Espacio de escala: Explorando las dimensiones en visión por computadora

Por Fouad Sabry

¿Qué es el espacio de escala?

La teoría del espacio de escala es un marco para la representación de señales a múltiples escalas desarrollado por las comunidades de visión por computadora, procesamiento de imágenes y procesamiento de señales con motivaciones complementarias de Física y visión biológica. Es una teoría formal para manejar estructuras de imágenes a diferentes escalas, representando una imagen como una familia de imágenes suavizadas de un parámetro, la representación del espacio de escala, parametrizada por el tamaño del núcleo de suavizado utilizado para suprimir estructuras de escala fina. El parámetro  en esta familia se conoce como parámetro de escala, con la interpretación de que las estructuras de imagen de tamaño espacial más pequeñas que aproximadamente  se han suavizado en gran medida en el nivel de escala-espacio a escala.

Cómo se beneficiará

(I) Información y validaciones sobre los siguientes temas :

Capítulo 1: Espacio de escala

Capítulo 2: Detección de bordes

Capítulo 3: Desenfoque gaussiano

Capítulo 4: Diferencia de gaussianos

Capítulo 5: Transformación de características invariantes de escala

Capítulo 6: Enfoques multiescala

Capítulo 7: Tensor de estructura

Capítulo 8 : Pirámide (procesamiento de imágenes)

Capítulo 9: Difusión anisotrópica

Capítulo 10: Filtro Gabor

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre el espacio de escala.

(III) Ejemplos del mundo real sobre el uso del espacio de escala en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de Espacio de Escala.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 14 may 2024

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Capítulo 1: Espacio de escala

La comunidad de visión por computadora desarrolló una teoría llamada espacio de escala para proporcionar un marco para representar señales a múltiples escalas, motivaciones de la física y la visión biológica, las comunidades de procesamiento de imágenes y procesamiento de señales tienen motivaciones complementarias.

Es una teoría formal para tratar con los diferentes tamaños de estructura de las imágenes, codificándola como un grupo de imágenes suavizadas que varían en un solo parámetro, representación en el espacio de escala, controlable ajustando el tamaño del núcleo de suavizado utilizado para ocultar detalles sutiles.

El parámetro t de  esta familia se denomina parámetro de escala, con la interpretación de que las estructuras de imagen de tamaño espacial más pequeño que aproximadamente {\sqrt {t}} se han suavizado en gran medida en el nivel de espacio-escala a escala t .

El espacio de escala lineal (gaussiano) es el tipo de espacio de escala más común y ampliamente utilizado debido a su versatilidad y la facilidad con la que se puede derivar de un número limitado de axiomas. Con la teoría de los operadores de derivadas gaussianos proporcionada por el marco de escala-espacio correspondiente, se puede expresar una amplia variedad de operaciones visuales en sistemas de procesamiento visual computacional. Debido a que los objetos del mundo real pueden ser de cualquier número de tamaños, y debido a que la distancia entre el objeto y la cámara puede ser desconocida o cambiar según las circunstancias, este marco también permite que las operaciones visuales se conviertan en invariantes de escala.

Las señales con cualquier número de variables pueden beneficiarse del concepto de espacio de escala.

Las imágenes bidimensionales son la norma en la literatura académica, es decir, el material que aquí se presenta.

Para una imagen dada f(x,y) , su representación lineal (gaussiana) del espacio de escala es una familia de señales derivadas L(x,y;t) definidas por la convolución de f(x,y) con el kernel gaussiano bidimensional

{\displaystyle g(x,y;t)={\frac {1}{2\pi t}}e^{-(x^{2}+y^{2})/2t}\,}

de tal manera que

L(\cdot ,\cdot ;t)\ =g(\cdot ,\cdot ;t)*f(\cdot ,\cdot ),

donde el punto y coma en el argumento de L implica que la convolución se realiza solo sobre las variables x,y , mientras que el parámetro scale t después del punto y coma solo indica qué nivel de escala se está definiendo.

Esta definición de L funciona para un continuo de escalas t\geq 0 , Sin embargo, en la práctica sólo se tendría en cuenta un pequeño subconjunto de los posibles niveles de escala.

