Principios de transferencia de cantidad de movimiento

Por José Luis Velázquez Ortega

La finalidad de este trabajo es que los alumnos de las licenciaturas antes citadas y los de otras más que estudien los temas aquí expuestos, cuenten con material didáctico que les sirva de apoyo para resolver dudas y mitigar las dificultades detectadas al abordar los mismos.

• Idioma: Español
• Editorial: UNAM, Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán
• Fecha de lanzamiento: 11 may 2023
• ISBN: 9786073060479

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CAPÍTULO 1

( CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL )

Una peculiaridad de la mecánica de fluidos es que trabaja con cantidades físicas tales como:

a) Escalares. Cantidades físicas representadas por un número real: la masa, el tiempo, la temperatura, el volumen, etc.

b) Vectores. Requieren de una magnitud y también de una dirección para ser especificados: la velocidad, el momento, la fuerza, etc.

c) Tensores. Son un objeto matemático cuya completa caracterización numérica puede requerir más de tres componentes, tal como los vectores. El esfuerzo, la razón de esfuerzo y los tensores de vorticidad, son sólo ejemplo de estos (Tasos, 2000).

En general, los tensores son de diferente orden el cual puede definirse mediante 3n; en donde n se refiere al orden del tensor y el tres al número de coordenadas del espacio euclidiano (Pasinato, 2008). Así, un tensor de orden cero se refiere a un escalar, uno de orden uno a un vector, y un tensor de orden dos a un tensor de flux de momento, utilizado en la mecánica de fluidos.

La teoría de tensores es importante en el análisis de gran variedad de problemas físicos; aquí solo mencionaremos algunos conceptos tales como la convención de suma, también conocida como la convención de Einstein, la delta de Kronecker y algunos otros elementos. El estudio a profundidad queda fuera del alcance de este trabajo.

A continuación, utilizaremos la notación tensorial para representar diferentes operaciones con vectores.

Un vector se representa mediante:

En la ecuación (1.1) ê es el vector unitario. Para el caso de un vector en dos dimensiones tenemos:

Figura 1.1 Representación de un vector bidimensional en el plano cartesiano

Y para un vector en tres dimensiones:

Figura 1.2 Representación de un vector en tres dimensiones

De acuerdo a la notación empleada en la ecuación (1.1), podemos escribir el vector de posición de la siguiente forma:

La ecuación (1.4), puede escribirse de acuerdo al convenio de suma o notación de Einstein, según la cual se utilizan índices repetidos para indicar suma (Pasinato, 2008), por lo que:

Las componentes del vector pueden ser representados de la siguiente forma:

Pasinato (2008) señala que los subíndices pueden ser:

Libres.- Se refiere a aquellos que aparecen solamente una vez en un término de la expresión, ejemplo:

Con i como índice libre.

Mudos.- Son aquellos que se repiten en una expresión indicando suma, ejemplos:

Operaciones con vectores

El análisis vectorial constituye hoy en día una herramienta esencial para los matemáticos, físicos, ingenieros y otros científicos y técnicos. Esta necesidad no es casual, el análisis vectorial constituye una notación concisa y clara para presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas geométricos, además de proporcionar una ayuda inestimable en la formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y