Modelo de cámara estenopeica: Comprender la perspectiva a través de la óptica computacional

Por Fouad Sabry

¿Qué es el modelo de cámara estenopeica?

El modelo de cámara estenopeica es una representación matemática de la relación entre las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional y su proyección sobre la imagen. plano de una cámara estenopeica ideal. En este modelo, la apertura de la cámara se representa como un punto y no se utilizan lentes para concentrar la luz. A modo de ilustración, el modelo no tiene en cuenta las distorsiones geométricas ni la borrosidad de los objetos desenfocados que pueden provocar lentes y aperturas de tamaño finito. El hecho de que la mayoría de las cámaras prácticas sólo tengan coordenadas de imagen discretas es otro factor que no se tiene en cuenta. Debido a esto, el modelo de cámara estenopeica sólo se puede utilizar como una aproximación de primer orden del mapeo de una escena tridimensional a una representación gráfica bidimensional. Su validez depende de la calidad de la cámara y, en general, disminuye desde el centro de la imagen hacia los bordes a medida que aumentan los efectos de la distorsión de la lente.

Cómo se beneficiará

(I) Conocimientos y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Modelo de cámara estenopeica

Capítulo 2: Sistema de coordenadas cartesianas

Capítulo 3: Sistema de coordenadas esféricas

Capítulo 4: Proyección isométrica

Capítulo 5: Representación matricial de secciones cónicas

Capítulo 6: Óptica de Fourier

Capítulo 7: Proyección 3D

Capítulo 8: Matriz de transformación

Capítulo 9: Canalización de gráficos

Capítulo 10: Espacio tridimensional

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre el modelo de cámara estenopeica.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso del modelo de cámara estenopeica en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básicos para cualquier tipo de modelo de cámara estenopeica.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 30 abr 2024

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Capítulo 1: Modelo de cámara estenopeica

Cuando no hay lentes involucradas en el enfoque de la luz, el modelo de cámara estenopeica describe la relación matemática entre la ubicación de un punto en el espacio tridimensional y su proyección en el plano de la imagen. Las distorsiones geométricas y el desenfoque debido a las lentes y los tamaños de apertura fijos no se tienen en cuenta en el modelo. Además, ignora el hecho de que la mayoría de las cámaras del mundo real solo usan coordenadas de imagen discretas. Esto significa que el mapeo de una escena 3D a una imagen 2D producida por el modelo de cámara estenopeica es simplemente una estimación en el mejor de los casos. Su fiabilidad se reduce desde el centro de la imagen hasta sus bordes debido a los efectos de distorsión de la lente y varía en función de la calidad de la cámara.

Si se emplea una cámara de alta calidad, se pueden tener en cuenta algunos de los impactos que ignora el modelo de cámara estenopeica, por ejemplo, mediante la ejecución de transformaciones de coordenadas adecuadas en las coordenadas de la imagen. Por lo tanto, en campos como la visión por ordenador y los gráficos por ordenador, donde se necesitan descripciones precisas de cómo una cámara representa una escena 3D, el modelo de cámara estenopeica suele ser suficiente.

La figura muestra cómo funciona la geometría de mapeo de una cámara estenopeica. Los siguientes son los componentes básicos de la ilustración:

Un sistema de coordenadas ortogonal, tridimensional y centrado en O. La apertura de la cámara también se encuentra aquí. X1, X2 y X3 son los nombres que se dan a los tres ejes de coordenadas. El eje óptico, el eje principal o el rayo principal apuntan en la dirección del campo de visión de la cámara. El plano primario, o parte frontal de la cámara, es el espacio definido por los ejes X1 y X2.

Plano de imagen, donde el mundo, en tres dimensiones, se proyecta a través de la lente de una cámara.

El plano de la imagen es paralelo a los ejes X1 y X2 y se encuentra a una distancia f del origen O en la dirección negativa del eje X3, donde f es la distancia focal de la cámara estenopeica.

Para que una cámara estenopeica funcione en la práctica, el plano de la imagen debe colocarse de manera que cruce el eje X3 en -f, donde f es mayor que cero.

El plano de la imagen y el eje óptico se encuentran en una posición denotada por R. Este es el punto focal, o el corazón de la imagen.