El parámetro de escala t=\sigma ^{2} es la varianza del filtro gaussiano y, como límite para t=0 el filtro, g se convierte en una función de impulso, es L(x,y;0)=f(x,y), decir, la representación del espacio de escala en el nivel de escala t=0 es la imagen f misma.

A medida t que aumenta, L es el resultado de suavizar f con un filtro cada vez más grande, en consecuencia, los detalles más finos de la imagen se pierden gradualmente.

Dado que la desviación estándar del filtro es \sigma ={\sqrt {t}} , los detalles que son significativamente más pequeños que este valor se eliminan en gran medida del parámetro de imagen a escala t , para ayudas visuales, consulte la siguiente figura y.

Representación del espacio L(x,y;t) a escala t=0 , correspondiente a la imagen original f

Representación del espacio de escala L(x,y;t) a escala t=1

Representación del espacio de escala L(x,y;t) a escala t=4

Representación del espacio de escala L(x,y;t) a escala t=16

Representación del espacio de escala L(x,y;t) a escala t=64

Representación del espacio de escala L(x,y;t) a escala t=256

Cuando se le preguntó si se podría usar cualquier filtro de tipo de paso bajo g con un ancho determinado por un parámetro t para generar un espacio de escala para una representación de varias escalas, la respuesta es sí. Dado que es crucial que el filtro de suavizado no introduzca nuevas estructuras espurias a escalas gruesas que no correspondan a simplificaciones de estructuras correspondientes a escalas más finas, la respuesta es no. Varias formulaciones matemáticas precisas de este criterio han sido expresadas en la literatura de espacio-escala.

Partiendo del requisito fundamental de que no se deben crear nuevas estructuras al pasar de una escala fina a una escala más gruesa, se ha demostrado a través de diversas derivaciones axiomáticas que el espacio de escala gaussiana constituye la forma canónica de generar un espacio de escala lineal. Las condiciones, conocidas como axiomas de espacio-escala, como la linealidad, la invariancia de desplazamiento, la estructura de semigrupo, la no mejora de los extremos locales, la invariancia de escala y la invariancia rotacional se han utilizado para derivar la unicidad del kernel gaussiano. La solución a la ecuación de difusión proporciona una definición alternativa de la familia escala-espacio (por ejemplo, en términos de la ecuación del calor), \partial _{t}L={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}L,

con condición inicial L(x,y;0)=f(x,y) .

Esta formulación de la representación del espacio-escala L significa que es posible interpretar los valores de intensidad de la imagen f como una distribución de temperatura en el plano de la imagen y que el proceso que genera la representación del espacio-escala en función de t corresponde a la difusión del calor en el plano de la imagen a lo largo del tiempo t (suponiendo que la conductividad térmica del material sea igual a la constante elegida arbitrariamente 1/2).

Para un lector que no esté familiarizado con las ecuaciones diferenciales, este vínculo puede parecer tenue en el mejor de los casos, como resultado, la formulación primaria del espacio de escala en términos de no mejora de los extremos locales se escribe como una condición de signo en derivadas parciales en el volumen de 2 + 1 dimensiones producido por el espacio de escala, como resultado, dentro de los límites de las ecuaciones diferenciales parciales.

Además, la ecuación de difusión cierra la brecha entre los espacios de escala continua y discretos, como lo demuestra un examen cuidadoso del caso discreto, que se extiende a espacios de escala más allá de la dimensión lineal, por ejemplo, empleando una técnica llamada difusión anisotrópica.

Por lo tanto, se podría argumentar que la ecuación de difusión es el método más común para producir un espacio de escala, que tiene el kernel gaussiano como su función de Green debido a una ecuación diferencial parcial particular.

Los objetos del mundo real están formados por diferentes estructuras a diferentes escalas, y de ahí proviene el ímpetu para crear una representación de espacio de escala de un conjunto de datos determinado. Esto sugiere que, a diferencia de las entidades matemáticas idealizadas como puntos o líneas, la apariencia de los objetos del mundo real puede variar con la escala a la que se observan. Conceptos como hojas y moléculas son más apropiados en escalas más pequeñas, mientras que el concepto de árbol es apropiado en la escala de metros. No hay forma de que un sistema de visión artificial sepa a priori qué escalas son apropiadas para describir las estructuras interesantes en los datos de la imagen cuando se