Proyección isométrica: Explorando la percepción espacial en la visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la proyección isométrica

La proyección isométrica es un método para representar visualmente objetos tridimensionales en dos dimensiones en dibujos técnicos y de ingeniería. Es una proyección axonométrica en la que los tres ejes de coordenadas aparecen igualmente escorzados y el ángulo entre dos de ellos es de 120 grados.

Cómo te beneficiarás

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Proyección Isométrica

Capítulo 2: Proyección Ortográfica

Capítulo 3: Proyección 3D

Capítulo 4: Ángulos de Euler

Capítulo 5: Matriz de rotación

Capítulo 6: Cuaterniones y rotación espacial

Capítulo 7: Proyección oblicua

Capítulo 8: Matriz de transformación

Capítulo 9: Bloqueo de cardán

Capítulo 10: Tetraedro

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre proyección isométrica.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la proyección isométrica en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Proyección Isométrica.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 4 may 2024

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Capítulo 1: Proyección isométrica

En los dibujos técnicos y de ingeniería, la proyección isométrica se utiliza para crear una imagen bidimensional de un objeto tridimensional. Se trata de una proyección axonométrica, en la que el ángulo entre dos ejes es de 120 grados y los tres parecen acortarse en la misma cantidad.

Isométrico, del griego medida igual, es una proyección en la que la escala permanece constante a lo largo de todos los ejes (a diferencia de otras formas de proyección gráfica).

Al seleccionar un punto de vista en el que las proyecciones de los ejes x e y forman ángulos rectos proporciona una perspectiva isométrica, y, tanto el eje x como el z son equivalentes, o 120°.

Por ejemplo, usando un cubo, uno hace esto fijando la mirada fijamente en la cara de esa persona.

A continuación, el cubo se gira ±45° sobre el eje vertical, seguido de una rotación de aproximadamente 35.264° (precisamente arcos en ¹⁄√³ o arcotangente ¹⁄√², es perpendicular al eje x y tiene algo que ver con el ángulo mágico.

Como se puede ver en la imagen, el perímetro de la representación 2D resultante de un cubo es un hexágono regular, con todas las líneas negras de la misma longitud y las áreas de todas las caras del cubo iguales.

Puedes conseguir el aspecto sin las matemáticas colocando una hoja de papel cuadriculado isométrico debajo de tu papel de dibujo normal.

Lo mismo se aplica aquí, una escena 3D se puede ver desde una perspectiva isométrica.

Para empezar, la cámara debe estar nivelada con el suelo y paralela a los ejes de coordenadas, primero se gira horizontalmente (alrededor del eje vertical) ±45°, luego 35,264° alrededor del eje horizontal.

La proyección isométrica también se puede imaginar como una vista dentro de un cubo, vista desde una de las esquinas superiores y moviéndose hacia la pared opuesta, la esquina inferior.

El eje x forma una diagonal de derecha hacia abajo, el eje y se hunde hacia abajo y hacia la izquierda en una diagonal, y verticalmente hacia arriba a lo largo del eje z.

La altura en la imagen también actúa como un indicador de profundidad.

Las líneas trazadas a lo largo de los ejes están a 120° entre sí.

Una cámara con estas características requeriría una lente telecéntrica espacio-objeto, al igual que lo haría para cualquier proyección axonométrica u ortográfica, para garantizar que las longitudes proyectadas permanezcan constantes a medida que el observador se aleja de la cámara.

El término isométrico se utiliza con frecuencia de forma incorrecta para describir las proyecciones axonométricas. Sin embargo, en realidad hay tres proyecciones axonométricas distintas: oblicua, dimétrica e isométrica.

La proyección isométrica requiere dos puntos de vista, uno desde arriba y otro desde abajo, Teniendo en cuenta lo contradictorio que puede parecer el valor del segundo, merece alguna aclaración.

Imaginemos primero un cubo con lados de longitud 2, y centrado en el punto donde se encuentran los ejes, lo que significa que cada una de sus caras tiene una intersección de ejes exactamente a 1 unidad del origen.

Podemos calcular la longitud de la recta desde su centro hasta la mitad de cualquier arista como √2 usando el teorema de Pitágoras .

Al rotar el cubo 45° en el eje x, para enfatizar (1, 1, Como resultado, (1) se convierte en (1), 0, √2) como se muestra en el diagrama.

La segunda rotación tiene como objetivo llevar el mismo punto en el eje z positivo y, por lo tanto, debe realizar una rotación de valor igual a la arcotangente de ¹⁄√², que es aproximadamente 35,264°.

Se puede obtener una perspectiva isométrica desde uno de los ocho ángulos diferentes, dependiendo de la dirección del octante del observador.

La transformada isométrica de un punto ax,y,z en el espacio 3D a un punto bx,y en el espacio 2D mirando hacia el primer octante se puede escribir matemáticamente con matrices de rotación como:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}

donde α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° y β = 45°.

Como se mencionó arriba, esta es una rotación alrededor del eje vertical (aquí y) por β, seguida de una rotación alrededor del eje horizontal (aquí x) por α.

El siguiente paso es una proyección ortográfica en plano xy:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}

Al rotar a los lados opuestos y luego invertir la orientación de la vista, obtenemos las otras siete opciones.

El concepto de isometría había existido durante siglos en una forma empírica básica hasta que fue definido por el profesor William Farish (1759-1837).

