – CÁLCULO LITERAL

––––––––

5 – GEOMETRÍA EUCLIDEA PLANA

––––––––

6 – GEOMETRÍA EUCLIDEA SÓLIDA

––––––––

7 – ECUACIONES Y DESIGUALDADES ALGEBRAICAS

––––––––

8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA ELEMENTAL

––––––––

9 – FUNCIONES GONIOMÉTRICAS Y TRIGONOMETRÍA

––––––––

10 – FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS E HIPERBÓLICAS

––––––––

11 – TEORÍA DE FUNCIONES

––––––––

12 – NÚMEROS COMPLEJOS

SEGUNDA PARTE : ANÁLISIS MATEMÁTICO, ANÁLISIS FUNCIONAL Y GEOMETRÍA AVANZADA

––––––––

13 – TOPOLOGÍA GENERAL

––––––––

14 - LÍMITES _ _

––––––––

15 – FUNCIONES CONTINUAS

––––––––

16 – CÁLCULO DIFERENCIAL

––––––––

17- CÁLCULO INTEGRAL

––––––––

18 – ESTUDIO DE FUNCIONES DE VARIABLES REALES

––––––––

19 – SUCESIÓN Y SERIE NUMÉRICA

––––––––

20 – SUCESIÓN Y SERIE DE FUNCIONES

––––––––

21 – SERIE POWER, TAYLOR Y FOURIE R

––––––––

22 – V ECTORES Y MATEMÁTICAS VECTORIALES

––––––––

23 – MATRICES Y MATEMÁTICAS DE MATRICES

––––––––

24 – GEOMETRÍA ANALÍTICA AVANZADA

––––––––

25 – GEOMETRÍA NO EUCLIDEA

INTRODUCCIÓN

En la sociedad actual, las matemáticas son la base de la mayoría de las disciplinas científicas y técnicas como la física, la química, la ingeniería de todos los sectores, la astronomía, la economía, la medicina, la arquitectura.

Además, los modelos matemáticos rigen la vida cotidiana, por ejemplo en el sector del transporte, en la gestión y distribución de energía, en las comunicaciones telefónicas y televisivas, en la previsión meteorológica, en la planificación de la producción agrícola y en la gestión de residuos, en la definición de flujos monetarios, en la codificación de planos industriales, etc., ya que las aplicaciones prácticas son casi infinitas.

Por tanto, las matemáticas son uno de los cimientos fundamentales para la formación de una cultura contemporánea de cada individuo y se desprende tanto de los programas escolares que introducen, desde los primeros años, la enseñanza de las matemáticas como de la estrecha relación entre el aprendizaje provechoso de las las matemáticas y el desarrollo social y económico de una sociedad.

Esta tendencia no es nueva, ya que es consecuencia directa de aquella revolución acaecida a principios del siglo XVII que introdujo el método científico como principal herramienta para describir la Naturaleza y cuyo punto de partida estuvo precisamente dado por la consideración de que las matemáticas podían ser la piedra angular para entender lo que nos rodea.

La gran fuerza de las matemáticas reside en al menos tres puntos distintos.

En primer lugar, gracias a ella es posible describir la realidad en términos científicos, es decir, previendo algunos resultados incluso antes de tener la experiencia real.

Predecir resultados significa también predecir las incertidumbres, los errores y las estadísticas que necesariamente surgen cuando el ideal de la teoría se lleva a la práctica más extrema.

En segundo lugar, las matemáticas son un lenguaje que tiene propiedades únicas.

Es artificial, como construido por los seres humanos.

Existen otros lenguajes artificiales, como el alfabeto Morse; pero la gran diferencia de las matemáticas es que es un lenguaje artificial que describe la Naturaleza y sus propiedades físicas, químicas y biológicas.

Esto lo hace superior a cualquier otro idioma posible, ya que hablamos el mismo idioma que el Universo y sus leyes. En esta coyuntura, cada uno de nosotros puede traer sus propias ideologías o creencias, ya sean seculares o religiosas.

Muchos pensadores han destacado cómo Dios es un gran matemático y cómo las matemáticas son el lenguaje preferido para comunicarse con este ente superior.

La última propiedad de las matemáticas es que es un lenguaje universal. En términos matemáticos, la Torre de Babel no podría existir.

Todo ser humano que tiene algunos rudimentos de matemáticas sabe muy bien lo que significan algunos símbolos específicos, mientras que se necesitan traductores y diccionarios para entenderse con palabras escritas o discursos orales.

Sabemos muy bien que el lenguaje es la base de todo conocimiento.

