Métodos numéricos II: ecuaciones diferenciales, ordinarias y parciales

Por Rogelio Ramos Carranza y Armando Aguilar Márquez

El libro aborda el método de Euler y continuando con los métodos de Euler-Gauss o método mejorado de Euler, la solución numérica mediante los polinomios de Taylor, los métodos de Runge-Kutta de segundo y cuarto orden, el método de Milne, el método de las diferencias finitas; todos ellos empleados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de orden superior, así como sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Asimismo se describe el desarrollo de los métodos numéricos para resolver ecuaciones deferenciales parciales de los tres tipos generales, como son las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales parabólicas, hiperbólicas y elípticas. Es un texto que aborda el uso de los métodos numéricos como una alternativa de solución para aquellos casos en los que los métodos analíticos no son aplicables y que normalmente quedan limitados en problemas de aplicación reales en las distintas áreas del conocimiento.

• Idioma: Español
• Editorial: UNAM, Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán
• Fecha de lanzamiento: 30 mar 2024
• ISBN: 9786073080521

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Facultad de Estudios Superiores Cuautitlan

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Índice

Introducción

UNO Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias

1.1 Método de Euler

1.2 Método de Euler-Gauss

1.3 Polinomios de Taylor

1.4 Métodos de Runge-Kutta

1.4.1 Método de Runge-Kutta de segundo orden

1.4.2 Método de Runge-Kutta de cuarto orden

1.5 Método de Milne

1.6 Solución de ecuaciones diferenciales con valores en la frontera

1.6.1 Método de diferencias finitas

DOS Ecuaciones diferenciales parciales

2.1 Aproximación a derivadas parciales mediante diferencias finitas

2.2 Ecuaciones Parabólicas

2.2.1 Método explícito

2.2.2 Método implícito de Crank-Nicolson

2.3 Ecuaciones Hiperbólicas

2.3.1 Métodos de diferencias implícitos

2.4 Ecuaciones Elípticas

2.4.1 Método para obtener el primer valor aproximado de la ecuación de Laplace

2.4.2 Métodos iterativos utilizados para mejorar los cálculos de la primera aproximación

APÉNDICE

Apéndice A. Desarrollo del polinomio de Newton y su integración

Apéndice B. Polinomios de Taylor para una función de una variable

Apéndice C. Polinomios de Taylor para una función de dos variables

Apéndice D. Diferencias finitas centrales de primero y segundo orden

Apéndice E. Estabilidad del método de las diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

BIBLIOGRAFÍA

AVISO LEGAL

Introducción

Al revisar la historia acerca de la solución numérica de ecuaciones diferenciales se pueden distinguir dos periodos de desarrollo: un primer periodo que estaría definido desde los orígenes de la solución numérica de las ecuaciones diferenciales hasta la aparición de los ordenadores en la década de los años 50 y el segundo periodo, que data de la citada década hasta nuestros días.

Dado que en este siglo XXI se sigue investigando acerca del orden de los métodos que conducen a mejores aproximaciones y que son más estables y de rápida convergencia; estos son aspectos que forman parte de lo que se conoce con el nombre de cómputo científico.

Respecto del primer periodo de desarrollo de las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias, se citan de manera breve las aportaciones más notables y que guardan una relación con los métodos que se enseñan actualmente en las escuelas de ciencias e ingeniería.

Una de las primeras aportaciones más ampliamente utilizadas se refiere a los polinomios desarrollados por, el inglés, Brook Taylor (1685-1731), que aproximan a una función en términos de polinomios de distinto orden.

Otra clase de polinomios son los propuestos por el físico y matemático, de origen Inglés, Isaac Newton (1642-1727), cuyo modelo numérico se conoce como polinomios de interpolación de Newton; desarrollo numérico que puede ser empleado para formular uno de los métodos más elementales para resolver numéricamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, denominado método de Euler, en honor al matemático, suizo, Leonhard Euler (1707-1783).

