Generación de malla: Avances y aplicaciones en la generación de mallas de visión por computadora

Por Fouad Sabry

¿Qué es la generación de malla?

La generación de malla es la práctica de crear una malla, una subdivisión de un espacio geométrico continuo en celdas geométricas y topológicas discretas. A menudo, estas celdas forman una complejo simplicial. Por lo general, las celdas dividen el dominio de entrada geométrico. Las celdas de malla se utilizan como aproximaciones locales discretas del dominio más grande. Las mallas se crean mediante algoritmos informáticos, a menudo con guía humana a través de una GUI, según la complejidad del dominio y el tipo de malla deseada. Un objetivo típico es crear una malla que capture con precisión la geometría del dominio de entrada, con alta calidad ( bien formadas) y sin tantas celdas como para que los cálculos posteriores sean intratables. La malla también debe ser fina en áreas que son importantes para los cálculos posteriores.

Cómo se beneficiará

(I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:

Capítulo 1: Generación de malla

Capítulo 2: Método de elementos finitos

Capítulo 3: Ecuación diferencial parcial

Capítulo 4: Dinámica de fluidos computacional

Capítulo 5: Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales

Capítulo 6: Elíptica parcial ecuación diferencial

Capítulo 7: Método de diferencias finitas

Capítulo 8: Continuación numérica

Capítulo 9: Método de volúmenes finitos

Capítulo 10: Análisis isogeométrico

(II) Respondiendo a las principales preguntas del público sobre la generación de mallas.

(III) Ejemplos del mundo real para el uso de la generación de mallas en muchos campos.

Para quién es este libro

Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de Generación Mesh.

 

 

• Idioma: Español
• Editorial: Mil Millones De Conocimientos [Spanish]
• Fecha de lanzamiento: 4 may 2024

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Capítulo 1: Generación de mallas

La generación de malla es el proceso de dividir un espacio geométrico continuo en celdas geométricas y topológicas distintas para formar una malla. A menudo, estas células forman un complejo simplicial. Normalmente, las celdas dividen el dominio geométrico de entrada. Como aproximaciones locales discretas del dominio más amplio, se utilizan celdas de malla. Dependiendo de la complejidad del dominio y del tipo de malla buscada, las mallas se generan mediante algoritmos informáticos, a menudo con asistencia humana a través de una interfaz gráfica de usuario. Un objetivo común es producir una malla que represente con precisión la geometría del dominio de entrada, que tenga celdas de alta calidad (bien formadas) y que no sea demasiado densa, de modo que los cálculos en el futuro se vuelvan inmanejables. Además, la malla debe ser fina (contener componentes pequeños) en regiones que son cruciales para los cálculos que siguen.

Las mallas se utilizan para la simulación física en programas como la dinámica de fluidos computacional y el renderizado en una pantalla de computadora. Las mallas están hechas de bloques de construcción básicos como triángulos porque, por ejemplo, podemos hacer cálculos de elementos finitos (para ingeniería) o trazado de rayos (para gráficos por computadora) en triángulos, pero no en formas y lugares más complejos, como un puente sobre una carretera. Al completar los cálculos en cada triángulo y averiguar cómo interactúan las interacciones entre los triángulos, podemos modelar la fuerza del puente o representarla en la pantalla de una computadora.

La diferencia entre mallado organizado y no estructurado es significativa. Un entramado regular, como una matriz, se utiliza en el mallado estructurado con conexión inferida entre los elementos. El mallado no estructurado permite la captura de dominios más complejos y la posibilidad de patrones irregulares de conexión entre las partes. El tema principal de esta página son las mallas no estructuradas. Aunque una malla se puede triangular, la malla difiere de la triangulación de conjuntos de puntos en que permite la adición de vértices que no se incluyeron en la entrada. La misma libertad para agregar vértices existe cuando se facetan (triangulan) modelos CAD para dibujar, pero el objetivo es representar con precisión la forma con el menor número posible de triángulos; La forma de los triángulos individuales no es importante. Las mallas se utilizan en lugar de texturas para representaciones de gráficos por computadora de situaciones de iluminación realistas.

Muchos programas de generación de mallas están conectados a sistemas CAD que definen su entrada y programas de simulación que reciben su salida. La entrada puede adoptar muchas formas diferentes, pero las típicas incluyen nubes de puntos, modelado de sólidos, modelado geométrico, NURBS y B-rep.

Los términos generación de malla, generación de malla, malla y rejilla se utilizan con frecuencia indistintamente, pero técnicamente, los dos últimos cubren la mejora de la malla, que es el proceso de alterar la malla para acelerar o mejorar la precisión de los cálculos numéricos que se ejecutarán sobre ella. Ocasionalmente, una malla se conoce como una teselación tanto en matemáticas como en la representación de gráficos por computadora.

Dependiendo de su dimensión y del contexto en el que se utilizará la malla, las caras de malla (celdas, entidades) tienen varios nombres. Las entidades de malla de mayor dimensión en elementos finitos se denominan elementos, mientras que los bordes son 1D y los nodos son 0D. Las entidades 2D son caras si los elementos son 3D. Los vértices son los puntos 0D en geometría computacional. Los tetraedros a veces se denominan tets, mientras que los triángulos, cuadriláteros y hexaedros (cubos topológicos) se denominan tris, quads y hexágonos, respectivamente.