La proyección isométrica, como todas las proyecciones paralelas, hace que los objetos parezcan del mismo tamaño, ya sea que estén cerca o lejos del espectador. Si bien esto es útil para diseños arquitectónicos en los que se deben recopilar medidas precisas, crea una ilusión de distorsión porque la vista humana y la fotografía normalmente no funcionan de esta manera. Como se muestra a la derecha o arriba, también puede conducir a circunstancias en las que juzgar la profundidad y la altitud es un desafío. Las escaleras de Penrose son un ejemplo de una forma aparentemente contradictoria o imposible que puede resultar de esto.

Los gráficos isométricos, también conocidos como gráficos de proyección paralela, se utilizan comúnmente en videojuegos y pixel art, en lugar de mirar hacia abajo o hacia un lado, el punto de vista está sesgado para mostrar detalles en el entorno que de otro modo estarían ocultos, creando una ilusión de profundidad en tres dimensiones.

A pesar de la etiqueta, Sin embargo, no todos los gráficos isométricos por computadora realmente usan un punto de vista isométrico, los ejes x, y y z no están necesariamente orientados 120° entre sí.

En su lugar, se consideran varias perspectivas, Normalmente, se utiliza una proyección dimétrica con una relación de píxeles de 2:1.

Los términos perspectiva 3⁄4, vista ³⁄⁴, 2.5D, pseudo 3D y pseudo 2D también son sinónimos comunes, aunque puede haber algunas diferencias sutiles en la interpretación dependiendo de la situación.

Con el auge de las tecnologías de gráficos 3D más capaces y el cambio hacia los juegos centrados en la acción y los personajes distintivos, la proyección isométrica se ha vuelto cada vez más rara.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Proyección ortográfica

La proyección ortográfica (también la proyección ortogonal y el analema) da como resultado una transformación afín de cada plano de la imagen en la superficie de visualización. En una proyección oblicua, las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.

En la proyección multivista, ortográfica puede referirse a una técnica en la que los ejes o planos principales del sujeto son paralelos al plano de proyección para crear las vistas primarias. Si los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, la representación es axonométrica o una vista auxiliar. (Proyección axonométrica y proyección paralela son sinónimos). Los planos, alzados y secciones son subtipos de vistas primarias; Las proyecciones isométricas, dimétricas y trimétricas son subtipos de vistas auxiliares.

Una lente telecéntrica que proporciona una proyección ortográfica es una lente de espacio de objeto.

La siguiente matriz define una proyección ortográfica sencilla en el plano z = 0:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Para cada punto v = (vx, vy, vz), el punto convertido Pv sería

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Con frecuencia, es más ventajoso emplear coordenadas homogéneas. Para coordenadas homogéneas, la transformación anterior se puede expresar como

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Para cada vector homogéneo v = (vx, vy, vz, 1), el vector Pv después de la transformación sería

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

En gráficos por ordenador, una de las matrices más utilizadas para la proyección ortográfica se especifica mediante la tupla 6 (izquierda, derecha, abajo, arriba, cerca, lejos), que especifica los planos de recorte. Estos planos crean una caja con la esquina más pequeña en (izquierda, abajo, -cerca) y la esquina más grande en (derecha, arriba, -lejos) (derecha, arriba, -lejos).

A continuación, la caja se escala al cubo unitario, que se define como si tuviera su esquina mínima en (1,1,1) y su esquina máxima en (1,1,1). (1,1,1).

La siguiente matriz representa la transformación ortográfica:

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Esto se puede expresar como una escala S seguida de una traducción T de acuerdo con la forma

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La inversión de la matriz de proyección P−1, se puede emplear como la matriz de no proyección:

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La proyección isométrica, la proyección dimétrica y la proyección trimétrica son tres subtipos de proyección ortográfica, en función del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. En los dibujos axonométricos, como en otras formas de diagramas, un eje del espacio se representa típicamente como vertical.

En la vista isométrica, el tipo más frecuente de proyección axonométrica utilizada en dibujos de ingeniería, la dirección de la visión es tal que los tres ejes del espacio parecen estar comprimidos proporcionalmente y hay un ángulo común de 120 ° entre ellos.

Como la distorsión inducida por el escorzo es uniforme, las proporciones entre las longitudes se mantienen, y los ejes tienen la misma escala; Esto facilita la toma de medidas directas a partir del dibujo.

Otra ventaja es que los ángulos de 120° se construyen fácilmente utilizando solo una brújula y una regla.

En la proyección dimétrica, la dirección de visión es tal que dos de los tres ejes del espacio parecen igualmente comprimidos, con la escala y los ángulos de presentación correspondientes establecidos por el ángulo de visión; La escala de la tercera dirección se determina individualmente. Los dibujos dimétricos suelen contener aproximaciones de cotas.

En la proyección trimétrica, la dirección de visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen comprimidos de manera desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan de forma independiente en función del ángulo de visión. En los dibujos trimétricos, las aproximaciones de acotación son comunes, aunque la perspectiva trimétrica rara vez se emplea en los dibujos técnicos.

La proyección multivista produce hasta seis imágenes de un objeto, conocidas como vistas primarias, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. La posición relativa de las vistas viene determinada por uno de estos dos esquemas: proyección de primer ángulo o de tercer ángulo. Las apariencias de las vistas se proyectan sobre planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto en cada caso. Aunque es posible dibujar seis lados diferentes, tres vistas de un dibujo proporcionan información suficiente para crear un objeto tridimensional. Estas perspectivas se denominan vista frontal, vista superior y vista final. Estas perspectivas también se conocen como planta,