Los desarrollos matemáticos de tipo numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior más ampliamente utilizados se refieren a los métodos propuestos por los célebres investigadores Carle David Tolmé Runge (1856-1927), físico matemático alemán, y Martin Wilhelm Kutta (1867-1944), de la misma disciplina y nacionalidad.

El segundo periodo de desarrollo de los métodos numéricos para la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), se describe mencionando que el gran impulso y la disponibilidad de ordenadores que propició el uso de los métodos numéricos en todo tipo de aplicaciones científicas y técnicas, generó interés en la comunidad matemática.

A partir de aproximadamente mediados de la década de 1950, comienzan a aparecer una serie de investigaciones de importancia que, al incluir el análisis sobre los métodos numéricos, dan lugar, en principio, a una mejor comprensión de su formulación y asimismo, introducen criterios que hacen posible compararlos entre sí y, de esta manera, proceder inclusive a innovaciones significativas.

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias una buena parte de las aportaciones medulares se deben al sueco Germund Dahlquist (1925-2005), quien trabajó en dos grandes líneas: la teoría general de los métodos lineales multipaso y los problemas denominados rígidos (stiff), que aparecen en múltiples aplicaciones (Ingeniería química, Ingeniería eléctrica y electrónica, Sistemas mecánicos y electromecánicos, Sistemas mecánicos con amortiguamiento, Ingeniería industrial, Ingeniería en alimentos, Discretización de ecuaciones parabólicas, Aplicaciones de nuevas tecnologías, Ingeniería de materiales, Geofísica, etc.).

Se pueden mencionar problemas de diversos tipos y en casi todas las áreas científicas y técnicas, por ejemplo: Métodos avanzados de discretización, Vidrio estructural, Métodos numéricos en mecánica de contacto, Algoritmos genéticos, Nanomecánica, Dinámica de fluidos computacional, Dinámica estructural y de fractura, Micromecánica de defectos de materiales, Elasticidad y resistencia de materiales, Comportamiento de estructuras metálicas, Mecánica de fractura, Estructuras compuestas y aceros, Fluidos no newtonianos, Geotecnia, Métodos computacionales en acústica y vibraciones, Mecanobiología computacional e ingeniería de tejidos, Técnicas de reducción de modelos en ingeniería, Métodos numéricos en mecánica experimental, Optimización estructural y multidisciplinar, Método del elemento finito en problemas de convección y difusión, Métodos numéricos para turbo maquinaria y flujos rotativos, Biomecánica computacional y aplicaciones, Métodos numéricos en ingeniería de presas, Procesamiento de imágenes y visualización, Biomecánica y Biomecatrónica, Análisis isogeométrico, Simulación de procesos de conformado, Transferencia de calor y de masa, Avances recientes en el método de los elementos de contorno, Conformado plástico, Geomateriales, Aplicaciones a la ingeniería electrónica, Ingeniería de la construcción, Estampado incremental, Flujo en medios porosos, Redes neuronales, Ingeniería del medio ambiente, Ingeniería del transporte, Comportamiento de estructuras de pared fina, Dinámica multi-cuerpo, Hidráulica computacional, Materiales de contacto, Comportamiento dinámico de materiales, Estructuras de polímeros, Métodos paralelos de álgebra lineal, Métodos de enrejillado en geofísica, Modelación de procesos biológicos y de biomimética, Modelación numérica en ingeniería de seguridad contra-incendios, Oceanografía e ingeniería costera, Métodos residuales para ecuaciones diferenciales, Ingeniería sísmica.

Por otra parte, los métodos de Runge-Kutta fueron testigos de notables avances debido principalmente al neozelandés John Butcher, quien desarrolló una metodología simple para analizarlos mediante la introducción de elementos de la Teoría de Grafos.

Cuando los métodos Runge-Kutta se manejaban con las técnicas manuales, usadas hasta entonces, construir fórmulas de orden alto era una tarea pesadísima; hoy es casi trivial, habiéndose obtenido métodos explícitos de orden 10 e implícitos de orden arbitrario.

El uso de los métodos numéricos es una alternativa de solución para aquellos casos en los que los métodos