Álgebra abstracta aplicada en ingeniería: casos de aplicación en sistemas difusos tipo 1 y tipo 2

Por José Jairo Soriano Méndez

En esta obra se presenta la modelación de la vaguedad, ambigüedad y contradictoriedad, realizada con lógica trivalente y tetravalente y operada por medio de las estructuras algebraicas de Kleene y De Morgan, respectivamente. Se enmarca, a través de la conformación de tablas y grafos, la sintetización de algunos aspectos de la lógica clásica y se amplía el concepto de implementación tabular en lógica bivalente con una estructura algebraica booleana propuesta por Shanon (1938) para la realización, síntesis y diseño de sistemas de lógica con las incertidumbres mencionadas, proponiendo el uso de conjuntos difusos tipo 1 y tipo 2 de intervalo.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad Distrital Francisco José de Caldas
• Fecha de lanzamiento: 10 mar 2019
• ISBN: 9789587874747

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Parte I

Estructuras algebraicas basadas en razonamiento lógico "saberlo" y conjuntos difusos

Capítulo 1

Estructura algebraica para lógica bivalente

1.1. Generalidades del álgebra de Boole B2 .

El álgebra de Boole B2 es una estructura (B, ∨, ∧,′, 0, 1) con B = {0,1}, donde ∨ es la disyunción entre dos proposiciones, ∧ es la conjunción, (′) la negación y 0 o 1 es la asignación del valor de verdad a la proposición, siendo uno cuando la proposición es verdadera y cero en caso contrario.

De las operaciones con conjuntos nítidos (crisp) y operaciones lógicas destacamos las siguientes propiedades:

Equation1.1-1.5

1.2. Diseño de automatismos o ley de control para sistemas retroalimentados basados en álgebra booleana.

El álgebra de Boole ha sido una poderosa herramienta para el diseño de sistemas automáticos [68], [84]; la lógica booleana es básicamente bi-valuada, donde las proposiciones verdaderas son valoradas con uno mientras que las falsas tienen un valor de cero; en general, una relación booleana es una función que asigna un valor de verdad a una proposición. Las proposiciones son definidas como variables y las combinaciones de ellas determinan si la salida se cumple o no, dichas combinaciones se presentan usualmente en una tabla.

Tabla 1.1. Tabla de verdad de la función O.

Considerando el operador lógico de conjunción ∧ y el operador lógico de disyunción ∨ [84]. Desde el punto de vista de la lógica, el controlador basado en lógica booleana se puede describir como un sistema de inferencia, con reglas de la forma:

Equation1.6

Para p variables, cuando la k-ésima salida es verdadera se aplica la definición de minterm [68], [84], [82] o forma normal disyuntiva (FND):

Equation1.7

donde:

Álgebra abstracta aplicada en ingeniería

Para q salidas parciales, la salida global Y puede expresarse de manera compacta como:

Equation1.8

Ejemplo 1.1. Con la finalidad de ilustrar lo descrito anteriormente, se presenta la operación O en forma de minterms:

Álgebra abstracta aplicada en ingeniería

Para efectos de síntesis (mínimo número de términos) de un sistema booleano se pueden aplicar las siguientes simplificaciones:

1. ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c) ≡ a ∨ ( b ∧ c ).

2. ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) ≡ a ∧ ( b ∨ c ).

3. a ∨ (

a

∧ b) ≡ a ∨ b.

4. a ∧ (

b

∨ b) ≡ a.

Ejemplo 1.2. Para el caso de la función O se tiene:

Álgebra abstracta aplicada en ingeniería

En un sistema de w salidas la m-ésima salida es:

Equation1.9

1.2.1. Síntesis mediante mapas de Karnaugh.

Otra metodología utilizada para hacer síntesis de automatismos, es el mapa de Karnaugh [68, 1] (Veitch, para otros autores) que se basa en una unidad fundamental de dos elementos, que representan los valores que puede tomar una variable binaria para lograr un determinado efecto. A medida que las variables (p) aumentan, también se incrementa el número de elementos (cuadros) 2p, otra forma de visualizarlo es la asignación de cada combinación de la tabla de verdad a una posición en los cuadros del mapa de Karnaugh.