Muchas reglas de adición de vértices, como el método de Ruppert y la triangulación de Delaunay, son los cimientos de varios enfoques de malla. Una característica única es la adición de vértices y triángulos después de que se haya creado una malla inicial gruesa de todo el espacio. Comparativamente, los algoritmos frontales avanzados introducen elementos de forma incremental en el interior del dominio a partir del límite. Los métodos híbridos combinan los dos. Las capas límite delgadas de elementos para el flujo de fluidos se crean utilizando una clase única de procedimientos frontales avanzados. La malla completa creada por la generación de malla estructurada es un grafo de celosía, como una cuadrícula regular de cuadrados. El dominio se divide en subregiones considerables, cada una de las cuales es una malla estructurada, en malla estructurada por bloques. Algunos enfoques directos comienzan con una malla estructurada en bloques y luego la ajustan para que se ajuste a la entrada; para obtener más información, consulte Generación automática de malla hexadecimal basada en Polycube. Corte las celdas organizadas por el borde del dominio como una forma directa adicional; véase Escultura del cubo Marching.

Algunos tipos de malla son sustancialmente más difíciles de hacer que otros. En comparación con las mallas cúbicas, las mallas simpliciales suelen ser más simples. La generación de una malla hexagonal que se ajuste a una malla fija de superficie cuádruple es una categoría crucial, y la investigación de la existencia y creación de mallas con configuraciones particulares diminutas, como el trapezoedro tetragonal, es una subárea de investigación. La existencia de mallas hexagonales combinatorias se ha investigado por separado de la cuestión de la producción de realizaciones geométricas de alta calidad debido a las dificultades de este tema. Aunque los algoritmos conocidos producen mallas simpliciales con una garantía de calidad mínima, pocas mallas cúbicas tienen las mismas garantías, y muchas implementaciones ampliamente utilizadas producen hexágonos invertidos (de adentro hacia afuera) a partir de algunas entradas.

Incluso cuando los cálculos posteriores sobre la malla se realizarán en paralelo en supercomputadoras, las mallas se generan con frecuencia en serie en estaciones de trabajo. Esto se debe al inconveniente de que la mayoría de los generadores de malla son interactivos, así como al hecho de que la duración de generación de malla suele ser insignificante en comparación con el tiempo de resolución. Sin embargo, el mallado se realiza en paralelo si la malla es demasiado grande para caber en la memoria de un solo procesador serie o si es necesario modificarla (adaptarla) a lo largo de la simulación.

La función de interpolación matemática sirve como base para el proceso de generación de cuadrículas utilizado en álgebra.

Utilizando funcionalidades conocidas en una, Usando secciones de varias formas en dos o tres dimensiones.

Es posible que el dominio de la computación no sea cuadrado, pero para simplificar las cosas, se supone que el dominio es rectangular.

El beneficio clave de los enfoques es que regulan explícitamente la forma y el espaciado de la cuadrícula física.

La transformación de normalización es el método más sencillo que se puede utilizar para crear una malla computacional ajustada a un límite. Para usar una boquilla, con la función de descripción, y=x^{2} la cuadrícula se puede generar fácilmente utilizando una división uniforme en la dirección y con incrementos igualmente espaciados en la dirección x, se caracterizan por

\xi =x\,\eta ={\frac {y}{y_{\max }}}\,

donde y_{\max } denota la coordenada y de la pared de la boquilla.

Para valores dados de ( \xi , \eta ), los valores de ( x , y ) se pueden recuperar fácilmente.

Las técnicas de generación de cuadrículas basadas en ecuaciones diferenciales son similares a las utilizadas en matemáticas. El beneficio de emplear ecuaciones diferenciales parciales (EDP) es que la malla se puede generar aprovechando la solución de las ecuaciones generadoras de la red. Los tres tipos de ecuaciones diferenciales parciales se pueden usar para crear cuadrículas.

Las soluciones de PDE elípticas suelen ser muy suaves, lo que da como resultado contornos suaves.

maximizando su suavidad como beneficio Se descubrió que el jacobiano es positivo como resultado del principio máximo para las funciones armónicas, por lo que es preferible utilizar las ecuaciones de Laplace.

Después de un trabajo sustancial sobre PDE elípticas para crear cuadrículas fue realizado por Crowley (1962) y Winslow (1966),.

En los generadores con una cuadrícula de Poisson, el mapeo se realiza marcando los puntos deseados de la cuadrícula (x,y) en el límite del dominio físico, y la distribución interna de puntos se determina resolviendo las siguientes ecuaciones

\xi _{{xx}}+\xi _{{yy}}=P(\xi ,\eta )\eta _{{xx}}+\eta _{{yy}}=Q(\xi ,\eta )

donde, (\xi,\eta) son las coordenadas en el dominio computacional, mientras que P y Q controlan el espaciado de puntos dentro de D.

Cambiando las ecuaciones antes mencionadas en el espacio computacional se obtiene un par de EDP elípticas de la siguiente forma:

\alpha x_{{\xi \xi }}-2\beta x_{{\xi \eta }}+\gamma x_{{\eta \eta }}=-I^{2}(Px_{\xi }+Qx_{\eta })\alpha y_{{\xi \xi }}-2\beta y_{{\xi \eta }}+\gamma y_{{\eta \eta }}=-I^{2}(Py_{\xi }+Qy_{\eta })

Dónde

{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=x_{\eta }^{2}+y_{\eta }^{2}\\\beta &=x_{\eta }x_{\xi }+y_{\xi }y_{\eta }\\\gamma &=x_{\xi }^{2}+y_{\xi }^{2}\\I&={\frac {\delta (x,y)}{\delta (\xi ,\eta )}}=y_{\eta }x_{\xi }-y_{\xi }x_{\eta }\end{aligned}}}

Estos sistemas de ecuaciones se resuelven en el plano computacional en una cuadrícula espaciada uniformemente que nos proporciona las (x,y) coordenadas de cada punto en el espacio físico.

El uso de PDE elípticas tiene la ventaja de que tanto la solución asociada a ellas como la