Geometría epipolar: Desbloqueo de la percepción de profundidad en la visión por computadora

Por Fouad Sabry

Qué es la geometría epipolar

La geometría epipolar es la geometría de la visión estéreo. Cuando dos cámaras ven una escena 3D desde dos posiciones distintas, hay una serie de relaciones geométricas entre los puntos 3D y sus proyecciones sobre las imágenes 2D que generan restricciones entre los puntos de la imagen. Estas relaciones se derivan de la suposición de que las cámaras pueden aproximarse mediante el modelo de cámara estenopeica.

Cómo se beneficiará

(I) Insights, y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Geometría epipolar

Capítulo 2: Aberración óptica

Capítulo 3: Distancia focal

Capítulo 4: Lente de la cámara

Capítulo 5: Proyección 3D

Capítulo 6: Punto de fuga

Capítulo 7: Distorsión (óptica)

Capítulo 8: Proyección paralela

Capítulo 9: Colinealidad

Capítulo 10: Matriz fundamental (visión por computadora)

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre geometría epipolar .

(III) Ejemplos del mundo real sobre el uso de la geometría epipolar en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Geometría Epipolar.

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 14 may 2024

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Capítulo 1: Geometría epipolar

La geometría epipolar es la geometría que subyace a la percepción tridimensional. Hay una variedad de vínculos geométricos entre los puntos 3D y sus proyecciones en las imágenes 2D que conducen a limitaciones entre los puntos de la imagen cuando dos cámaras observan una escena 3D desde dos lugares diferentes. Estas conexiones se forman a partir de la idea de que las cámaras pueden ser representadas por una cámara estenopeica.

En el siguiente diagrama se muestran dos cámaras estenopeicas, ambas enfocadas en el punto X.

Usando cámaras reales, el plano de enfoque se encuentra detrás del plano de la imagen, crea una imagen que es simétrica con respecto al punto focal de la lente.

Aquí, sin embargo, imaginando un plano de imagen frente al punto focal de la cámara (p. ej.

centro óptico de la lente para crear una imagen que no esté distorsionada por la imagen especular.

OL y OR representan los centros de simetría de las lentes de las dos cámaras.

Los puntos focales de ambas cámaras se indican con el símbolo X.

Los puntos xL y xR son las proyecciones del punto X en los planos de la imagen.

El mundo 3D es capturado por cada cámara como una imagen 2D. El modelo de cámara estenopeica describe perfectamente esta transformación de tres dimensiones a dos, lo que se conoce como proyección en perspectiva. Es una práctica común representar este proceso de proyección utilizando rayos que salen de la cámara y enfocan en su centro. Cada rayo representa un punto de la imagen.

Dado que las lentes de las cámaras tienen diferentes centros ópticos, hay un solo punto en el plano de la imagen de la otra cámara en el que se proyecta cada punto focal.

Estos dos vértices de la imagen, denotados por eL y eR, son epipolos, a menudo conocidos como puntos epipolares.

Ambos epipolos eL y eR en sus respectivos planos de imagen y ambos centros ópticos OL y OR se encuentran en una sola línea 3D.

La línea OL-X es vista por la cámara izquierda como un punto porque está directamente en línea con el centro óptico de la lente de esa cámara.

Sin embargo, esta línea se percibe como una línea en el plano de imagen de la cámara correcta.

Esa línea (eR-xR) en la cámara derecha se llama línea epipolar.

Simétricamente, la línea OR-X es vista por la cámara derecha como un punto y es vista como la línea epipolar eL-xLpor la cámara izquierda.

La ubicación del punto X en el espacio tridimensional determina la línea epipolar, es decir,

a medida que X se desplaza, ambas imágenes tendrán una serie de líneas epipolares dibujadas en ellas.

Dado que la línea 3D OL-X pasa a través del centro óptico de la lente OL, la línea epipolar correspondiente en la imagen de la derecha debe pasar a través del eR del epipolo (y en consecuencia para las líneas epipolares en la imagen de la izquierda).

El punto epipolar es el origen de todas las líneas epipolares de una imagen determinada.

De hecho, dado que el punto epipolar se puede ubicar en cualquier lugar del espacio, cualquier línea que pase a través de él se considera una línea epipolar.

Como una imagen contrastante, piense en la evidencia X, OL Y OR que forman un plano llamado plano epipolar.

Las líneas epipolares son las líneas formadas donde el plano epipolar se encuentra con el plano de imagen de cada cámara.

No importa dónde esté X, cada plano epipolar y línea epipolar debe pasar por el epipolo.

Dos descubrimientos cruciales se derivan del conocimiento de las posiciones relativas de las dos cámaras:

Supongamos que se conoce el punto de proyección xL, y se conoce la línea epipolar eR-xR y que el punto X  se proyecta en la imagen de la derecha, en un punto xR que debe estar en esta línea epipolar en particular.

Esto requiere que, a lo largo de una línea epipolar conocida, para cada punto de una imagen, el punto correspondiente debe mostrarse en la otra imagen.