El ser humano aprende, en los primeros años de vida, una serie de informaciones básicas para el desarrollo de la inteligencia, precisamente a través del lenguaje.

El cerebro humano se distingue precisamente por esa peculiaridad específica de articular una serie de lenguajes complejos y esto nos ha dado todas las conocidas ventajas sobre cualquier otra especie del reino animal.

El lenguaje es también uno de los presupuestos del conocimiento filosófico, especulativo y científico y Gadamer lo ha destacado, de manera inequívoca y definitiva.

Pero hay una tercera propiedad de las matemáticas que es mucho más importante.

Además de ser un lenguaje artificial y universal que describe la Naturaleza, la matemática es propiamente solución de problemas , por lo tanto es concreción hecha ciencia, pues el hombre siempre ha tenido como objetivo la solución de los problemas que lo aquejan.

Para despejar las últimas dudas al respecto, conviene reportar algunos ejemplos concretos referidos a milenios atrás.

El descubrimiento de los números irracionales realizado por Pitágoras, sobre todo pi y la raíz cuadrada, no fue una mera especulación teórica.

En la base de ese simbolismo matemático estaba la resolución de dos problemas muy concretos.

Por un lado, dado que las casas tenían planta cuadrada, la diagonal interna debía calcularse exactamente para minimizar el material desperdiciado en la construcción de las paredes, por otro lado, pi era el vínculo matemático entre distancias rectas y curvilíneas, como el radio de una rueda y su circunferencia.

Ante problemas concretos, el intelecto humano ha inventado este lenguaje matemático cuya propiedad es precisamente la de resolver problemas describiendo la Naturaleza.

––––––––

La primera parte de este libro tiene el propósito expreso de proporcionar los rudimentos de las matemáticas elementales, es decir, de toda aquella parte de las matemáticas anterior a la introducción del análisis matemático.

Las nociones y conceptos expuestos en esta parte eran, en parte, ya conocidos en la antigüedad (en la época de los griegos por ejemplo), especialmente en lo que se refiere a la parte de lógica elemental, junto con las operaciones elementales y las relaciones geométricas.

Los capítulos restantes de la primera parte describen los conocimientos adquiridos por la humanidad a lo largo de los siglos, en particular después de la gran explosión de pensamiento que se produjo en el Renacimiento, hasta fines del siglo XVII.

Este límite se considera como una demarcación entre las matemáticas elementales y las avanzadas, precisamente porque el análisis matemático, introducido a finales del siglo XVII por Newton y Leibnitz, permitió el salto cualitativo hacia nuevos horizontes y hacia la descripción real de la Naturaleza en términos matemáticos.

Precisamente por ello, aunque cada párrafo constituye en sí mismo un tema completo, la exposición de los temas sigue un orden lógico, permitiendo la progresión continua de conocimientos en base a lo aprendido previamente.

La primera parte del libro coincide, más o menos, con lo que se enseñó hasta el final del bachillerato (solo para los bachilleratos científicos, con el final del cuarto año y no del quinto).

––––––––

La segunda parte del libro proporciona todos los fundamentos de las matemáticas avanzadas, englobando en ella tanto la gran disciplina del análisis matemático como todos los campos dispares que han surgido a lo largo de los últimos dos siglos, incluyendo, por citar sólo algunos de ellos, el diferencial y geometría fractal, geometrías no euclidianas, topología algebraica y análisis funcional.

Casi todas estas nociones se desarrollaron después de la introducción del formalismo del análisis matemático a finales del siglo XVII y, desde entonces, el camino de las matemáticas ha seguido siempre en paralelo entre este sector y todas las demás posibles subdisciplinas que poco a poco fueron apareciendo. lado a lado y han tomado caminos independientes.

Queda por entender por qué el análisis matemático ha introducido ese punto de inflexión entre las matemáticas elementales y las avanzadas.

Hay dos áreas que se complementan en este discurso.

Por un lado, sólo con la introducción del análisis matemático ha sido posible describir, con un formalismo adecuado, las ecuaciones que rigen los fenómenos naturales, ya sean físicos, químicos o de otra extracción, por ejemplo sociales o económicos.

En otras palabras, el análisis matemático es la principal herramienta para construir aquellos mecanismos que nos permitan predecir resultados, diseñar tecnologías y pensar en nuevas mejoras a introducir.

Por otro lado, el análisis matemático posee, dentro de su propia naturaleza, una peculiaridad específica que lo distingue claramente de las matemáticas elementales anteriores.

Prevé consideraciones locales, no exclusivamente puntuales.

