Las matemáticas de los cristales

Por Manuel de León y Ágata Timón

La relación entre la cristalografía y las matemáticas se remonta a los inicios del estudio de los cristales: podemos ver a Kepler, sobre el puente de Viena, observando los copos de nieve que se depositan en su abrigo. Las matemáticas le permitieron descifrar las simetrías en la singular disposición de su estructura. También en la cristalografía moderna encontramos otra relación entre las dos disciplinas: la difracción, que es el fenómeno que permitió estudiar de manera rigurosa los cristales; se asienta teóricamente en la transformada de Fourier, un desarrollo muy importante del análisis matemático del siglo XIX. El objetivo de este libro es resaltar esta hermandad y presentar los puntos básicos de encuentro, como la simetría y los grupos (cristalográficos y algebraicos), siguiendo la historia de su descubrimiento y mostrando la profundidad de estos conceptos, con aplicaciones al estudio de la vida, los virus, las proteínas, etc

• Idioma: Español
• Editorial: Los Libros de la Catarata
• Fecha de lanzamiento: 21 ene 2016
• ISBN: 9788490970669

Manuel de León

Manuel de León es profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). Su área de investigación es la geometría diferencial y la mecánica geométrica. Ha desarrollado una intensa actividad en la gestión de la política científica en matemáticas en España y Europa, así como en temas educativos.

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La fascinación por los cristales de nieve

En la Navidad de 1610 una persona cruzaba, pensativa, el puente de Carlos en Praga. Como es habitual en esas fechas y esas latitudes, nevaba intensamente, y los copos de nieve le caían sobre la solapa de su abrigo. Johannes Kepler paseaba por la ciudad desierta, tratando de imaginar un regalo de Año Nuevo apropiado para su benefactor y amigo Johannes Matthäus Wäckher von Wackenfelds. Entonces, dirigió la mirada hacia los cristales que se depositaban en la tela negra. Observó los copos de nieve y, saliendo de su ensimismamiento, se dio cuenta de una extraña regularidad. Como buen científico, no pudo evitar preguntarse sobre ello: ¿por qué todos tienen forma hexagonal? ¿Por qué no tienen cinco o siete lados? Decidió entonces escribir un ensayo a partir de esas preguntas, lo que además podría ser un excelente regalo de Año Nuevo para su benefactor. El resultado sería la obra El copo de nieve de seis ángulos, cuyo título original era Strena seu de nive sexángula (Kepler, 1611), un librito de unas escasas 24 páginas de gran profundidad.

En la introducción, Kepler escribe a su amigo:

Sí, sé bien que tan aficionado es usted a la nada; de seguro no tanto por su mínimo valor, sino por el juego divertido y delicioso que uno puede tener con ella, cual si fuera un gorrión feliz. Por tanto, me imagino que para usted un regalo debe ser mejor, y mejor recibido, cuanto más se acerque a la nada.

Kepler hace un juego de palabras (que se pierde con la traducción) con nix (latín) que significa nieve, y nichts (alemán), que significa nada. Piensa, además, que no habrá mejor regalo en esas fechas navideñas que reflexionar sobre algo que cae del cielo. Aprovecha también el escrito para ironizar con su situación en Praga, siempre pendiente de los pagos a destiempo y recortados de Rodolfo II, en cuya corte trabajaba Kepler de astrónomo, porque ¿qué mejor regalo que dar nada puede hacer quien nada recibe?

¿Por qué la forma hexagonal?

En Strena seu de nive sexángula, tras un profundo análisis, Kepler deduce que la forma hexagonal de los copos de nieve debe ser consecuencia de la manera en la que se empaquetan las partículas que los constituyen. Si se imaginan esas partículas como glóbulos que se apilan ocupando el mínimo espacio posible, el empaquetamiento hexagonal es el mejor, como se aprecia esta disposición en las colmenas de las abejas y en las teselaciones del plano, es decir, en los recubrimientos del plano con figuras idénticas que no dejan huecos ni sobreposiciones. Los hexágonos, igual que los triángulos y cuadrados, permiten hacerlo.

La naturaleza que se observa en los copos de nieve presenta tal regularidad, que Kepler no dudó en recurrir a la idea de un mundo geométricamente ordenado y creado por un Dios matemático; pero, a la vez, no renunció a la ciencia que trata de explicar los fenómenos naturales buscando las causas y leyes que los producen.

Tratando de explicar este orden, Kepler planteó su famosa conjetura de empaquetamiento. Llevaba rumiando la pregunta durante años, desde que el astrónomo y matemático inglés Thomas Harriot le planteara la cuestión en una serie de cartas que intercambiaron los científicos. Sir Walter Raleigh, de quien Harriot fue ayudante, le había preguntado por la manera óptima de apilar balas de cañón en la cubierta de un buque cuando estaban planificando una expedición en 1585 rumbo a Virginia, a fin de establecer allí la primera colonia