Un punto P en algún lugar del mundo en coordenada (x_1, x_2, x_3) relativa a los ejes X1, X2 y X3.

La línea que utiliza el punto P para proyectarse sobre el plano de la película. Conectando los puntos P y O, esta línea verde representa esta conexión.

Este es el plano de la imagen sobre el que se proyecta el punto P, denotado Q.

El plano de la imagen y la línea de proyección verde se cruzan en esta posición.

En cualquier situación práctica, podemos suponer que x_{3} > 0, lo que significa que el punto de intersección está bien definido.

Además del mundo 3D, el plano de la imagen tiene su propio conjunto de coordenadas, con el centro en R y los ejes perpendiculares entre sí (X1 y X2), respectivamente.

Las coordenadas del punto Q relativas a este sistema de coordenadas son (y_1, y_2) .

Se supone que todas las líneas de proyección pasan a través de un punto infinitesimalmente pequeño en la apertura estenopeica de la cámara. El término centro óptico se utiliza para describir esta ubicación en tres dimensiones.

A continuación, queremos entender cómo las coordenadas del (y_1, y_2) punto Q dependen de las coordenadas (x_1, x_2, x_3) del punto P.

La siguiente figura ayudará con este proceso al mostrar la escena idéntica a la anterior, solo que esta vez vista desde arriba, con los ojos apuntando hacia abajo, a lo largo de la dirección negativa del eje X.

La figura representa un par de triángulos congruentes, cuyas hipotenusas son segmentos de la línea de proyección verde.

Los catetos del triángulo izquierdo son -y_1 y f y los catetos del triángulo rectángulo son x_{1} y x_3 .

Las similitudes entre los dos triángulos sugieren que

\frac{-y_1}{f} = \frac{x_1}{x_3} o y_1 = -\frac{f \, x_1}{x_3}

Los resultados de una investigación similar cuando se ven en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje X1 son:

\frac{-y_2}{f} = \frac{x_2}{x_3} o y_2 = -\frac{f \, x_2}{x_3}

En pocas palabras, esto significa

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = -\frac{f}{x_3} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

que es una expresión que describe la relación entre las coordenadas 3D (x_1,x_2,x_3) del punto P y sus coordenadas de imagen (y_1,y_2) dadas por el punto Q en el plano de la imagen.

El mapeo de coordenadas 3D a 2D descrito por una cámara estenopeica es una proyección en perspectiva seguida de una rotación de 180° en el plano de la imagen.

Esto está en consonancia con el funcionamiento de una cámara estenopeica convencional; la imagen resultante se gira 180° y el tamaño relativo de los objetos proyectados depende de su distancia al punto focal y el tamaño total de la imagen depende de la distancia f entre el plano de la imagen y el punto focal.

Para obtener una imagen que no ha sido girada, lo cual es de esperar de un dispositivo fotográfico, podría ir en cualquier dirección:

Gire el sistema de coordenadas en el plano de la imagen 180° (en cualquier dirección).

Esta es la solución que utilizaría cualquier cámara estenopeica funcional; Al ver una foto tomada con una cámara, la imagen se gira antes de ser vista, En el caso de una cámara digital, la imagen se gira como resultado del orden en que se leen los píxeles.

El plano de la imagen debe moverse de manera que coincida con el eje X3 en f, en lugar de -f, y se deben volver a realizar todos los cálculos anteriores. Dado que esto no se puede hacer de hecho, se crea una cámara teórica que puede ser más fácil de analizar que la cámara real.

Sin la negación, la expresión anterior proporciona la asignación de coordenadas de imagen 3D a 2D en ambas circunstancias.

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \frac{f}{x_3} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

Las coordenadas homogéneas son otra forma de describir la representación cartográfica desde ubicaciones de puntos 3D en el espacio hasta ubicaciones de imágenes 2D.

Sea \mathbf {x} una representación de un punto 3D en coordenadas homogéneas (un vector de 4 dimensiones), y sea \mathbf{y} una representación de la imagen de este punto en la cámara estenopeica (un vector de 3 dimensiones).

Entonces la relación subsiguiente es verdadera.

\mathbf{y} \sim \mathbf{C} \, \mathbf{x}

donde \mathbf{C} es la matriz de la 3\times 4 cámara y la \, \sim igualdad de medias entre los elementos de los espacios proyectivos.