Sólo el paso de la puntualidad a la localidad permitirá construir un discurso de globalidad, yendo mucho más allá del cognoscible anterior.

Esta parte presenta conceptos generalmente abordados a nivel universitario en varios cursos de análisis y geometría.

En la tercera parte del libro se expondrán temas de interés general que se pueden desvincular del análisis matemático, como álgebra avanzada, estadística y lógica avanzada.

––––––––

Cada capítulo individual del libro puede considerarse como un campo completo de las matemáticas en sí mismo, pero solo analizando todos los temas será posible tocar la inmensidad de las matemáticas y es por esta razón que el orden de los capítulos refleja un continuo sucesión de conocimientos para progresar.

De hecho, las matemáticas tienen una amplitud casi ilimitada de sectores y aplicaciones.

No hay ciencia que pueda prescindir de conceptos matemáticos y no hay aplicación que no haya tomado prestadas nociones matemáticas y las haya hecho evolucionar con lenguajes particulares.

Así nacieron muchas disciplinas y muchas teorías no presentadas en este libro, citando sólo algunos ejemplos podemos incluir la teoría de juegos y las matemáticas financieras en el campo económico, las aplicaciones de la teoría de grupos y el álgebra avanzada para la física teórica y las partículas elementales, la evolución del cálculo tensorial para problemas de cosmología y astrofísica.

Por esta razón, este libro, aunque muy extenso, ciertamente no es completo ni abarca todo.

Hay más de 1000 ejercicios realizados, pero el número de posibles problemas y ejercicios es casi ilimitado.

Además, en todo el libro no hay demostraciones de teoremas que hubieran recargado más el volumen y la comprensión.

––––––––

La evolución de las matemáticas aplicadas a disciplinas y tecnologías individuales ha llevado a ramificaciones extremas y una evolución continua que continúa incluso hoy.

Esto tiene una consecuencia importante: las matemáticas son una ciencia viva, contemporánea y futura y no están relegadas a un papel histórico.

Lo dicho no se aplica sólo a las innumerables aplicaciones, sino también a las matemáticas puras, es decir, a los problemas matemáticos presentados en este manual.

Haciendo un historicismo sobre las nociones y los resultados expresados, se puede ver claramente cómo algunos supuestos y algunas demostraciones son muy recientes (un ejemplo sobre todo es la demostración de la conjetura de Poincaré), es decir, se dieron en el siglo XXI.

No es casualidad que haya premios por resolver problemas que siguen abiertos y que son tanto históricos, como las famosas preguntas de Hilbert de principios del siglo XX, como muy modernos en relación con el cálculo computacional, la lógica, la complejidad y la teoría del caos, así como como conceptos geométricos y algebraicos.

Al ser una ciencia viva, al igual que un lenguaje universal, las matemáticas se enriquecen continuamente con nuevas palabras y nuevas construcciones y es por eso que lo que se presenta en este libro es solo un peldaño hacia un conocimiento aún más avanzado y específico.

Asumir el desafío de escribir un nuevo capítulo o un solo capítulo en esta apasionante historia del único lenguaje artificial universal que describe la Naturaleza es parte de la evolución de nuestra especie y por eso cada uno de nosotros está llamado a participar de ella.

PRIMERA PARTE: MATEMÁTICAS ELEMENTALES

1

LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL

Introducción

La lógica matemática se ocupa de la codificación, en términos matemáticos, de conceptos intuitivos relacionados con el razonamiento humano.

Es el punto de partida de cualquier proceso de aprendizaje matemático y, por tanto, tiene todo el sentido exponer las reglas elementales de esta lógica al comienzo de todo el discurso.

Definimos un axioma como un enunciado que se supone verdadero porque se considera evidente o porque es el punto de partida de una teoría.

Los axiomas lógicos son satisfechos por cualquier estructura lógica y se dividen en tautologías (enunciados verdaderos por definición desprovistos de nuevo valor informativo) o axiomas considerados verdaderos independientemente, incapaces de demostrar su validez universal.

Los axiomas no lógicos nunca son tautologías y se llaman postulados.

Tanto los axiomas como los postulados son indemostrables.

Generalmente, los axiomas que fundan y dan comienzo a una teoría se denominan principios.

Un teorema, por otro lado, es una proposición que, partiendo de condiciones iniciales (llamadas hipótesis) llega a conclusiones (llamadas tesis) a través de un procedimiento lógico llamado demostración.

Los teoremas son, por lo tanto, demostrables por definición.

