Trigonometria

Por Jesus Retamozo

Título: "Trigonometría"

¡Sumérgete en un viaje matemático emocionante y completo con este libro de trigonometría excepcionalmente detallado!

¿Estás buscando una guía que te lleve de la mano a través de los misterios y desafíos de la trigonometría? ¡Este libro es exactamente lo que necesitas! "Trigonometría Explicada" no es solo otro libro de texto sobre matemáticas; es una obra maestra educativa diseñada para encender tu curiosidad y nutrir tu comprensión de este tema fundamental.

En sus páginas, descubrirás un enfoque innovador para explorar las funciones trigonométricas y sus aplicaciones. Desde los ángulos más simples hasta las complejidades de las identidades trigonométricas, este libro te lleva de la mano a través de cada paso, ofreciendo explicaciones claras y ejemplos ilustrativos que te ayudarán a dominar incluso los conceptos más desafiantes.

Lo que hace que este libro sea excepcional:

Una introducción accesible a las funciones trigonométricas, presentadas de una manera que elimina la confusión y promueve la comprensión.

Exploración profunda de las relaciones trigonométricas en todo tipo de triángulos, junto con estrategias efectivas para resolver problemas relacionados.

Gráficas claras y explicaciones visuales que te ayudarán a visualizar las funciones trigonométricas y entender cómo se comportan en diferentes contextos.

"Trigonometría Explicada" es mucho más que un libro de texto; es un compañero de confianza en tu viaje hacia el dominio de las matemáticas. Ya sea que estés estudiando para un examen, buscando ampliar tus horizontes académicos o simplemente interesado en explorar el fascinante mundo de la trigonometría, este libro te llevará exactamente adonde necesitas ir.

• Idioma: Español
• Editorial: Jesus Retamozo
• Fecha de lanzamiento: 5 abr 2024
• ISBN: 9798224759552

Vista previa del libro

Introducción

El estudio de la trigonometría es esencial e importante para comprender no solo las formas triangulares que podemos observar en la naturaleza o en la vida cotidiana, sino también de cualquier forma geométrica. Podemos observar que muchas de las grandes construcciones hechas por el hombre posee alguna forma triangular en su estructura, desde las grandes pirámides de Guiza hasta elementos tan básicos e imprescindibles como una sencilla regla triangular.

La mayoría de estudiantes se encuentra por primera vez con la trigonometría durante la secundaria, el desarrollo de estas habilidades es de suma importancia cuando el estudiante decide dar el siguiente paso en la universidad o de forma autodidacta.

Este libro sirve de base para todo aquel que busque iniciarse en el estudio de la trigonometría y también presenta de forma didáctica los principios y teoremas y sus aplicaciones en distintos problemas que se presentan en este libro. Se asume que el lector no posee conocimientos de cálculo diferencial e integral.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Como es bien sabido una función es una regla de correspondencia que asigna un valor a otro, además puede ser continua, derivable, etc; estas y otras propiedades se exploran mejor en un curso de introducción al cálculo.

Habiendo definido una función, ahora nos centraremos en conocer más acerca de las funciones trigonométricas, estas resultan del estudio de las propiedades del circulo unitario, y su propiedad más resaltante es que tienen un periodo mínimo. Si ‘T’ es el periodo de una función se cumplirá siempre que:

En la siguiente imagen podemos observar el circulo unitario y las funciones trigonométricas seno y coseno.

C:\Users\jesus\Downloads\434efedf-min.png Las propiedades trigonométricas en el plano 2D se derivan a partir de este círculo, usando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado, obtendremos la identidad fundamental de la trigonometría.

Válida para cualquier ángulo, el periodo de las funciones trigonométricas aparece naturalmente como el giro alrededor del eje ‘x’ de un ángulo en radianes. El periodo de un ángulo en radianes es equivalente a la longitud de la circunferencia, esto se puede ver de esta fórmula que relaciona el arco con el radio.

En un círculo unitario, R vale ‘1’, y la longitud de una circunferencia de radio uno como bien sabemos es dos veces pi.

Resumiendo, las dos funciones mencionadas cumplirán que:

IDENTIDAD DE SUMA Y RESTA

De inmediato surge una pregunta a partir del circulo unitario, si un ángulo arbitrario es igual a la suma de otros dos ángulos, como podemos encontrar el seno o coseno de este dado los anteriores. Veamos el siguiente rectángulo, en él se encuentra inscrito un triángulo de hipotenusa igual a ‘1’.

C:\Users\jesus\Downloads\223eeqwewqe-min.png

Aquí hemos usado repetidamente la relación entre los lados en un triángulo rectángulo usando las relaciones trigonométricas seno y coseno, luego de eso, por propiedad los lados paralelos de un rectángulo son iguales, y encontraremos las identidades de suma fundamentales en trigonometría:

Podemos verificar también que:

Mediante la identidad de suma, es un ejercicio trivial obtener las identidades de resta cambiando ‘b’ por ‘-b’. Sabiendo que la función seno y coseno son impar y par respectivamente, es decir.

Esto se demuestra dibujando ‘-x’ en el círculo unitario como un ángulo en sentido horario, luego igualando sus componentes con el ángulo ‘x’ en sentido anti horario demostraremos la paridad de las funciones ya mencionadas. Ahora ya podemos encontrar las identidades de resta.

Las siguientes identidades se deducen fácilmente a partir de la circunferencia trigonométrica para una mitad de periodo, un cuarto, etc.

IDENTIDADES DE ARCO MULTIPLE

Haciendo ‘a=b= ’ en las identidades de suma se puede obtener el caso particular para el doble de un ángulo, estas son muy útiles, se presentan muy frecuentemente en muchos problemas de trigonometría, calculo, estática, etc.

Asimismo, usando nuevamente esta fórmula en lo anterior conseguiremos las identidades para cualquier múltiplo de . Este problema puede resultar innecesario porque la identidad de Euler nos ayuda a reducir esto enormemente. Primero, demostremos la identidad de Euler, como es bien sabido la unidad imaginaria ‘i’ cumple que:

Factorizando la siguiente identidad trivial e introduciendo la unidad imaginaria:

Tenemos la siguiente función, y se deduce a partir de esto su propiedad más básica:

Tomemos dos valores arbitrarios ‘a’ y ‘b’ y hallemos lo siguiente:

Iterando esta fórmula muchas veces luego de hacer ‘a=b’, seguidamente cambiando ‘a por ‘a/n’:

Combinando estas dos ecuaciones, y sabiendo que cualquier número real puede expresarse como el límite de una sucesión de números racionales, en este caso lo asumimos para el numero ‘b’ introducido.

Ahora tenemos una función continua en las variables ‘a’ y ‘b’, como solo necesitamos una, en la última expresión cambiamos ‘a’ por ‘a/b’, luego aplicamos el límite de ‘b’ cuando tiende al infinito. Para eso necesitaremos una aproximación de ‘f(a)’ para valores de ‘a’ muy cercanos a ‘0’. Se sabe muy bien que para valores pequeños de ‘a’ la siguiente aproximación es válida:

Y usando esto para aproximar f(a):

Aquí hicimos uso del conocido limite que define a la constante ‘e’, y la aplicación de la teoría básica de los límites de una función, de ahí el resultado final.

IDENTIDAD DE EULER

Con esto formula relacionamos la trigonometría con el álgebra de manera espectacular, procediendo a la inversa, las funciones seno