Kurt Gödel o sobre las paradojas

Por Andrés Felipe López López

En los contrarios y la tensión entre ellos, constituyentes del ser humano, William Blake descubrió fuerzas poéticas o creativas; el hombre es la unidad en la que se integran el paraíso y el infierno, los dioses y todos los mundos. Gilbert Keith Ches terton hizo de las paradojas un método de investigación. Franz Kafka convirtió la paradoja en estética y el enigma en poder configurativo. Kurt Gödel transmutó paradojas lógicas en puntos de partida y en componentes del método de demostración de sus metateoremas de incompletez, que tienen efectos más allá de la lógica matemática: se extienden a la filosofía, la teoría del conocimiento, la idea de la ciencia, y más. En una mención hecha por la Universidad de Harvard en 1952 con motivo de la investidura de Gödel como doctor honorario en Ciencias, aquello fue elevado a la dignidad del descubrimiento matemático más significativo del siglo XX. Resultado lógico-matemático, agrego, para hacer más exacta la valoración. Ya Kurt Gödel llevaba dentro de sí, desde la infancia y la juventud, una de las mayores paradojas: la coexistencia de la genialidad y la locura. Unión que no es necesaria y universal, pues un intelecto creativo no es por definición una mente afectada, aunque en algunos casos, como el suyo, una cosa sirvió de energía a la otra, y esto correlativamente. Además de radicar en la novela de su vida, la locura de Gödel fue el sueño de la razón pura.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad del Bosque
• Fecha de lanzamiento: 7 mar 2023
• ISBN: 9789587393286

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Cap. 1

Definiciones y reminiscencias

§ 1

Una paradoja puede entenderse de los siguientes modos:

Una afirmación contradictoria, pero que parece ser cierta.

Una realidad que exhibe cualidades o aspectos contradictorios o inexplicables.

Una declaración esencialmente contradictoria, pero (para desesperación) basada en un razonamiento válido.

Desde la perspectiva etimológica, paradoja es un enunciado (o entidad) que va en contra del juicio generalmente aceptado o que está más allá de lo creíble. En su forma más extrema se le puede llamar «antinomia», y consiste en la equivalencia aparente de dos proposiciones, una de las cuales es negación de la otra. En el contexto de la lógica moderna, los dos términos se consideran sinónimos. Una paradoja lógica o antinomia se puede distinguir por un resultado que se contradice, pero habiéndose aplicado correctamente modos de razonamiento, así como se hace manifiesta por un mal uso en los modos de razón.

Puede hacerse distinción de varios tipos generales de paradojas:

Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas.

Afirmaciones que parecen verdaderas, aunque en realidad son falsas.

Cadenas de razonamientos aparentemente correctas, pero que llevan a contradicciones lógicas (falacias).

Aunque es incorrecto definir como paradojas a las aseveraciones cuya verdad o falsedad es indecidible, ¿puede pensarse que el hecho de que aparezcan sentencias indecidibles es una paradoja, no las aseveraciones en sí mismas, sino que sea el caso de que este fenómeno se dé? Es una provocación esta pregunta.

§ 2

Dice Jorge Luis Borges en su poema «Los dones»:

De los libros que el tiempo ha acumulado

le fueron concedidas unas hojas;

de Elea, unas contadas paradojas,

que el desgaste del tiempo no ha gastado.

Por Elea, el escritor argentino se refiere a Zenón de Elea y sus paradojas. Estas y muchas más son indemnes incluso al desgaste del tiempo, incluso al olvido, porque son dificultades o problemas, muchas veces sin resolver, que se convierten en suelos nutricios de nuevo conocimiento. Puede ser que problemas, inconsistencias o contradicciones –generalmente tomada, una paradoja es una inconsistencia– se nos presenten como males del saber, pero, por el contrario, son realidades que han impulsado el proceso del conocimiento, han motivado las voluntades. Los matemáticos Edward Kasner y James Newman enseñaron que es tan continuo el flujo del testamento de la ciencia que la herejía del pasado, la herejía de ayer, es el evangelio de hoy, así como el fundamento de mañana. Por supuesto, sin uno de los más básicos instintos de la humanidad no existiría ninguna clase de conocimiento, me refiero a la curiosidad, y la congoja por un problema no resuelto, que oprime a la inteligencia y al corazón humanos, es un ahogo que no soportamos mucho tiempo. A lo mejor Dios nos dejó las inconsistencias, las paradojas y las contradicciones como fuerza revitalizadora de la conciencia para que la mente nunca caiga en el sueño del decaimiento y la apatía, para que se mantenga despierta y animada con respecto al automatismo y contra esa terrible enfermedad de los seres humanos que consiste en trivializar tantas cosas.

Para Gilbert Keith Chesterton las paradojas son sorpresas y mucho o todo de lo que en nosotros es poético se debe a que nos gusten las paradojas. También con gracia escribió: «Una persona a la que le guste la paradoja (si es que puede existir una criatura tan desvergonzada) […]».