Esto proporciona una restricción epipolar: la proyección de X en el plano derecho de la cámara xR debe estar contenida en la línea epipolar eR-xR.

Cada X, por ejemplo.

X1, X2, X3 en la  línea OL-XL verificará esa restricción.

Esto nos permite determinar si dos puntos son el mismo punto 3D.

La matriz fundamental o esencial que conecta las dos cámaras también puede caracterizar las restricciones epipolares.

Si se conocen los puntos xL y xR , también se conocen sus rayos de proyección.

Las líneas de proyección deben cruzarse en X si los dos puntos de la imagen representan el mismo punto 3D.

Dado que conocemos las ubicaciones de estos dos puntos de referencia en la imagen, podemos usarlos para determinar X, el uso de triángulos o la triangulación.

Si los planos de imagen de las dos cámaras son paralelos entre sí, la geometría epipolar se simplifica.

Aquí, sin embargo, las líneas epipolares también coinciden (eL-XL = eR-XR).

Además, las líneas epipolares son paralelas a la línea OL-OR entre los centros de proyección, y los ejes horizontales de las dos imágenes se pueden alinear en la práctica.

Es decir, por cada punto en una sola imagen, solo necesita escanear horizontalmente para ubicar su contraparte en la imagen opuesta.

Si las cámaras no se pueden configurar de esta manera, las coordenadas de imagen de las cámaras se pueden modificar para que parezca que todas apuntan hacia el mismo plano.

La corrección de imagen se refiere a este procedimiento.

Las cámaras de barrido utilizan una colección de CCD unidimensionales para crear una tira de imagen continua, o alfombra de imagen, en lugar del CCD bidimensional de la cámara de marco tradicional. La forma epipolar de este sensor es muy diferente a la de los proyectores estenopeicos tradicionales. Para empezar, la línea epipolar del sensor de barrido está curvada como una hipérbola en lugar de ser recta. En segundo lugar, no existe tal cosa como un par de curvas epipolares.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Aberración óptica

La aberración es una característica de los sistemas ópticos, como las lentes, que permite que la luz se disperse a través de una determinada región del espacio en lugar de enfocarse en un solo punto. Este fenómeno es conocido en el campo de la óptica.

1: Imagen con una lente con aberración cromática.

Además, una lente que tiene una menor aberración cromática

Los sistemas ópticos de formación de imágenes que están sujetos a aberraciones darán como resultado la producción de imágenes que no son nítidas. Los fabricantes de instrumentos ópticos están obligados a realizar ajustes en sus sistemas ópticos para compensar la aberración.

Las técnicas de óptica geométrica se pueden utilizar para hacer un análisis de aberración. Algunas de las características generales de los rayos reflejados y refractados se discuten en los artículos dedicados a la reflexión, la refracción y la cáustica.

Reflejo de un espejo esférico.

Los rayos reflejados (verde) que no se dirigen hacia el punto focal son producidos por rayos incidentes (rojo) que se dirigen lejos del centro del espejo.

F.

Debido a la aberración esférica, este es el caso.

Una lente ideal permitiría que la luz de cualquier punto de un objeto pasara a través de él y convergiera en un solo punto en el plano de la imagen (o, más generalmente, en la superficie de la imagen). Este sería el caso si la lente fuera perfecta. Las lentes reales, por otro lado, no concentran con precisión la luz en un solo punto, incluso cuando están construidas a la perfección. Las aberraciones de la lente son el término utilizado para describir estas desviaciones del rendimiento idealizado de la lente.

Las dos categorías de aberraciones se conocen como aberraciones monocromáticas y aberraciones cromáticas. Cuando la luz se refleja o refracta, pueden desarrollarse aberraciones monocromáticas. Estas aberraciones son creadas por la geometría de la lente o el espejo, y pueden ocurrir en cualquiera de estos dos procesos. El nombre proviene del hecho de que son visibles incluso cuando se emplea luz monocromática.

Las aberraciones cromáticas son provocadas por la dispersión, que es el cambio en el índice de refracción de una lente que se produce independientemente de la longitud de onda. Es debido a la dispersión que las distintas longitudes de onda de la luz llegan a enfocarse en diferentes puntos en lugares específicos. El uso de luz monocromática no da lugar a la aparición de aberración cromática porque.

En cuanto a las aberraciones monocromáticas, las más comunes son:

Desenfoque

Aberración esférica

Coma

Astigmatismo

Curvatura de campo

Distorsión de la imagen

A pesar del hecho de que el desenfoque es teóricamente el orden más bajo de las aberraciones ópticas, no se considera típicamente una aberración de la lente. Esto se debe a que se puede rectificar desplazando la lente (o el plano de la imagen) para acercar el plano de la imagen al enfoque óptico de la lente.

Estas aberraciones no son los únicos factores que pueden hacer que el punto focal se desplace; Los efectos de pistón e inclinación son otros ejemplos de estos efectos. Cuando un frente de