Otros enunciados demostrables son los lemas que suelen preceder y fundamentar un teorema y los corolarios que, en cambio, son consecuentes a la demostración de un teorema dado.

Una conjetura, por otro lado, es una proposición que se cree verdadera gracias a consideraciones generales, la intuición y el sentido común, pero que aún no se ha demostrado en forma de teorema.

Simbología

––––––––

La lógica matemática hace que intervengan símbolos que luego volverán en todos los campos individuales de las matemáticas. Estos símbolos son variados y pertenecen a diferentes categorías.

La igualdad entre dos elementos matemáticos se indica con el símbolo de , si por el contrario estos elementos son diferentes entre sí el símbolo de desigualdad viene dado por .

En el campo geométrico también es útil introducir el concepto de congruencia, así indicado y de semejanza .

En matemáticas, la proporcionalidad también se puede definir, denotada por .

En muchos casos se deben definir conceptos matemáticos y geométricos, el símbolo de definición es este .

Finalmente, la negación viene dada por una barra encima del concepto lógico.

Luego están los símbolos lógicos cuantitativos que corresponden a conceptos lingüísticos. La existencia de un elemento se indica así , la singularidad del elemento así , mientras que la frase para cada elemento se transcribe así .

Otros símbolos hacen referencia a lógicas de ordenación, es decir, a la posibilidad de enumerar los elementos individuales según criterios cuantitativos, introduciendo información mucho más allá del concepto de desigualdad.

Si un elemento es mayor que otro, se indica con el símbolo de mayor que >, si es menor con el de menor <.

De manera similar, para conjuntos, el símbolo de inclusión se aplica para denotar una cantidad más pequeña .

Estos símbolos se pueden combinar con la igualdad para generar extensiones que incluyan los conceptos de mayor o igual y menor o igual .

Obviamente también se puede tener la negación de la inclusión dada por .

Otra categoría de símbolos lógicos pone en juego el concepto de pertenencia.

Si un elemento pertenece a alguna otra estructura lógica se indica con , si no pertenece con .

Algunos símbolos lógicos transcriben lo que normalmente ocurre en los procesos lógicos de construcción verbal.

La implicación dada por una oración subordinada hipotética (el clásico si...entonces) se codifica así , mientras que la coimplicación lógica (si y sólo si) así .

La construcción lingüística tal que se resume en el uso de los dos puntos:

Finalmente, existen símbolos lógicos que codifican las expresiones y/o (disyunción inclusiva), y (conjunción lógica), o (disyunción excluyente).

En los dos primeros casos, un correspondiente se puede encontrar en la unión de varios elementos, indicados con , y en la intersección de varios elementos .

Todos estos símbolos se denominan conectores lógicos.

––––––––

Principios

Hay cuatro principios lógicos que son absolutamente válidos en el esquema lógico elemental (pero no en algunos esquemas lógicos avanzados).

Estos principios son tautologías y ya eran conocidos en la filosofía griega antigua, siendo parte del sistema lógico de Aristóteles.

1) Principio de identidad: cada elemento es igual a sí mismo.

2) Principio de bivalencia: una proposición es verdadera o falsa.

3) Principio de no contradicción: si un elemento es verdadero, su negación es falsa y viceversa. De aquí se sigue necesariamente que esta proposición no puede ser verdadera

4) Principio del tercero excluido: no es posible que dos proposiciones contradictorias sean ambas falsas. Esta propiedad generaliza a la anterior, ya que la propiedad de no contradicción no excluye que ambas proposiciones sean falsas.

Propiedad

Además, para una operación lógica genérica se pueden definir las siguientes propiedades en una estructura lógica genérica G (no se dice que todas estas propiedades sean válidas para cada operación y para cada estructura lógica, dependerá de cada caso).

propiedad reflexiva :

Para cada elemento perteneciente a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre el mismo elemento remite internamente a la estructura lógica.

Propiedad de idempotencia :

Para cada elemento perteneciente a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre el mismo elemento da como resultado el mismo elemento.

Propiedad de existencia de elementos neutros :

Por cada elemento perteneciente a la estructura lógica, existe otro elemento tal que la operación lógica realizada sobre él siempre devuelve el elemento inicial.

Propiedad de existencia de elemento inversa :

Por cada elemento perteneciente a la estructura lógica, existe otro elemento tal que la operación lógica realizada sobre ellos siempre devuelve el elemento neutro.

Propiedad conmutativa :

Dados dos elementos pertenecientes a la estructura lógica, el resultado de la operación lógica realizada sobre ellos no cambia si se cambia el orden de los elementos.

propiedad transitiva :

Dados tres elementos pertenecientes a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre la cadena de elementos depende únicamente del primero y del último.