Ejemplo 1.3. Para el caso de la función O, el mapa quedaría tal como aparece en la figura 1.1.

Figura 1-1

Figura 1.1. Mapa de Karnaugh para la función O.

El siguiente paso es la agrupación de los cuadros adyacentes que contengan el valor de 1 en grupos de 2n para n = 1, 2, 4... cuadros adyacentes, donde n es el número de variables. Para el caso de dos variables las posibilidades de agrupar serán de 1, 2 o 4 cuadros.

Ejemplo 1.4. Para el caso de la función O se tiene una agrupación, tal como aparece en la figura 1.2.

Figura 1-2

Figura 1.2. Respectiva asociación de términos para la función O.

El resultado de la reducción debido a los cambios de valores de las variables es:

Y = A1 ∨ A2

Cuando un sistema no tiene todas las posibles combinaciones 2p, las que no se dan se denominan condiciones no importa. En este caso el mapa de Karnaugh tiene una aplicación muy importante, ya que tales condiciones se pueden asumir según la conveniencia para efectos de simplificar la expresión.

Ejemplo 1.5. Considerando la función dada por la tabla 1.2, se propone realizar la respectiva reducción empleando el mapa de Karnaugh.

Tabla 1.2. Función propuesta como ejemplo.

El resultado para Y sin considerar el caso no importa es:

Álgebra abstracta aplicada en ingeniería

El mapa de Karnaugh asociado a la tabla 1.2 se puede observar en la figura 1.3.

Figura 1-3

Figura 1.3. Respectiva reducción para la función propuesta.

La salida Y simplificada utilizando el mapa y con la condición no importa es:

Álgebra abstracta aplicada en ingeniería

1.3. Propuesta de un método basado en grafos para la simplificación de fórmulas para B2 .

En este documento se propone un método gráfico análogo al mapa de Karnaugh, que será la base de un método general para las álgebras de tres y cuatro valores de verdad de acuerdo con la teoría de grafos donde se colocan en un polígono circunscrito a una circunferencia y en los vértices o nodos del grafo se consignen las diferentes combinaciones de variables o dígitos binarios (bits) del conjunto {1, 0}n, así el polígono tendrá como número de vértices (nodos) 2n, donde n es el número de variables, entonces para 2 variables será un cuadrado, para 3 variables un octágono, para 4 variables un hexadecágono y así sucesivamente.

En cada vértice se establece el valor F(A) para cada combinación, asegurando que de dos vértices contiguos cambie de valor solamente una variable, esto se logra haciendo que cada vez que se aumente una variable se haga una copia en espejo del previo donde la nueva variable negada y la copia nueva de la variable (como se muestra en la figura 1.4) el valor de entrada o función del elemento F(A) se situé dentro de un cuadrado que se ubica en cada vértice (se escogió el cuadrado para remarcar que son variables booleanas).

Figura 1-4

Figura 1.4. Grafo para la ubicación de los elementos A y el valor de la entrada función F(A) a partir de una tabla.

El proceso de simplificación de variables se realiza de manera similar al método utilizado en el mapa de Karnaugh, es decir, se hacen asociaciones de 2n variables o bits (binary digit) unos o ceros (según sea la formal normal a escoger FND o FNC) en nodos o vértices adyacentes o aquellos que sean opuestos al eje que hace de imagen especular; de tal manera que de cada asociación de dos variables solamente una de ellas tenga cambio de valor en un bit (de 0 a 1 o viceversa), a su vez, para la asociación de cuatro vértices se tendrán todas las posibles combinaciones de dos bits y el resto constante; para cada asociación la fórmula será conformada por aquellas variables o bits que no cambian de valor. Se muestra un ejemplo en la figura 1.5 a) caso de dos variables, la asociación F1 es A1 y F2 es A2, es decir, la fórmula general simplificada es A1 ∨ A2.

