Homografía: Homografía: Transformaciones en Visión por Computador

Por Fouad Sabry

Qué es la homografía

En el campo de la visión por computadora, dos imágenes cualesquiera de la misma superficie plana en el espacio están relacionadas por una homografía. Esto tiene muchas aplicaciones prácticas, como la rectificación de imágenes, el registro de imágenes o el movimiento de la cámara (rotación y traducción) entre dos imágenes. Una vez que se ha realizado la resección de la cámara a partir de una matriz de homografía estimada, esta información se puede usar para la navegación o para insertar modelos de objetos 3D en una imagen o video, de modo que se representen con la perspectiva correcta y parezcan haber sido parte del escena original.

Cómo te beneficiarás

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Homografía (visión por computadora)

Capítulo 2: Transformación afín

Capítulo 3: Matriz de transformación

Capítulo 4: Unión de imágenes

Capítulo 5 : Intersección línea-plano

Capítulo 6: Matriz fundamental (visión por computadora)

Capítulo 7: Resección con cámara

Capítulo 8: Rectificación de imágenes

Capítulo 9: Matriz de cámaras

Capítulo 10: Autocalibración de cámaras

(II) Respondiendo las principales preguntas del público sobre homografía.

(III) Real ejemplos mundiales del uso de la homografía en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o información básica para cualquier tipo de Homografía.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 28 abr 2024

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Capítulo 1: Homografía (visión artificial)

Tal como se utiliza en la visión por ordenador, una homografía es una relación entre dos imágenes cualesquiera de la misma superficie plana en el espacio (suponiendo un modelo de cámara estenopeica). Esto se puede utilizar en una variedad de contextos, incluida la rectificación de imágenes, el registro de imágenes y la detección y corrección del movimiento de la cámara rotacional y traslacional entre dos imágenes. Después de que se haya utilizado una matriz de homografía estimada para la resección de la cámara, la información resultante se puede utilizar para la navegación o para insertar modelos 3D de objetos en una imagen o vídeo para que se representen en la perspectiva correcta y parezcan haber sido siempre parte de la escena original (consulte Realidad aumentada).

A y B son nuestras dos cámaras, mirando puntos P_{i} en un plano.

Pasando de la proyección {\displaystyle {}^{b}p_{i}=\left({}^{b}u_{i};{}^{b}v_{i};1\right)} de P_{i} in b a la proyección {\displaystyle {}^{a}p_{i}=\left({}^{a}u_{i};{}^{a}v_{i};1\right)} de P_{i} in a:

{\displaystyle {}^{a}p_{i}={\frac {{}^{b}z_{i}}{{}^{a}z_{i}}}K_{a}\cdot H_{ab}\cdot K_{b}^{-1}\cdot {}^{b}p_{i}}

donde {\displaystyle {}^{a}z_{i}} y {\displaystyle {}^{b}z_{i}} son las coordenadas z de P en cada fotograma de cámara y donde la matriz de homografía {\displaystyle H_{ab}} viene dada por

{\displaystyle H_{ab}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}} .

R es la matriz de rotación por la cual b gira en relación con a; Del punto a al punto b, t representa la dirección de traslación; n es el vector normal del plano, y d es la distancia en radianes desde el centro del plano hasta el origen.

Ka y Kb son las matrices de parámetros intrínsecos de las cámaras.

En el diagrama, la cámara b se coloca a una distancia de d del avión.

Tomado del diagrama anterior:, asumiendo n^{T}P_{i}+d=0 como modelo plano, n^{T}P_{i} es la proyección del vector P_{i} a lo largo n de , e igual a -d .

Por lo tanto {\displaystyle t=t\cdot 1=t\left(-{\frac {n^{T}P_{i}}{d}}\right)} .

Y tenemos {\displaystyle H_{ab}P_{i}=RP_{i}+t} dónde {\displaystyle H_{ab}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}} .

Esta fórmula solo es válida en el caso de que la cámara b no gire ni traslade.

En el caso general donde R_{a},R_{b} y t_{a},t_{b} son las respectivas rotaciones y traslaciones de la cámara a y b, R=R_{a}R_{b}^{T} y la matriz de homografía {\displaystyle H_{ab}} se convierte en

{\displaystyle H_{ab}=R_{a}R_{b}^{T}-{\frac {(-R_{a}*R_{b}^{T}*t_{b}+t_{a})n^{T}}{d}}}

donde d es la separación horizontal entre la cámara b y el plano.

Una homografía afín es un mejor modelo de desplazamientos de imagen cuando la región de la imagen donde se calcula la homografía es pequeña o la imagen se grabó con una distancia focal grande. A diferencia de las homografías generales, las homografías afines tienen una última fila fija.

h_{{31}}=h_{{32}}=0,\;h_{{33}}=1.

{Fin del capítulo 1}

Capítulo 2: Transformación afín

Una transformación afín (del latín affinis, conectado con) es una transformación geométrica en geometría euclidiana que mantiene las líneas rectas y el paralelismo, pero cambia las longitudes y direcciones de los ángulos y distancias involucrados.

Una definición más general de una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son casos especiales de espacios afines), es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo mientras mantiene la relación de las longitudes de los segmentos de recta paralelos. Por lo tanto, después de una transformación afín, los conjuntos de subespacios afines paralelos conservan su paralelismo. Las distancias y los ángulos entre líneas no siempre se conservan mediante una transformación afín, pero sí se conservan las relaciones de distancia a lo largo de una línea recta.

Suponiendo que X es el conjunto de puntos de algún espacio afín, podemos escribir cada transformación afín en X como la combinación de una transformación lineal en X y una traslación de X. No es necesario que el punto de partida del espacio afín permanezca igual durante una transformación afín, a diferencia de una lineal. En consecuencia, toda transformación afín es lineal, pero no toda transformación lineal es afín.

Las transformaciones afines incluyen la traslación, la ampliación, la reducción, la homología, la similitud, la reflexión, la rotación, el mapeo de cortante y cualquier combinación o secuencia de estos.

Las transformaciones afines son aquellas transformaciones proyectivas de un espacio proyectivo que conservan la invariancia del hiperplano en el infinito, definiendo el espacio afín como el complemento del hiperplano en el infinito.

Un mapa afín es una forma más general de una transformación afín.

Imaginemos un cuerpo k y un espacio afín X, Sea V el espacio vectorial al que pertenece.

Una biyección f de X sobre sí misma se denomina transformación afín; esto significa que una función lineal g de V a V está bien definida por la ecuación {\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);} aquí, como de costumbre, El vector libre del punto 2 al punto 1 se denota por la