En un artículo de 1965 titulado «Las paradojas de la lógica y la teoría de conjuntos y su solución», Evert W. Beth hace la siguiente recuperación de las que pueden llamarse «paradojas clásicas», en los reinos de la lógica y de la matemática (he puesto una fecha aproximada a cada una):

Paradoja del mentiroso (¿es una obviedad que la más antigua de las paradojas conocidas, en el ámbito lógico y semántico, sea la del mentiroso, formulada por Euclides en el siglo IV a. C.? No lo es, no es trivial que sea reconocida como primera en el elenco de Evert W. Beth o por otros entendidos en la materia, como sucede en el discurso de Fernando Bombal Gordón para su recepción como Académico de Número de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, por poner un ejemplo. Ni es obviedad, ni es trivial si hay conciencia de que la lógica es ciencia de las ciencias, como lo demostraron Bernard Bolzano y Edmund Husserl. Las ciencias son teorías de lo que es, la lógica es la teoría de la ciencia; es la ciencia de la unidad teorética en general, comprensión de las teorías en cuanto estructuras de significados, de objetos y sus relaciones; es la ciencia de las significaciones y sus leyes; por tanto su causa final es, justamente, la verdad y el concepto mismo de verdad).

Paradoja de Burali-Forti, que inquietó a Georg Cantor allá en 1895.

Paradoja del número cardinal máximo, descubierta por Georg Cantor alrededor de 1895, pero publicada en 1932 con su correspondencia (se encuentra en cartas de Cantor a Richard Dedekind del 28 de julio y el 31 de agosto de 1899).

Paradoja de Russell, de 1902-1903, descubierta independientemente, al mismo tiempo, por Ernst Zermelo (se puede ver en la correspondencia entre Bertrand Russell y Gottlob Frege de junio de 1902, y en una formulación estándar de 1908 en «Lógica matemática basada en la teoría de tipos» de Russell).

Paradoja de Richard, de 1905, relacionada con el trabajo de H. Lebesgue sobre funciones analíticamente representables.

Paradoja de Zermelo-König, de 1905.

Paradoja de la denotación, de Russell en 1905, relacionada con la paradoja del análisis.

Paradoja de Berry, que es una forma simplificada de la paradoja de Richard publicada por Russell en 1906.

Paradoja de Grelling, publicada por Nelson y Grelling en 1908 (es atribuida algunas veces, erróneamente, a Hermann Weyl).

La (así llamada) «paradoja del barbero», de Russell en 1918, de la cual hay en circulación numerosas variantes.

Paradoja de Skolem-Löwenheim, de 1923.

Paradoja del análisis, de G. E. Moore en 1942.

Íntimamente relacionadas con estas paradojas clásicas, Evert W. Beth también recuerda:

13. Una nueva versión de la paradoja de Russell, de R. L. Stanley en 1953.

14. La paradoja de la clase de todos los conjuntos fundados, de Shen Yuting en 1953.

15. La paradoja de Russell en lógicas polivalentes, de Moh Shaw-Kwei en 1954.

16. La paradoja de Geach-Löb, de 1955.

17. Dos paradojas semánticas, de Shen Yuting en 1955.

Las inconsistencias y paradojas, por otra parte, exigen definiciones metateóricas, metalógicas y metamatemáticas de conceptos tan universales como verdad, falsedad, definibilidad, completez, de los conceptos mismos de teoría, ciencia, saber, conocimiento, y más. En otras palabras, exigen resolver –o al menos no abandonar el camino de– el problema de los fundamentos.

Que las paradojas vivifiquen la tarea de extensión del conocimiento y que exijan soluciones a los problemas de la filosofía fundamental de las ciencias lo defino como una metaparadoja: ¿cómo puede la contradicción y lo que se manifiesta inexplicable ser tan fecundo para la constitución de sentido, para la lucha por el conocimiento y para los descubrimientos?

Una ciencia, un saber, un conjunto de conocimientos de cualquier índole que no se interrogue por sus fundamentos y avance en soluciones no es, estrictamente hablando, ni ciencia, ni saber, ni conocimiento; está a la mitad o es pseudociencia; sin raíces, sin tierra y sin nutrientes, si acudo a la imagen del árbol completo de la ciencia, que para mí incluye a las artes, y que en la versión de Ramón Llull no sería tanto un árbol como sí un bosque de dieciséis árboles de las ciencias.

En las Eddas islandesas (o islandeso-noruegas) el cosmos inmutable está representado en el gran árbol Yggdrasil, que abarca y relaciona todos los mundos, los cielos y las tierras, y es el centro de todo. En torno a él se encuentran las nornas, espíritus femeninos que fijan los destinos, y también se reúnen en consejo los dioses. Enlaza la realidad terrenal, la subterránea y la aérea. En él tiene lugar la lucha incesante entre el águila y la serpiente, símbolos de lo etéreo y lo acuático que son principios en toda cosmología primitiva. Odín, dios del conocimiento, la magia y la poesía, para aprender el misterio de las runas y los signos se sacrificó en Yggdrasil por nueve días y nueve noches, atravesado por Gungnir, su propia lanza. Tres raíces tiene este árbol, en una de ellas se encuentra la fuente de Mímir, en la cual se conservan la sabiduría y la inteligencia. Mímir está lleno de conocimiento, pues bebe de esa fuente con un cuerno. Hasta Mímir llegó Odín y pidió un trago de la fuente, pero no lo obtuvo hasta que entregó en prenda su ojo. El mundo podrá terminar e Yggdrasil temblar, pero no caerá. El árbol de la ciencia y el árbol del cosmos inmutable está vivo en nosotros y constituye el sentido del tejido de la realidad, es el árbol del alma, la razón, la conciencia, el pensamiento, la experiencia, la sensibilidad, el intelecto, la mente y la percepción. Árbol triple: las ciencias y artes, las totalidades y el alma. Si este árbol es frondoso, se nutre la realidad; si tiembla o se contamina, peligra la