Figura 1-5

Figura 1.5. Ejemplo de método gráfico para la simplificación de fórmulas: a) dos variables b) tres variables.

Nota aclaratoria: en este documento los literales Ai que conforman las fórmulas asociadas a las variables ai se escribirán en mayúscula para indicar que pueden ser simplificadas o absorbidas por otras fórmulas.

En la parte b de la figura 1.5 para tres variables se tienen cuatro asociaciones, así: F1 =

A

1 ∧

A

2 F2 = A1 ∧ A2; F3 =

A

1 ∧ A3 y F4 = A2 ∧ A3 y la fórmula general simplificada es F = (

A

1 ∧

A

2) ∨ (A1 ∧ A2) ∨ (

A

1 ∧ A3) ∨ (A2 ∧ A3).

Caso especial:

Cuando por cada salida Ym existe una única salida parcial fk, entonces la m-ésima salida se puede determinar como:

Equation1.10

donde Álgebra abstracta aplicada en ingeniería para todo valor de k que cumpla con fk,m = 1.

Para efectos de cálculo, el conector ∧ se puede determinar numéricamente mediante la operación matemática del mínimo o el producto y el complemento se calcula como

C

= 1 – C, de tal forma que Ym se puede determinar como:

Equation1.11

o también puede tener la forma:

Equation1.12

1.3.1. Acción o función global de salida (concreción) del automatismo.

Para determinar la curva de conmutación¹ [69], se propone un método definido como concreción (des-booleanización) que se describe de la siguiente manera: para alguna condición de las variables de entrada (sensores en un automatismo), es decir a una combinación de la pre-condición en la tabla le corresponde una salida o post-condición (actuador en un automatismo); cuando una o más posibles combinaciones de la pre-condición activan la misma salida, esta se define como el actuador virtual ycap , al cual se le asigna un valor numérico, de tal manera que la salida se calcula multiplicando dicho valor por la fórmula resultado de la operación lógica para obtener ycap , dando asíun resultado compacto, definido como función simple de eventos concretos.

Para determinar la acción de control total del automatismo se pueden considerar las acciones parciales como el producto de la respectiva salida lógica Ym y la correspondiente acción de control vm, de tal forma que la salida total es la suma de los anteriores productos.

Equation1.13

En general, un proceso interpretado por reglas del tipo Si-Entonces, puede ser representado de diferentes maneras por variables de tipo booleano.

Capítulo 2

Estructuras algebraicas del cálculo proposicional de sistemas de lógica trivalente y tetravalente

Las siguientes son las definiciones generales de álgebra de De Morgan y álgebra de Kleene.

2.1. Álgebra de fórmulas.

El conjunto de fórmulas F junto con sus conectores {∨, ∧ y ′} forman el álgebra de fórmulas ffont . Si f, g ∈ F entonces f ∨ g ∈ F, f ∧ g ∈ F y f′ ∈ F, por lo que ∨ y ∧ son operaciones binarias, ′ es una operación unaria y 0, 1 son constantes u operaciones nularias en F. El álgebra de fórmulas es entonces ffont = Lessthen F; ∨, ∧,′, 0, 1 Greaterthen . Las operaciones en ffont deben ser vistas como concatenación de símbolos. De esta forma, si f y g son fórmulas, la operación ∨ es vista como la concatenación de los símbolos de f y g junto con el símbolo ∨ para formar la nueva cadena f ∨ g diferente a g ∨ f, lo mismo sucede para las otras operaciones.

Los elementos de esta álgebra son solamente cadenas de símbolos, aún no tienen un significado conectado dado que este se agrega cuando se especifica un álgebra de valores Afont de donde las fórmulas toman sus valores. La clase de álgebras de valores Afont , que se consideran en esta investigación, son de De Morgan M4 , Kleene K3 y Boole B2 , como las presentadas en las secciones anteriores. El álgebra de fórmulas es infinita incluso si V es finito. Para más detalles véase [13, 17, 33].

2.1.1. Equivalencia entre fórmulas.

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