Esto significa que cualquier multiplicación escalar distinta de cero entre los lados izquierdo y derecho también es igual.

Una consecuencia de esta relación es que también \mathbf{C} puede ser visto como un elemento de un espacio proyectivo; Si una multiplicación escalar de dos matrices de cámara produce el mismo resultado, entonces las matrices son comparables.

El mapeo de cámara estenopeica como se describe aquí, como una transformación lineal \mathbf{C} en lugar de como una fracción de dos expresiones lineales, permite derivar varias relaciones entre coordenadas 3D y 2D con menos pasos de cálculo.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Sistema de coordenadas cartesianas

En geometría, un sistema de coordenadas cartesianas (UK: /kɑːˈtiːzjən/, US: /kɑːrˈtiʒən/) en un plano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única mediante un par de números reales llamados coordenadas, donde dos líneas perpendiculares se encuentran en un punto fijo, ¿cuáles son las distancias signadas entre ellas?, líneas de coordenadas, para abreviar, ejes de coordenadas del sistema, o ejes (plural de eje).

El punto de intersección, también conocido como origen, está marcado con un cero, 0) como coordenadas.

Las coordenadas cartesianas, las distancias signadas desde un punto hasta tres planos perpendiculares, se pueden utilizar para describir la ubicación de un punto en el espacio tridimensional. En general, para cada dimensión n, un punto en un espacio euclidiano n-dimensional se puede describir usando n coordenadas cartesianas. Estas son las coordenadas de un punto, expresadas como las distancias signadas a n hiperplanos perpendiculares fijos.

Las coordenadas cartesianas llevan el nombre de René Descartes, al matemático cuyo desarrollo en el siglo XVII estableció la primera conexión sistemática entre la geometría y el álgebra y, por lo tanto, provocó una revolución matemática.

Aplicando el sistema cartesiano de coordenadas, se pueden usar ecuaciones que contienen las coordenadas de los puntos en una forma geométrica (como una curva) para describir la forma en detalle.

Por ejemplo, el círculo de radio 2, situado en la génesis del plano, puede describirse como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x2 + y2 = 4.

Debido a su papel central en la geometría analítica, las coordenadas cartesianas también proporcionan luz sobre otras áreas de estudio de las matemáticas, como el álgebra lineal, el análisis complejo, la geometría diferencial, el cálculo multivariante, la teoría de grupos y muchas más. El grafo de funciones es un ejemplo bien conocido de este concepto. La mayoría de los campos prácticos que se ocupan de la geometría dependen en gran medida de las coordenadas cartesianas, como la astronomía, la física, la ingeniería y muchas más. Son el estándar de facto para el procesamiento de datos en campos como gráficos por computadora, CAD y otras formas de modelado geométrico.

El cartesiano se refiere al matemático y filósofo francés René Descartes, quien, mientras vivía en los Países Bajos, publicó esta teoría en 1637.

Pierre de Fermat lo encontró por su cuenta, que también estaban involucrados en el trabajo multidimensional, a pesar de que Fermat no compartió su hallazgo.

Las coordenadas polares para el plano, y las coordenadas esféricas y cilíndricas para el espacio tridimensional, son solo algunas de las muchas que se han establecido desde Descartes.

La elección de un punto O en la recta (el origen), una unidad de longitud y una orientación para la recta son los tres componentes de un sistema de coordenadas cartesianas para una línea recta en un espacio bidimensional. Cuando una recta está orientada (o puntos) desde la mitad negativa a la mitad positiva, significa que la orientación eligió cuál de las dos mitades de la recta dada por O debe considerarse positiva. Luego, la distancia desde O a cualquier punto dado P en la recta se puede indicar usando un símbolo más (+) o menos (-), dependiendo de qué semirrecta contenga P.

Una recta numérica es una recta que utiliza un sistema de coordenadas cartesianas específico. Hay un lugar específico en la línea para cada número real. Por otro lado, cada punto de la recta puede considerarse como un elemento discreto de un sistema numérico continuo como los números reales.

Un par ordenado de líneas perpendiculares (ejes), una unidad de longitud común para ambos ejes y una orientación para cada eje