Propiedad asociativa :

Dados tres elementos pertenecientes a la estructura lógica, el resultado de la operación lógica realizada con ellos no cambia según el orden en que se realicen las operaciones.

Propiedad distributiva :

Dados tres elementos pertenecientes a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre un grupo de dos de ellos y sobre el otro es equivalente a la operación lógica realizada sobre grupos de dos.

Los conceptos de igualdad, congruencia, semejanza, proporcionalidad y pertenencia poseen todas estas propiedades que acabamos de enumerar.

Los símbolos de orden sólo satisfacen las propiedades transitiva y reflexiva.

En este caso, la propiedad de idempotencia se satisface solo al incluir también la ordenación con igualdad, mientras que las otras propiedades no están bien definidas.

La implicación lógica satisface las propiedades reflexiva, idempotencial y transitiva, mientras que no satisface las conmutativas, asociativas y distributivas.

Por otro lado, la coimplicación los satisface a todos, al igual que los conectores lógicos, como la conjunción lógica y la disyunción inclusiva.

Una operación en la que las propiedades reflexiva, conmutativa y transitiva se cumplen simultáneamente se denomina relación de equivalencia .

En general, los dos teoremas duales de De Morgan se cumplen :

Estos teoremas involucran las definiciones de conectores lógicos y la propiedad distributiva.

––––––––

lógica booleana

Para conectores lógicos es posible definir, con el formalismo de la llamada lógica booleana, tablas de verdad basadas en los valores verdadero o falso atribuibles a las proposiciones individuales.

––––––––

La negación es verdadera si la proposición es falsa y viceversa.

La conjunción lógica es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas.

La disyunción inclusiva es falsa sólo cuando ambas proposiciones son falsas.

La disyunción exclusiva es falsa si ambas proposiciones son falsas (o verdaderas).

La implicación lógica es falsa sólo si la causa es verdadera y la consecuencia es falsa.

La coimplicación lógica es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas (o falsas).

En caso de que la implicación lógica sea verdadera, A se llama condición suficiente para B, mientras que B se llama condición necesaria para A.

La implicación lógica es la principal forma de probar teoremas, considerando que A representa las hipótesis, B las tesis, mientras que el procedimiento de implicación lógica es la prueba del teorema.

La coimplicación lógica es una relación de equivalencia.

En este caso, A y B son conceptos lógicamente equivalentes y son condiciones necesarias y suficientes entre sí.

Recordando las propiedades expuestas, la coimplicación lógica también se puede expresar como:

––––––––

Aplicaciones de la lógica: demostración de teoremas

La demostración matemática de un teorema puede basarse en dos grandes categorías lógicas.

Por un lado está la deducción que, partiendo de hipótesis consideradas verdaderas (o ya demostradas previamente), determina la validez de una tesis en virtud de la coherencia formal y lógica del razonamiento demostrativo únicamente. Generalmente, siguiendo este patrón, se aplica un mecanismo que va de lo universal a lo particular.

Por otro lado, tenemos la inducción que, a partir de casos particulares, abstrae una ley general. Como se destaca repetidamente a lo largo de la historia de la lógica, toda inducción es en realidad una conjetura y, por lo tanto, si queremos usar el método lógico inductivo, estas proposiciones deben considerarse axiomas.

En la lógica moderna, en la que no entraremos en este párrafo por tratarse de conceptos avanzados que van mucho más allá del alcance de estas simples bases elementales, el método inductivo no se acepta como el razonamiento lógico correcto para demostrar matemáticamente tesis.

El método deductivo es, por lo tanto, el principal método de demostración matemática.

Se distingue en el método directo, en el que se demuestra efectivamente la tesis a partir de las hipótesis, y en el método indirecto, en el que se supone que la tesis es verdadera y se reconstruye el camino lógico hacia atrás para llegar a las hipótesis.

El método indirecto puede, a su vez, hacer uso de la prueba por contradicción que, al negar la tesis, conduce a una contradicción lógica y por tanto la tesis queda probada por el principio del tercero excluido.

El método por contradicción consiste, pues, no en probar que es verdadero, sino que es falso.

En ocasiones, se puede recurrir a la demostración del llamado contranominal para llegar a la demostración del teorema.

Esto se origina de la siguiente relación lógica.

Si es verdad , entonces es necesariamente verdad también .

En algunos sectores particulares de las matemáticas, por ejemplo en geometría, se pueden usar construcciones demostrativas particulares como las